1r ciclo Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

[guibix]

Hola a todo el mundo!

Tengo un problema con el que estoy encallado. No es un problema de ejercicios (aunque lo podría ser), es un problema que he planteado yo mismo para un proyecto y del cual no sé la respuesta:

Un cuerpo de masa total $M_0$ no puntual, de simetría esférica y con el centro de masa en el origen de coordenadas, genera un potencial gravitatorio $\phi$ con la siguiente relación:

$$\phi=-G\frac{M_0}{\sqrt{k+r^2}},$$

en donde $k$ es un parámetro de localización del cuerpo (cuando $k$ tiende a cero el cuerpo se localiza en un punto en el origen y cuanto mayor es $k$ más difuso es el cuerpo.)

a) ¿Cuál es el radio en el que la aceleración del campo es máxima?

b) ¿Cuál es la función de densidad del cuerpo respecto del radio?

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Para el primero no hay problema, derivamos el potencial con respecto del radio para hallar la aceleración

$$g=-\frac{\dd\phi}{\dd r},$$

$$g=G\frac{\dd}{\dd r}\frac{M_0}{\sqrt{k+r^2}},$$

$$g=-G\frac{M_0r}{(k+r^2)^{3/2}},$$

e igualamos a cero la derivada de la aceleración con respecto del radio para hallar el máximo

$$\frac{\dd g}{\dd r}=0,$$

$$\frac{\dd}{\dd r}-G\frac{M_0r}{(k+r^2)^{3/2}}=0,$$

$$G\frac{M_0(2r^2-k)}{(k+r^2)^{5/2}}=0,$$

Eliminando los $r=\pm\infty$ y eligiendo la raíz positiva tenemos el radio de máxima aceleración.

$$r=\frac{\sqrt{2k}}{2}.$$

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Para el segundo es donde tengo el problema.

Con la función de potencial y la Ley Universal de Gravitación, podemos deducir cuanta masa encierra cada radio

$$-G\frac{M}{r}=-G\frac{M_0}{\sqrt{k+r^2}},$$

$$M=\frac{M_0r}{\sqrt{k+r^2}}.$$

Para encontrar la densidad en cada radio aplicamos su definición

$$\rho=\frac{\dd M}{\dd V},$$

Para el volumen de una esfera $V=\frac 4 3 \pi r^3,$ y aplicando la regla de la cadena

$$\rho=\frac{\dd M}{\dd r}\frac{\dd r}{\dd V},$$

$$\rho=\frac{kM_0}{4\pi r^2(k+r^2)^{3/2}}$$

Pues bien, creo que lo he hecho correctamente pero el resultado me da un infinito para $r=0,$ lo cual no parece muy razonable si el potencial en ese punto no es infinito.

¿He cometido algún error garrafal de novato o es que es posible matemáticamente que haya una densidad infinita sin potencial ni campo infinitos?

[arivasm]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

La vía más sencilla sería aplicar directamente el teorema de Gauss: $\nabla^2\varphi=4\pi G\rho$ y entonces como $\dst\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)$ resulta $\dst \rho=\frac{3M_0}{4\pi}\frac{k}{(k+r^2)^{5/2}}$.

Me da la sensación de que el error está en la expresión para la derivada de M respecto de r, pero prefiero pensarlo algo más.

[guibix]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

Muchas gracias arivasm!!

La vía más sencilla sería aplicar directamente el teorema de Gauss: $\nabla^2\varphi=4\pi G\rho$ y entonces como $\dst\nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)$ resulta $\dst \rho=\frac{3M_0}{4\pi}\frac{k}{(k+r^2)^{5/2}}$.

Claro, no se me ocurrió. Sabía que el resultado tendría una distribución como esta pero no daba con la manera de hallarla.

Me da la sensación de que el error está en la expresión para la derivada de M respecto de r, pero prefiero pensarlo algo más.

Ostras sí!, ahora lo veo. Lo hice bien pero cometí un error en la simplificación. Sería

$$\frac{\dd M}{\dd r}=\frac{M_0(k-x^2)}{(k+x^2)}.$$

Seguramente así da correcto. Ya lo miraré pero me gusta más tu razonamiento

Por cierto, como el problema no es copiado de ningún sitio podría servir para la web. Ya colgaré un hilo en colaboraciones.

