Otras carreras Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

[Zetamora]

Hola!! Buenas!! Saben, tengo un problema, y es demostrar con formula matematica el siguiente caso:

Si un objeto que esta girando y parte de el sale disparado en un ambiente sin friccion, enviara todas las partes que salgan girando en la misma direccion porque la parte exterior se esta moviendo mas rapido que la interior..

[FONT=lucida grande]Es mas rapido el exterior que su circulo mas interno y asi mantiene la misma direccion de giro..
De este caso dejo la siguiente imagen, de la cual necesitaria la formula matematica que lo compruebe..
[/FONT][FONT=lucida grande]http://img19.imageshack.us/img19/500...image002yg.jpg

Este mismo caso que planteo me lo han respondido de la siguiente forma de la cual creo que me estan hablando de un caso diferente, y como mis conocimientos ya resultan limitados en estas alturas, pido por favor si alguien me puede ayudar al respecto.. Asi es como me han rebatido lo expuesto en la imagen:

[FONT=lucida grande]"Sea un sistema Fisico aislado d-dimensional, compuesto de n solidos y con momento angular \vec{L}. Dado que el sistema esta aislado, tenemos que \frac{d\vec{L}}{dt}=0, con lo que integrando \vec{L}=c\in \mathbb{R}. Supongamos que en t_0 el sistema esta unido y en t_1 esta en trozos. Debe cumplirse que \sum_{i} L_{i0}=\sum_{i}L{i1}=c. Dada ahora L_{10}=c, resto L_{i0}=0, se puede tener L_{11}=-c y \sum_{i}L{i1}=2c donde i\neq 1. Por tanto, los trozos pueden girar en distinto sentido al sentido de giro del objeto inicial."[/FONT]

Desde ya muchisimas gracias!!
[/FONT]

[felmon38]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola
¿Me puedes pasar el texto original porque no entiendo bien el problema?

[Zetamora]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

[FONT=arial]Si! Muchas gracias!! Mira, el problema mio es el siguiente, trata sobre "La Conservación Angular de Momento (Ley de la Conservación)" y tengo que dar un ejemplo con formula matematica sobre la siguiente imagen:
http://img19.imageshack.us/img19/500...image002yg.jpg

Tengo que demostrar con formula matematica que si un objeto que gira y se despedaza, dichos pedazos que se desprenden seguirán girando en la misma dirección. Esto es porque la parte exterior se mueve mas rápido que la parte interior.

Cuando hice esta misma consulta a otra persona, me respondio de la siguiente forma, diciendo que es imposible demostrar matematicamente lo que se ve en la imagen:

[/FONT][FONT=lucida grande][FONT=lucida grande][FONT=arial]"Sea un sistema Fisico aislado d-dimensional, compuesto de n solidos y con momento angular \vec{L}. Dado que el sistema esta aislado, tenemos que \frac{d\vec{L}}{dt}=0, con lo que integrando \vec{L}=c\in \mathbb{R}. Supongamos que en t_0 el sistema esta unido y en t_1 esta en trozos. Debe cumplirse que \sum_{i} L_{i0}=\sum_{i}L{i1}=c. Dada ahora L_{10}=c, resto L_{i0}=0, se puede tener L_{11}=-c y \sum_{i}L{i1}=2c donde i\neq 1. Por tanto, los trozos pueden girar en distinto sentido al sentido de giro del objeto inicial."[/FONT]

[/FONT][/FONT]
[FONT=arial]Logicamente el ejemplo matematico puede ser solo de un objeto que girando, cierta parte se desprende del mismo, y dicha parte continua girando en el mismo sentido que el objeto del cual se desprendio. Este es el ejemplo matematico que necesitaria. Y si es posible, entender a que se hizo referencia esta otra persona que me respondio que lo que quiero exponer en formula matematica es imposible..

