1r ciclo Frecuencia de disco acoplado a un muelle

[PedroAAI]

1.30. Un disco de momento de inercia I está acoplado a un muelle espiral de forma que cuando se desplaza un ángulo θ hacia la derecha (ver gráfico), se produce un par de fuerzas $\tau$ en sentido contrario y proporcional a θ. Recordando que$\frac{I d^2 \theta}{dt^2 }=\tau$, plantea la ecuación del movimiento y deduce la frecuencia de las oscilaciones
resultantes. (Por ejemplo probando soluciones $e^{at}$ ).


No sé ni siquiera por donde empezar el ejercicio, si me pudierais ayudar estaría agradecido.

[javier m]

Re: Frecuencia de disco acoplado a un muelle

bueno, ahí te dicen que el torque es proporcional al angulo theta y en sentido contrario, así que $\tau =-k \theta$ donde k es una constante positiva.

Reemplazando esto en la ecuación que pones queda que $\frac{I d^2 \theta}{dt^2 }=-k\theta$, o:

$$\frac{d^2 \theta}{dt^2 }+\dfrac{k}{I}\theta=0$$

Si uno ya está familiarizado con la ecuación uno inmediatemente podría concluir que $\omega ^2 =k/I$, pero te dicen que reemplases $\theta=e^{at}$.

Reemplazandolo en (1) obtienes que $a^2+\frac{k}{I}=0$, o que $a=i\sqrt{k/I}$.

Por tanto $\theta=e^{i\sqrt{\frac{k}{I}}t}=\cos(\sqrt{\frac{k}{I}}t)+i\cdot \sin(\sqrt{\frac{k}{I}}t)$

De modo que $\omega=\sqrt{\frac{k}{I}}$