Gracias de nuevo y saludos.

[Al2000]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

Tengo una objeción que hacer a tu planteamiento. El potencial que postulas, ¿en que rango de valores de $r$ es válido? Asumo que se trata del potencial en puntos interiores de una cierta distribución de masa de radio finito. Si esto es así, ¿en qué te basas para decir que el potencial en puntos interiores vale -GM/r en tu ecuación (9)? Esa sería la contribución al potencial de la masa que existe hasta el radio $r$, pero omites la contribución al potencial del resto de la masa desde el radio $r$ hasta el radio de la distribución (que a diferencia del campo no es cero).

Saludos,

Al

PD. Hice los cálculos y me respondo a mi mismo que la distribución de masa es infinita y que en efecto se corresponde con la densidad calculada por arivasm. La objeción al potencial igual a -GM/r la mantengo.

[arivasm]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

Antes de nada: la derivada del primer post era correcta, y el problema debe ser otro, seguramente lo que dice Al.

La justificación que se me ocurrió al ver el enfoque de guibix fue que puesto que por el teorema de Gauss el campo es el mismo que crearía una masa puntual concentrada igual a la que encierra una esfera de radio r, el potencial gravitatorio también debería serlo (por la relación $\vec g=-\vec\nabla\varphi$). Pero está claro que eso no conduce al valor correcto.

Si recurrimos al propio campo, determinado en la expresión (4) de guibix e igualamos con $\dst g=-G\frac{M}{r^2}$ tenemos una expresión diferente para la masa encerrada por una esfera gaussiana: $\dst M=M_0\frac{r^3}{(k+r^2)^{3/2}}$. Y al aplicarle a ésta $\dst\rho=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{\partial M}{\partial r}$ sí resulta lo mismo que expuse en mi post anterior.

Por tanto, aunque está claro que la clave está en lo que ha dicho Al, no veo como rebatir mi propia objeción expuesta en el segundo párrafo de este post!

[guibix]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

PD. Hice los cálculos y me respondo a mi mismo que la distribución de masa es infinita.

Sí, es un objeto con extensión infinita. No lo he mencionado y ahora que lo dices lo incluiré al enunciado. Gracias por comentar ese detalle.

La objeción al potencial igual a -GM/r la mantengo.

Ya veo, realmente mi confusión era esta. Porqué lo que es igual a la masa encerrada es la intensidad del campo y no el potencial. Por eso tampoco me ha funcionado la corrección de la derivada de la masa en mi segundo mensaje. Que tonto he sido al tomar el potencial sin pensarlo . Si planteo la igualdad de la misma manera con la intensidad del campo ya me da el mismo resultado que arivasm.

$$G\frac{M}{r^2}=G\frac{M_0r}{(k+r^2)^{3/2}},$$

$$M=\frac{M_0r^3}{(k+r^2)^{3/2}},$$

$$\rho=\frac{\dd M}{\dd r}\frac{\dd r}{\dd V},$$

$$\rho=\frac{3kM_0}{4\pi(k+x^2)^{5/2}}.$$

Me parece que al tener que estudiar tantas cosas nuevas se me olvidan cosas fundamentales que hace tiempo que no toco.

Gracias chicos por vuestra inestimable ayuda. Espero que al menos esto ya no se me olvide (¿o sí?).

Saludos.

PD: veo que arivasm se me ha avanzado (qué máquinas estáis hechos)

- - - Actualizado - - -

La justificación que se me ocurrió al ver el enfoque de guibix fue que puesto que por el teorema de Gauss el campo es el mismo que crearía una masa puntual concentrada igual a la que encierra una esfera de radio r, el potencial gravitatorio también debería serlo (por la relación $\vec g=-\vec\nabla\varphi$). Pero está claro que eso no conduce al valor correcto.
....
Por tanto, aunque está claro que la clave está en lo que ha dicho Al, no veo como rebatir mi propia objeción expuesta en el segundo párrafo de este post!