Muchas gracias desde ya!!![/FONT][FONT=lucida grande]


[/FONT]

[felmon38]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola, aunque a mi las ecuaciones me salen mas complicadas (tres ecuaciones para calcular las cuatroo incógnitas de velociad de G1 y G2 y las dos de velocidad angular de los trozos 1 y 2), tambien resulta que el problema me sale indeterminado. Con el dato de la energía perdida en el desprendimiento, tampoco se podrían calcular las incógnitas, conociendo la velocidad del G del sólido así como la velocidad angular de él respecto del sistema inercial que se considere. Tambien he supuesto el caso sencillo de movimiento plano horizontal. No te he puesto las ecuaciones porque no te sirven para demostrar lo que te piden demostrar.

[arivasm]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Veo que Zetamora sigue repitiendo el texto de los mensajes. Imagino que será porque está realmente desesperado con su problema, pero ello no ayuda a resolverlo. Por ello, además de animarlo a que no se repita, sino que trate de clarificar aún más sus dudas, le recuerdo que las ecuaciones debe encerrarlas entre [tex] y [/tex]. Así, el texto que ha puesto dice lo siguiente:

"Sea un sistema Fisico aislado d-dimensional, compuesto de n solidos y con momento angular $\vec{L}$. Dado que el sistema esta aislado, tenemos que $\frac{d\vec{L}}{dt}=0$, con lo que integrando $\vec{L}=c\in \mathbb{R}$. Supongamos que en $t_0$ el sistema esta unido y en $t_1$ esta en trozos. Debe cumplirse que $\sum_{i} L_{i0}=\sum_{i}L{i1}=c$. Dada ahora $L_{10}=c$, resto $L_{i0}=0$, se puede tener $L_{11}=-c$ y $\sum_{i}L{i1}=2c$ donde $i\neq 1$. Por tanto, los trozos pueden girar en distinto sentido al sentido de giro del objeto inicial."

Yendo al problema, hay varias cosas que no entiendo, comenzando por esta expresión "enviará todas las partes que salgan girando en la misma dirección" ¿Exactamente qué quiere decir, que cada fragmento girará en el mismo sentido que el cuerpo original? ¿Qué quieres decir con "girar en la misma dirección"?

Con respecto al texto anterior al que añadí las etiquetas para que se viesen las fórmulas, ¿qué significa "d-dimensional"? ¿es bidimensional?

Por otra parte, no veo correcto decir que $\vec{L}=c\in \mathbb{R}$. Un vector no es lo mismo que un escalar!

Por último, ¿bajo qué condiciones se produce el desprendimiento? ¿Se entiende que ocurre porque cesen las fuerzas de cohesión que unía los fragmentos al cuerpo orginal?. Si es así, ten en cuenta que cada fragmento poseía un momento angular previo al desprendimiento, que se conservará después del mismo. Ahora bien, como al quedar libres de fuerzas satisfarán el principio de inercia, con lo que su movimiento como un todo será rectilíneo y uniforme, la única manera de que se mantenga ese momento angular es que roten en torno a sí mismos y, además, necesariamente en el mismo sentido en que rotaban alrededor del centro de masas del objeto original.

[Breogan]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola:

Como ya se habrán dado cuenta mi instrucción en física tiene varios agujeros, entre ellos este; y para sacarme mis dudas y de paso ayudar a Zetamora es que me tomo el atrevimiento de poner un problema de mi cuño relacionado íntimamente con el tema. Aunque hay problemas similares en el foro, no encontré ninguno que incluya el problema que planteo Zetamora (antes que me lo reprochen, puede ser que no busque lo suficiente).

