1r ciclo Angulos de euler

[cv5r20]

Hola, ¿alguien podría explicarme como obtiene la matriz de velocidad angular proyectada en la base $\bar{1} \bar{2} \bar{3}$ ?

[felmon38]

Re: Angulos de euler

Para entender esto me he tenido que ir al procedimiento que se usa en Robótica que te paso a explicar sucintamente :
entre el sistema de referencia del Laboratorio o Global (que en la figura se le llama " fijo" mal llamado porque en cinemática todos los sólidos son fijos o móviles según el sistema de referencia que se utilice para identificar su posición), al que le referenciaremos como sistema "0", intercalaremos dos sistemas de referencia virtuales "1" y ,"2, tales que el "1" está unido a "0" por el eje X de "0" y su posición respecto de 0 está determinada por el ángulo de giro "q1".

Ahora unimos "2" con "1" por el eje Y de "1" y su posición respecto de "1", está determinada por el ángulo de giro "q2".

Por último el coche ( le llamaremos sistema "3" ) le unimos, también virtualmente, a "2" por el eje Z de 2, y su posición respecto de 2 está determinada por el ángulo de giro "q3".

Ahora la posición de "3" respecto de "0" está determinada por los tres ángulos "qi" mediante el producto de las sucesivas matrices de transformación de 1 respecto de 0, de 2 respecto de 1 y de 3 respecto de 2.

Los ángulos "qi" coinciden con los ángulos de Euler.

Para calcular la velocidad del coche respecto del Laboratorio no tienes mas que aplicar la propiedad cinemática de la velocidad angular de un sólido respecto de distintos sistemas.

[cv5r20]

Re: Angulos de euler

¿Como se obtienen esas matrices de transformacion ?

[felmon38]

Re: Angulos de euler

Para que las matrices sean lo más sencillas posibles, en el origen de ángulos, se eligen los ejes de los sistemas de coordenadas asociados a los sólidos coincidentes y con el origen común ( coinciden con el sistema de ejes xyz de la figura de los ángulos de Euler)
Voy a calcular, por ejemplo la matriz de cambio de base de 3 respeto de 2. ¡Olvídate de como se mueve 2 o 3 respecto de otros sistemas!, únicamente nos interesa el movimento relativo de 3 respecto de 2. Este es un giro alrededor del eje z de 2 y 3 un ángulo $\varphi$. Por lo tanto, las componentes de los vectores unitarios de los ejes de 3 proyectados sobre los ejes de 2, serán:

u_x=[cos($\varphi$),sen($\varphi$),0]

u_y=[-sen($\varphi$),cos($\varphi$),0]

u_z=[0,0,1]

Estos vectores son las columnas de la matriz de cambio de base de 3 respecto de 2

[mariolp]

Re: Angulos de euler

A ver, vayamos componente a componente.
Lo que estamos obteniendo es la velocidad angular del chasis respecto a los ejes 123, es decir, la velocidad angular en los ejes xyz respecto a los 123.

Empecemos por la primera componente. Si nos fijamos en el dibujo, vemos que $\dot \psi$ va en dirección x=1'. Lo que tenemos que hacer para hallar la primera componente es proyectar sobre el eje 1. Del dibujo, es sencillo observar que la primera componente va a ser $\dot \psi cos\theta$.

Para la segunda componente, vemos que $\dot \theta$ ya va en dirección 2, luego componente dos es directamente $\dot \theta$.

Por último, la tercera componente está formada por la proyección de $\dot \psi$ más la de $\dot \varphi$. Como $\dot \varphi$ ya está en dirección 3, tenemos que la tercera componente va a ser $\dot \varphi$ más la componente proyectada de $\dot \psi$, es decir, $\dot \psi cos\theta$.

Espero haberte ayudado, estos ejercicios se trata de ir poco a poco proyectando en unos ejes y en otros. Si son ejercicios sencillos como este se puede hacer "directamente" como te he explicado, sin embargo si estás en algún ejercicios con rótulas, movimientos relativos, etc. probablemente deberás ir paso a paso.

Un saludo