Secundaria Energía - Ondas

[luiseduardo]

Una cuerda vibrante de de longitud L, asegurado en ambos extremos, está vibrando en su N-ésimo modo normal, con desplazamiento transversal dada por:



Cálculo de la energía total de la oscilación de la cuerda.

[arivasm]

Re: Energía - Ondas

Cada punto del medio es un oscilador armónico. Si su masa es $\dd m=\frac{M}{L}\dd x$ (M es la masa de la cuerda), la energía que le corresponde es $\dd E=\frac{1}{2}\dd m\omega^2 A(x)^2$, donde $\omega=n\pi v/L$ y la amplitud de oscilación es $A(x)=b_n\sin(n\pi x/L)$. Por tanto, la energía es $\dst E=\frac{1}{2}\frac{M}{L} \omega^2 b_n^2\int_0^L \sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \dd x$.

[luiseduardo]

Re: Energía - Ondas

Thanks, but I don't know how to integrate, could you, please, post only the maximum value of energy ? Gracias.

[arivasm]

Re: Energía - Ondas

La integral de $\sin^2$ se puede hacer fácilmente por partes. El resultado final es $\int \sin^2 x=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)$. Si llamamos $z=n\pi x/L$, como $\dd z =n\pi \dd x/L$ tenemos que $\dst \int_0^L \sin^2\left(\frac{n \pi}{L} x \right)\dd x=\frac{L}{n \pi}\int_0^{n\pi}\sin^2 z\dd z=\frac{L}{n\pi}\frac{1}{2}n\pi=\frac{L}{2}$

Al final se tiene que $\dst E=\frac{1}{4}M\omega^2 b_n^2$. Esto expresa lo siguiente: como es una onda de amplitud modulada por una función seno y el valor cuadrático medio del seno es $1/\sqrt{2}$, el resultado anterior puede verse como si fuese $\dst E=\frac{1}{2}M\omega^2\left(\frac{1}{2}b_n^2\right)$, es decir, como si la amplitud de las oscilaciones se reemplazase por su valor medio, que es $b_n/\sqrt{2}$