El problema es: Si tenemos un disco de radio R y masa M que gira sobre su eje de simetría a una velocidad $\omega(t)$, y sobre el esta apoyada una moneda de radio r_m y masa m, y suponiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre ambos es $\mu$ y el coeficiente de rozamiento dinámico es cero (de $\mu$ se pasa a cero instantáneamente). Calcular:

a_ Velocidad angular máxima $\omega_m$ para la cual la moneda sale despedida del disco (esto ya lo vi en otro hilo)

b_ Momento angular del conjunto justo antes de que la moneda salga disparada

c_ Velocidad del centro de masas, velocidad angular, y momento angular de la moneda una vez se despega

d_ Momento angular, y velocidad angular final del disco

El dibujo es el siguiente:

Nota: en el dibujo falta el eje y' que es el eje de simetría axial de la moneda.



a_ Calculo de $\omega_m$

$F_r=m\ a_c$

$m\ g\ \mu=m\ \omega_m^2\ r_0$

$\dst \omega_m=\sqrt{\frac {g\ \mu}{r_0}}$

b_ Momento angular del conjunto

$L_T\ =\ I_T\ \omega_m\ =\ \ (I_{my}+I_{My})\ \omega_m$

donde $I_{My}$ es el momento del disco respecto del eje y, que es su eje de simetria y vale: $\dst I_{My}=\frac 1 2 M\ R^2$

e $I_{my}$ es el momento de inercia de la moneda respecto del eje y, que por Steiner es : $\dst I_{my}=I_{my'}+m\ d_{yy'}^2=\frac 1 2 m\ r_m^2+m\ r_0^2$

Por lo cual queda:

$\dst L_T\ =\ (\frac 1 2 m\ r_m^2+m\ r_0^2+\frac 1 2 M\ R^2)\ \sqrt{\frac {g\ \mu}{r_0}}$

c_ Velocidad del centro de masa, velocidad angular, y momento angular de la moneda en el instante que se despega.

Por conservación del momento lineal entre el instante inmediatamente anterior (subindice cero) y el instante inmediatamente posterior (subindice uno) al despegue de la moneda tenemos:

$p_0=p_1$

$m v_t=m v_{cm}$

$v_{cm}=\omega_m\ r_0$

Creo que hasta acá vengo bien, pero con el calculo del momento angular de la moneda se me presenta el problema. Creo que hay dos formas, la 1º por conservación del momento angular y de la energía (ya que no hay trabajo de fuerzas no conservativas); con la misma convención de subindices y llamando $\omega_0$ a $\omega_m$, tenemos:

$L_{T0}=L_{T1}$

$\dst I_T\ \omega_0=I_{My}\ \omega_{M1}+I_{my'}\ \omega_{m1}+m v_{cm} r_0$


$E_{T0}=E_{T1}$

$\dst \frac 1 2 I_T \omega_0^2=\frac 1 2 I_{My}\omega_{M1}^2+\frac 1 2 I_{my'}\omega_{m1}^2+\frac 1 2 m v_{cm}^2$

Des estas formulas (si están bien), como son dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden despejar las velocidades angulares de la moneda y del disco después de que se separaron.

Hasta acá llegue por hoy, se me hizo tarde, no se si esta bien pero espero sus correcciones o comentarios.

Suerte

[arivasm]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Bonito problema, Breogán.

En mi opinión, la clave está en esto: ¿tras el desprendimiento, el disco permanece fijo a su eje (lo que significa el concurso de una fuerza -e incluso un momento- que origine esa ligadura), o puede deslizar?.

En este segundo caso, el disco también adquiere un momento lineal, opuesto del de la moneda, de manera que tenemos una tercera incógnita (la velocidad del centro de masas del disco) que requerirá de las tres ecuaciones.

En el primer caso, la fuerza en cuestión ejercerá un momento, por lo que me da la sensación de que no será correcta la conservación del momento angular que planteas.

De hecho, la fuerza anterior es ya de por sí necesaria para abordar la situación de partida, en la que claramente no se conserva el momento lineal del sistema disco+moneda. Quiero decir, que mientras el disco gira con la moneda, el momento lineal del conjunto no se mantiene constante, al menos si tomamos un sistema de referencia fijo en el centro del disco, por causa del momento lineal de la moneda.

[Breogan]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola:

Ante todo agradecer la respuesta.

En mi opinión, la clave está en esto: ¿tras el desprendimiento, el disco permanece fijo a su eje (lo que significa el concurso de una fuerza -e incluso un momento- que origine esa ligadura), o puede deslizar?

