dilatacion lineal

[kevin miranda caero]

como demostrar que la variacion del momento de inercia con la temperatura, de una varilla esta dada por la siguiente ecuacion:

\DeltaL=Io\DeltaT

[gdonoso94]

Re: dilatacion lineal

Creo que esa ecuación es algo distinto a lo que preguntas. La variación de momento de inercia con la temperatura, si no recuerdo mal, viene dada por:

$$\dst \Delta I=2\alpha I \Delta T$$

Saludos

Actualizo:

Ya que estoy y que me aburro bastante voy a ver si consigo demostrarlo.

Para empezar tenemos que el momento de inercia viene dado por:

$$\dst I=\int r^2 \dd m$$

Ahora consideremos la siguiente situación. Tenemos un objeto con un momento de inercia inicial $I=I_0$ y tras aplicarle un $\Delta T$ tiene un momento de inercia final $I_f$, por tanto la variación de momento de inercia vendrá dada por:

$$\dst \Delta I=I_f-I_0$$

Tenemos entonces que:

$$I_0=\int r_0^2\dd m_0$$

$$I_f=\int r_f^2 \dd m_f$$

Y si no recuerdo mal, de nuevo, la dilatación lineal, en este caso del radio viene dada por:

$$\dst r_f = r_0(1+\alpha \Delta T)$$

Y luego introduciendo esto en (4), despreciando los términos de segundo orden y suponiendo que la masa es constante ante el cambio de temperatura, que por nuestro bien, esperemos que así sea:

$$I_f=I_0(1+2\alpha\Delta T)$$

Introduciendo esto en (2), haciendo que $I_0=I$ y simplificando y reordenando un poco los términos se obtiene finalmente que:

$$\Delta I= 2\alpha I\Delta T$$

S.E.U.O.

Saludos!

[arivasm]

Re: dilatacion lineal

Otra alternativa pasa por tener en cuenta que el momento de inercia de una varilla es $I=k m L^2$, donde la constante $k$ depende sólo de cuál sea el punto respecto del cual se calcula. Derivando tenemos que $\dst \dd I = \frac{\partial I}{\partial T}\dd T=2 k m L \frac{\partial L}{\partial T} \dd T=2 \alpha k m L^2 \dd T= 2 \alpha I \dd T$ que sirve de fundamento para la aproximación que indica, correctamente, gdonoso.