1r ciclo Fuerza centrífuga sobre una bola

[Tellus]

El problema es el siguiente:

Una barra hueca de longitud l por dentro de la cual se desliza una canica de masa m gira con
velocidad angular constante ω alrededor de la vertical con uno de sus extremos fijo. Si inicialmente
está parada a una distancia l₀ del origen, determinar la velocidad y aceleración con que la canica

sale despedida en el otro extremo de la barra.

Entonces, la barra tiene una fuerza centrípeta para rectificar su dirección y mantener una velocidad angular, esto es debido a que está sujeta a la barra vertical, pero la bola en su interior no, así que experimentará una fuerza en dirección a la normal al borde de la circunferencia trazada igual y opuesta a esta fuerza centrípeta.

F=ma=mω²r <em>\Rightarrow a=ω²r

Como vemos la aceleración depende del radio.

Deribando en función del tiempo saco la velociad y la posición, pero como la aceleración depende del radio irá aumentando a medida que se acerca al borde, y eso es lo que no se hacer.

Muchas gracias de antemano.

[ZYpp]

Re: Fuerza centrífuga sobre una bola

Lo más lógico sería abordar el problema en coordenadas polares, donde el vector $\hat u_r$ tiene la dirección del tubo que gira y sentido hacia fuera del eje de giro, y el sentido de $\hat u_\theta$ es en el que crece el ángulo. Una vez hecho hecho, partimos de la segunda ley de Newton:

$$\vec F = \frac{\dd \vec p}{\dd t} = m\vec a$$

Sacamos la aceleración en polares sin más que derivar el vector posición:

$$\vec r = r \hat u_r$$

$$\vec v = \frac{\dd \vec r}{\dd t} = \dot r \hat u_r + r \dot \hat u _r = \dot r \hat u_r + r\dot \theta \hat u_\theta$$

$$\vec a = \frac{\dd ^2\vec r}{\dd t^2} = \left( \ddot r - r \dot \theta ^2\right)\hat u_r + \left( 2 \dot r\dot \theta +r\ddot \theta \right) \hat u_\theta$$

Y por último, descomponiendo las componentes de la fuerza en las direcciones de la aceleración:

$$F_r = 0 = m\left( \ddot r - r \dot \theta ^2 \right)$$

$$F_\theta = R = m\left( 2\dot r \dot \theta + r \ddot \theta \right)$$

La primera ecuación es la que te da el movimiento de la bola a lo largo de la dirección radial, que es la que te interesa. La segunda te da la reacción. Para sacar el movimiento de la bola en la dirección radial sólo has de resolver esa ecuación diferencial: $\ddot r = r\dot \theta ^2$ donde se supone que $\dot \theta = \omega$ es constante. Si no lo fuese, deberías conocer su dependencia con r.

[arivasm]

Re: Fuerza centrífuga sobre una bola

Sólo comentar que en las últimas expresiones que escribe ZYpp centradas olvidó multiplicar por la masa de la partícula (pues hace referencia a fuerzas). De todos modos no afecta a lo que dice a continuación, pues lo que cuenta es absolutamente correcto.

[ZYpp]

Re: Fuerza centrífuga sobre una bola

Sólo comentar que en las últimas expresiones que escribe ZYpp centradas olvidó multiplicar por la masa de la partícula (pues hace referencia a fuerzas). De todos modos no afecta a lo que dice a continuación, pues lo que cuenta es absolutamente correcto.

En efecto, corrijo ahora mismo. Muchas gracias.

Saludos.

[Tellus]

Re: Fuerza centrífuga sobre una bola

Muchas gracias, ha sido de mucha utilidad.

También he visto que se puede resolver por lagrangianos, si queréis puedo poner el ejercicio resuelto de esta forma para futuras consultas de la gente