Como yo lo pensé cuando hice el post, lo imagine como un tocadiscos con una moneda arriba; es decir que, mas formalmente, en el desarrollo del problema utilizo un SR solidario con el eje de giro del disco y para poder decir que este SR es inercial en todo momento también esta vinculado a laboratorio (es decir una masa infinita). Esto no lo puse en el desarrollo del problema, pero si esta bien después lo edito.
Una opción mas que interesante es la que propones, en que ambos cuerpos pueden cambiar su cantidad de movimiento, como una estacion espacial circullar giratoria a la cual se le desprende una parte de su estructura.

Yo dejaria el debate de este, si estas de acuerdo, para otro hilo hasta estar seguro que el presente esta bien resuelto

En el primer caso, la fuerza en cuestión ejercerá un momento, por lo que me da la sensación de que no será correcta la conservación del momento angular que planteas.

La fuerza que ejerce el eje sobre el disco seria radial, por lo cual no generaría un momento respecto del centro del disco, respecto del cual yo planteo la conservación del momento angular, no? En cuanto al momento que se debe aplicar para acelerar angularmente el conjunto, este se puede hacer tender a cero si hacemos tender a infinito el tiempo de duración del proceso, no?.

De hecho, la fuerza anterior es ya de por sí necesaria para abordar la situación de partida, en la que claramente no se conserva el momento lineal del sistema disco+moneda. Quiero decir, que mientras el disco gira con la moneda, el momento lineal del conjunto no se mantiene constante, al menos si tomamos un sistema de referencia fijo en el centro del disco, por causa del momento lineal de la moneda.

Sobre la moneda solo existe la fuerza de rozamiento, podemos asegurarnos que esta fuerza sera totalmente radial con solo hacer tender la aceleración angular a cero, por lo cual solo variara en cada instante la dirección y no el modulo del momento lineal de la moneda. En el momento de la separación y por haber supuesto que la Fr pasa de su valor máximo a cero instantáneamente, la moneda en ese proceso no cambia su momento lineal, ni en modulo ni dirección, no?

Gracias

Suerte

[arivasm]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Meditando lo que pones creo que tienes toda la razón. Por otra parte, el momento angular del sistema se conservará, al menos si consideramos los instantes inmediatamente anterior e inmediatamente posterior al desprendimiento de la moneda. En el fondo, no es muy diferente de lo que sucede con el momento lineal y el clásico ejercicio de la bomba que explota en dos fragmentos mientras cae: aunque hay una fuerza externa que modifica el momento lineal, justo en el instante de la explosión podemos manejar una conservación del mismo.

Ahora recelo de que se pueda aplicar la conservación de la energía. De hecho, visto marcha atrás el proceso sería una colisión inelástica: un disco que gira es impactado por una moneda que queda adherida a él.

[felmon38]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola,
Teniendo en cuenta lo que opináis Breogan (respecto de su ejemplo) y Arivasm, las conclusiones que saco son:

Fase de contacto. Se conserva el momento angular respecto del eje de giro, antes y después de no moverse la moneda respecto del disco (Ecuación propuesta por Breogan, no tiene porque conservarse la energía). El valor del impulso no tiene porque ser nulo. No se conserva el momento lineal

Fase de despegue. Existe una diferencia cualitativa, el valor del impulso angular respecto del eje de giro es nulo en esta fase es nulo. También la resultante que actúa sobre la moneda es N.mu antes del despegue y cero después por lo que la aceleración de G es nula por lo que su velocidad es la misma y su trayectoria pasa de ser circular a lineal y como el impulso del momento de las fuerzas sobre la moneda es nulo ( la fuerza es discreta y el tiempo es dt )respecto del eje , se conserva su momento cinético respecto de el, como había dicho Arivasm.
Bueno y el disco?, en esta fase las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema no realizan trabajo por lo que la energía se conserva y por lo tanto el disco sigue girando a la misma velocidad ya que la energía cinética de la moneda no ha variado

[Breogan]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Hola:

Todavía no voy a hacer ediciones del post del problema hasta no resolver mis dudas.