Anda! Pues ahora que lo dices, si en mi última ecuación (1) integras a ambos lados respecto del radio queda la ecuación que no dá la solución correcta. Aunque si bien es cierto lo que dice Al, que el potencial es el un valor en el que interviene toda la masa del sistema, mientras que para la intensidad del campo solo cuenta la pendiente. Pero a primera vista tampoco veo la solución de esta aparente contradicción.

[Al2000]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

...
Por tanto, aunque está claro que la clave está en lo que ha dicho Al, no veo como rebatir mi propia objeción expuesta en el segundo párrafo de este post!

Ni hay nada que rebatir, puesto que lo que pones es cierto para puntos exteriores a una distribución de masa con simetría esférica, mas no para puntos interiores...

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

...lo que pones es cierto para puntos exteriores a una distribución de masa con simetría esférica, mas no para puntos interiores...

Trataré de autoayudarme: no cabe la menor duda de que dos campos que procedan del mismo potencial, aunque las fuentes puedan ser diferentes, serán iguales, a la vista de $\vec g=-\vec \nabla\varphi$. También es cierto que la inversa podría no ser así, pues la operación implicada será una integración.

Puesto que estamos ante un campo radial, si elegimos el 0 del potencial en un punto situado a una distancia R del origen, tenemos que $\dst \varphi=\int_r^R\vec g\cdot\dd\vec r=\int_R^r g_r\dd r$.

Entiendo que lo que dice Al es que si más allá de r no hay materia tenemos asegurada la correspondencia con el campo generado por una masa puntual M(r) y entonces, si queremos situar R en el infinito, acabaremos por decir que $\dst \varphi=-G\frac{M(r)}{r}$. Pero si, como en el caso que nos ocupa, hay masa, entonces eso ya no será cierto, pues el campo ya no cumplirá que $\dst g_r(r'>r)=-G\frac{M(r)}{r'^2}$. Luego $\dst \varphi\neq-G\frac{M(r)}{r}$

[guibix]

Re: Densidad de masa a partir del potencial gravitatorio

Trataré de autoayudarme: no cabe la menor duda de que dos campos que procedan del mismo potencial, aunque las fuentes puedan ser diferentes, serán iguales, a la vista de $\vec g=-\vec \nabla\varphi$. También es cierto que la inversa podría no ser así, pues la operación implicada será una integración.

Puesto que estamos ante un campo radial, si elegimos el 0 del potencial en un punto situado a una distancia R del origen, tenemos que $\dst \varphi=\int_r^R\vec g\cdot\dd\vec r=\int_R^r g_r\dd r$.

Entiendo que lo que dice Al es que si más allá de r no hay materia tenemos asegurada la correspondencia con el campo generado por una masa puntual M(r) y entonces, si queremos situar R en el infinito, acabaremos por decir que $\dst \varphi=-G\frac{M(r)}{r}$. Pero si, como en el caso que nos ocupa, hay masa, entonces eso ya no será cierto, pues el campo ya no cumplirá que $\dst g_r(r'>r)=-G\frac{M(r)}{r'^2}$. Luego $\dst \varphi\neq-G\frac{M(r)}{r}$

Así es. Pude detectar el fallo solo por el cálculo, pues al integrar a ambos lados

$$G\frac{M}{r^2}=G\frac{M_0r}{(k+r^2)^{3/2}},$$

tomé a $M$ como constante, pero por supuesto es una función de $r$ y no se puede sacar de la integral. Por lo tanto no se puede aislar la función:

$$\int_0^r\frac{M(r)}{r^2}\dd r=\frac{M_0}{\sqrt{k+x^2}}$$

Aunque pude detectarlo, tu planteamiento además demuestra porqué el del campo es equivalente a la masa encerrada y el potencial no.

Creo que ahora ya lo veo claro y ya estoy jugando con distintos potenciales del tipo $M_0(k+x^n)^{-1/n}$ para hallar distribuciones de densidad y también con todo tipo de distribuciones de densidad para hallar los potenciales .

Gracias a los dos y salud!