Olimpiada Una rueda hueca con gases que gira

[arivasm]

Otro ejercicio de la I Olimpiada Iberoamericana. Esta vez combinando Mecánica y Termodinámica.

La figura representa un rueda hueca, de sección transversal cuadrada de lado $r$ y radio interior $R$.

La cavidad de la rueda está dividida por tres separadores de tal forma que los volúmenes que delimitan están en la relación 1:2:3. Las cámaras están ocupadas por tres gases ideales diferentes.

Al interior de la rueda tienen acceso tres pistones radiales idénticos de constante elástica $k$ que se hallan en compartimientos radiales huecos al vacío.

Los separadores pueden desplazarse sin rozamiento, son muy delgados y de masa despreciable. Los pistones son idénticos de masa $M$. sección transversal cuadrada de lado $r$ y ajustan herméticamente en sus compartimientos. Sus extremos superiores son de radio de curvatura $R$. Con la rueda en reposo sus centros de masa se hallan a una distancia $R - r$, medida desde el centro de la rueda. (Si no hubiese ningún gas dentro de la rueda 1os pistones alcanzarían la pared externa de la misma y los resortes no estarían comprimidos ni estirados).

PREGUNTAS

Si el dispositivo gira a velocidad angular $\omega$ constante alrededor de un eje vertical y suponiendo que todo el sistema se mantiene a temperatura constante:

1. Determine la relación entre las presiones de los gases.
2. Determine la relación que hay entre los volúmenes de los gases.
3. ¿Qué distancia penetran los pistones en el interior de las cámaras de la rueda?
4. Determine los cambios de las posiciones angulares de los separadores.

[Richard R Richard]

Re: Una rueda hueca con gases que gira

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Haber si ser tecnico quimico sirve de algo?


1) las presiones deben igualarse sino los separadores se moverian hasta alcanzar un nuevo equilibrio

2) llamando

$Vi1 =$volumen inicial del recinto 1
$Vi2 =$volumen inicial del recinto 2
$Vi3 =$volumen inicial del recinto 3
$Vf1 =$volumen final del recinto 1
$Vf2 =$volumen final del recinto 2
$Vf3 =$volumen final del recinto 3
$Pi =$Presion inicial
$Pf =$Presion final
$Vi =$Voumen inicial Total
$Vf =$Volumen final Total

Entonces del resultado 1 $\frac {Pi}{Pf} =\frac {Vf1}{Vi1}=\frac {Vf2}{Vi2}=\frac {Vf3}{Vi3}$

y de esto $\frac {Vf1}{Vf2} = \frac {Vi1}{Vi2}$

$\frac {Vf2}{Vf3} = \frac {Vi2}{Vi3}$

$\frac {Vf1}{Vf3} = \frac {Vi1}{Vi3}$

entonces la relacion de volumenes es la misma

3) sin girar tenemos suponiendo que el CM del Piston esta en su cara externa ya que no tenemos el largo $k (R-(R-r))=Pi.r^2 \mapsto Pi=\frac k r$

por un lado $m\omega^2r + k \Delta x = Pfr^2$ (1)

si las presiones son iguales los $\Delta x$ de los reortes seran iguales en cada recinto entonces

$Vf=Vi-3\Delta xr^2$ (4)

Por otro $PiVi=PfVf \mapsto Pf= \frac{PiVi}{Vf} =\frac{PiVi}{Vi-3\Delta xr^2}$ (2)

igualando 1 y 2 se puede agrupar $\Delta x$ y resolver una cuadratica para hallarlo

4) si la relacion de volumenes no cambia el volumen mas pequeno antes de girar es

$Vi1=\frac1 6 Vi \mapsto vf1=\frac1 6 Vf$
$Vi1=\frac2 6 Vi \mapsto vf2=\frac2 6 Vf$
$Vi1=\frac3 6 Vi \mapsto vf3=\frac3 6 Vf$ (3)

como todos los [TEX\delta x[/TEX]fueron iguales cada volumen se comprime

$Vi1=Vf1 + \Delta x r^2 -{ \Delta}_{12 }xr^2 -{ \Delta}_{13 }xr^2$
$Vi2=Vf2 + \Delta x r^2 +{ \Delta}_{12 }xr^2 -{ \Delta}_{23 }xr^2$
$Vi3=Vf3 + \Delta x r^2 +{ \Delta}_{13 }xr^2 +{ \Delta}_{23 }xr^2$

pero estas ecuaciones son linealmente dependientes lo que hace falta en unirlas a las ecuaciones (3) y (4)

para resolverlas y hallar ${\Delta}_{12 }x,{\Delta}_{13 }x,{\Delta}_{23 }x$

es simple intiucion que el volumen mas pequeño desplace los separadores mas que los otros ya que la ralacion ,$\frac{\Delta x}{{Vi}_{i}}$ es mayor que en los otros, si los separadores estuvieran fijos su presion aumentaria mas y hallaria equilibrio con un [TEX]\Delta x [TEX] menor.

como esta este sistema no tiene una unica solucion, le falta concluir en que al ir aumentando [TEX]\omega[TEX] los pistones podrian deslizarse cumpliendo cualquier combinacion lineal, pero al no haber rozamiento y las presiones a ambos lasos de cualquiera de los 3 recintos siempre son las mismas, los ${\Delta}_{12 }x$ y ${\Delta}_{13 }x$ seran iguales en modulo pero de sentido contrario, lo mismo sucede con ${\Delta}_{13 }x$ y ${\Delta}_{23 }x$

si $\frac{Vi1}{Vi} = \frac{V1f}{Vf}$ al conservarse la relacion de volumenes tambien lo seran $\frac{Vi1-V1f}{Vi-Vf}$ como ${Vi-Vf}=3\Delta x r^2$

entonces
${\Delta}_{12 } x= \frac 1 2 \frac 1 2 \Delta x$
${\Delta}_{13 } x= \frac 1 2 \frac 1 2 \Delta x$
${\Delta}_{23 } x= \frac 1 2 \frac 1 2 \Delta x$

que sean positivos no quiere decir que se desplazan todos en el mismo sentido, como previ para que lado se iban a mover , su valor me quedaron positivos

[Al2000]

Re: Una rueda hueca con gases que gira

...Las cámaras están ocupadas por tres gases ideales diferentes.
...

Antonio, ¿el problema tiene trampa? Es decir, me regañó la oración que cito arriba... ¿Cómo pueden ser diferentes tres gases ideales? Y si son iguales, y sus presiones son iguales, ¿no es indiferente que existan o no unos separadores inmateriales entre "ellos" que se pueden mover con absoluta libertad?

[arivasm]

Re: Una rueda hueca con gases que gira

Hola Al!

Como se puede ver picando en el enlace, el enunciado pone exactamente eso. Entiendo que se refiere a que las masas molares son diferentes, pues obviamente el comportamiento será el mismo y determinado por las densidades del número de moléculas.

Por cierto que me alegro de que Richard R Richard se haya animado a resolver estos problemas. Éste en concreto me ha ocupado algunas veces, pero nunca hice nada con él que me convenciese.

He mirado superficialmente su respuesta. A ver si un día de estos tengo algo de tiempo para verla con calma.

[Richard R Richard]

Re: Una rueda hueca con gases que gira

Cuando los supones ideales da igual que sean tres gases diferentes, o el mismo en tres camaras separadas, si no estuvieran separadas no habria Problema que resolver. si el eje de giro era horizontal probablemente ni siquiera lo hubiera intentado.( en realidad no se aclara para donde actua la gravedad, yo la supuse vertical paralela al eje de giro)