Ahora recelo de que se pueda aplicar la conservación de la energía. De hecho, visto marcha atrás el proceso sería una colisión inelástica: un disco que gira es impactado por una moneda que queda adherida a él.

Si lo queres pensar marcha atrás, tendrías que tener en cuenta que la velocidad de la moneda es diferente de la velocidad tangencial en el punto de acople por un infinitesimo, y tiene la misma dirección y sentido.

En realidad yo no logro ver ninguna fuerza no conservativa que realice algún trabajo y que me pueda alterar la energía del sistema.

Tomemos el caso del péndulo balístico, vos tenes una masa en reposo sobre la cual choca la bala, y parte de la energía que trae esta es disipada por el trabajo de las fuerzas de frenado no conservativas (fuerzas de rozamiento y deformación), ahora supone que la masa del péndulo ya esta oscilando y que la velocidad máxima del péndulo, cuando la bala impacta en el péndulo, es un infinitesimo menor que la velocidad de la bala en el mismo instante, y con la misma dirección y sentido; la bala no va a penetrar en el péndulo mas allá de lo necesario para disipar la energía necesaria para igualar la velocidad de ambos, y como esta diferencia la podemos hacer tan chica como queramos (siempre idealmente) en estas condiciones la energía se conserva entre los instantes anterior y posterior al choque, no es así?
Otra cosa es como la bala queda solidaria con el péndulo (un pegamento ultrarapido?, un electroimán?, siempre es una idealizacion), pero creo que no influye en el análisis.

Fase de contacto. Se conserva el momento angular respecto del eje de giro, antes y después de no moverse la moneda respecto del disco (Ecuación propuesta por Breogan, no tiene porque conservarse la energía). El valor del impulso no tiene porque ser nulo. No se conserva el momento lineal

Con respecto a la conservación de la energía, mi planteo es el que puse en la respuesta a arivasm.

La componente tangencial de la fuerza de rozamiento es un infinitesimo y es una función escalón de la velocidad angular

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esta fuerza es la única que puede dar lugar a una variación del modulo de la cantidad de movimiento de la moneda, por lo cual me parece que este se conserva, hablando siempre de los momentos inmediatamente antes y después de la separación.

Justamente en lo que tengo mas problemas es en esto, construir la modelizacion de un problema sin hacer simplificaciones disparatadas.
Espero sus respuestas. Gracias

Suerte

[arivasm]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Pues sí, Breogán, de nuevo tienes toda la razón... Por tanto, retrocedo y vuelvo a repensar tu primer post en este hilo. Es más, creo que lo que has puesto es completamente correcto, y que se conservan tanto el momento angular como la energía (me has convencido).

Permíteme que repita el núcleo de tu post usando la notación usual: las magnitudes sin prima reflejan los valores antes de la separación y con prima después de la misma

b_ Momento angular del conjunto

$$L_T\ =\ I_T\ \omega\ =\ \ (I_{my}+I_{My})\ \omega$$

donde $I_{My}$ es el momento del disco respecto del eje y, que es su eje de simetria y vale:

$$\dst I_{My}=\frac 1 2 M\ R^2$$

e $I_{my}$ es el momento de inercia de la moneda respecto del eje y, que por Steiner es:

$$\dst I_{my}=\frac 1 2 m\ r_m^2+m\ r_0^2$$

Por lo cual queda:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
c_ Velocidad del centro de masa, velocidad angular, y momento angular de la moneda en el instante que se despega.

Por conservación del momento lineal entre el instante inmediatamente anterior (subindice cero) y el instante inmediatamente posterior (subindice uno) al despegue de la moneda tenemos:

$$p_m=p'_m$$

$$m v_m=m v'_{m}$$

$$v'_{m}=\omega\ r_0$$

....

$$L_{T}=L'_{T}$$

$$\dst I_T\ \omega=I_{My}\ \omega'_{M}+I_{my'}\ \omega'_{m}+m v'_{m} r_0$$

Poniendo en (9) la expresión de $I_T$, introduciendo (7) y escribiendo explícitamente el lado derecho queda

$$\dst \left(\frac 1 2 m\ r_m^2+m\ r_0^2+\frac 1 2 M\ R^2\right) \omega=\frac 1 2 M\ R^2 \omega'_{M}+\frac 1 2 m\ r_m^2 \omega'_{m}+m r_0^2\omega$$

que en realidad se reduce a

$$\dst m r_m^2\omega+M R^2\omega=m r_m^2\omega'_m+M R^2\omega'_M$$

$$E_{T}=E'_{T}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Haciendo como antes:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que se reduce a
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y como bien has dicho, combinando (10) y (13) se encuentran las velocidades angulares finales de ambos cuerpos.

La cuestión es si hay una solución diferente de la trivial $\omega'_m=\omega'_M=\omega$. Y veremos que no:

Introduzcamos estas variables auxiliares:

$$\dst a=\frac{mr_m^2}{MR^2}$$

$$\dst x=\frac{\omega'_m}{\omega}$$

$$\dst y=\frac{\omega'_M}{\omega}$$

Con ellas, las expresiones (10) y (13) pasan a ser

$$a+1=ax+y$$

$$a+1=ax^2+y^2$$

Es un poco rollo, pero no es difícil ver que al despejar $y$ en la primera y substituir en la segunda, realizar las correspondientes simplificaciones, que tan sólo exigen que $a\neq 0$ y $a\neq -1$ (que aquí evidentemente no sucederán nunca), la ecuación pasa a ser $x^2-2x+1=0$, cuya única raíz doble es $x=1$, es decir, $\omega'_m=\omega$. Asimismo, tenemos $y=1$, lo que implica $\omega'_M=\omega$.

Vamos, que hemos matado una mosca de un cañonazo!

[felmon38]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Breogan, tu modelo ha sido muy instructivo, pero ¿puedes intentar otro que aclare el del objeto de este hilo, porque yo por lo menos no lo entiendo?

[arivasm]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

El corazón del ejercicio objeto de este hilo es precisamente el problema de Breogán: si se conserva la energía, es decir, si en el desprendimiento no actúan fuerzas que realicen trabajo, cada fragmento se queda con su parte del momento angular y energía, sin que existan transferencias de estas magnitudes entre fragmentos, con lo que satisfarán el principio de inercia de la dinámica de traslación (su centro de masas continuará moviéndose en línea recta pero con la misma velocidad que tenía en el instante del desprendimiento) y también el de la dinámica de rotación (girará en torno a su centro de masas exactamente igual que lo hacía antes).

La demostración que buscas, por tanto, es semejante a la que expuso Breogán. Tan solo hay que cambiar las expresiones de los momentos de inercia por valores genéricos de los mismos y en vez de orientarlo como moneda+disco hay que orientarlo como fragmento+resto. Si al hacerlo así demuestras que un fragmento cumple lo que dice el enunciado, la aplicación del mismo esquema para "resto" (me refiero a que se haga uso del mismo enfoque de conservación), en el sentido de que también pueda incluir otros fragmentos, en lugar de uno solo, llevará a la misma conclusión.

De todos modos, quizá convenga repensar el caso de la estación espacial, como ejemplo que puso Breogán, para analizar si entonces podrá haber nuevos aspectos que no se contemplaron en el caso disco+moneda. Le daré un par de vueltas en cuanto pueda...

[felmon38]

Re: Conservacion de momento angular y trayectoria del desplazamiento

Habría que ver en el ejemplo propuesto por Zetamora si en el desprendimiento de los trozos, este se hace de golpe y sin perdida de energía, aunque parece que es así porque todos los trozos giran al menos en el mismo sentido y la velocidad del centro de las esferas es tangente a su trayectoria inicial. No he sido capaz de encontrar en Internet el texto de la imagen
http://img19.imageshack.us/img19/500...image002yg.jpg. A ver si alguien lo encuentra.