Otras carreras Problema con tensiones en cables y poleas

[misterioso]

Buenas foreros,

Tengo un problema que creo que tiene que ser "sencillo", pero no soy capaz de resolver. Se trata de un problema real en el trabajo... toda la vida se ha echo así, pero ahora hay que "demostrarlo" A ver si me echáis una mano...

Resulta que tengo que determinar las tensiones y ángulos en los que va a trabajar el sistema del que os adjunto un esquema.

Hay que levantar una pieza. Para ello se utiliza el montaje que veis: os lo explico.

Se trata de cuatro cables, dos en el "piso superior" que se enganchan al gancho por el extremo superior y a una polea en el inferior. De ellos sabemos la longitud, 6m cada uno.

Los dos que están en el "piso inferior", en los dos extremos están sujetos a la pieza (cada uno de ellos en un extremo y al centro con una distancia entre puntos de anclaje de 5m) y pasan por la polea.

De ellos también sabemos su longitud, 12m cada uno (L1+L2 = 12)


El problema lo tengo al intentar encontrar la posición ( determinar alfa, beta, omega, a, b ) en la que trabajaran los cables. Planteo sumatorio de fuerzas, momentos.... y no logro llegar a ninguna solución.

Me podéis ayudar ????


Además de esto, supuestamente, este "montaje" sirve para suspender cargas rectangulares como la de la figura, que tengan el CDG desplazado del centro de la pieza y que estas "suban horizontales".

Como lo veis ??? yo no lo veo muy claro.... se os ocurre otro "montaje" que sirva para eso?

OJO !!! : la pieza debe ser cogida por tres puntos, ya que sino, al ser tan larga se rompe!!!!



MUCHAS GRACIAS POR VUESTRO TIEMPO Y SABIDURÍA !!!!!!!!

[felmon38]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

Antes de nada las fuerzas F1 y F2 son iguales por existir la polea (sin rozamiento o de masa despreciable) .

1 El cdg está en el centro del bloque. Por la simetría que presenta el sistema el número de incógnitas es de 5: 2 tensiones y 3 ángulos, así como son las ecuaciones: 2 igualando a cero las fuerzas sobre la polea, otras dos por la condición de eqilibrio del sólido y una por la condición geométrica impuesta por el dato de 5 m.

2. El cdg no está en el centro del bloque. Por la condición de equilibrio, el peso tiene que pasar por el gancho y suponiendo que se mantiene "horizontal", el número de incógnitas, teniendo en cuenta que se ha perdido la simetría,me salen 10 y también son 10 las ecuaciones, creo: 4 por las poleas, 3 por el equilibrio del sólido (ahora hay que añadir la condición de momento nulo) y por último 3 por las condiciones geométricas.

Por otra parte el sistema me parece muy ingenioso.

[misterioso]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Gracias por tu respuesta Felmon38,

Lo siento pero estoy atascado con este problema...... más o menos había llegado hasta el apartado 1.

2 igualando a cero las fuerzas sobre la polea: OK !!!

otras dos por la condición de eqilibrio del sólido : ???? me puedes dar un poco más de luz ????

una por la condición geométrica impuesta por el dato de 5 m: Ahí si que no te sigo ....


Siento estar tan cerrado de mente con este problema ... snif, snif

[Breogan]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

Además de esto, supuestamente, este "montaje" sirve para suspender cargas rectangulares como la de la figura, que tengan el CDG desplazado del centro de la pieza y que estas "suban horizontales".

Como lo veis ??? yo no lo veo muy claro.... se os ocurre otro "montaje" que sirva para eso?

OJO !!! : la pieza debe ser cogida por tres puntos, ya que sino, al ser tan larga se rompe!!!!

Mucho no me acuerdo del tema y nunca fui muy ducho para estos problemas . Toma con pinzas lo que te diga.

Me parece que este montaje no es solo para garantizar el transporte de cargas en forma horizontal, lo mismo lograrías con solo, por ejemplo, tres cables de igual longitud sujetos a la carga en los mismos puntos que los indicados en el dibujo y sus otros extremos en el gancho de la grúa. Me parece que el montaje del dibujo te garantiza que en ningún punto de sujeción de la carga la fuerza va a exceder una cierta fracción de la carga aunque sucedan ciertos imprevistos, que siempre sera menor a la mitad de la carga en cada punto.

P.e.: supone que descargas una carga larga con el sistema de tres cables, y cuando la apoyas en el suelo, 1º apoya solo una punta (por desniveles, obstáculos, etc), te va a quedar solo el cable de la otra punta haciendo fuerza y la carga se puede romper; usando el sistema del dibujo esto no sucedería, siempre tendrías la carga distribuida entre dos cables y el punto de apoyo.

En cuanto a la solución del problema, no se si me equivoco, los cables de acero forman un reticulado indeformable por tracción; es decir que los ángulos formados por los cables (supuestos ideales) no son función del estado de carga, y solo dependen de condiciones geométricas.
En cuanto a las tensiones de los cables haría el diagrama de cuerpo libre de la carga, y plantearía las condiciones de equilibrio estático, así en el aire creo que hay 8 incógnitas (las componentes de las 4 tensiones), 2 ecuaciones de equilibrio de fuerzas (horizontal y vertical), cuatro ecuaciones trigonométricas que relacionan componentes horizontales y verticales de cada tension, una ecuación de momentos respecto del punto medio de sujeción, y las dos ecuaciones de igualdad de las tensiones a ambos lados de cada polea.

Suerte

......Actualizado......

El numero de ecuaciones es mayor que el numero de incógnitas, si son independientes entre si (hay que verificar) el sistema es hipotenso (se decía así ?), mas ecuaciones que incógnitas Esto parece ser así ya que el cuerpo tiene tres grados de libertad (horizontal, vertical, y giro), y con los vínculos solo se reducen dos (vertical y giro), no se si se puede resolver el sistema de ecuaciones.

CREO !!!

Suerte

[felmon38]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

Misterioso, de las ecuaciones que te indiqué, hay una que se reduce a una identidad, por lo que me falta una ecuación. Creo que es debido al grado de libertad que introducen cada polea, y que ya los cables no se comportan como "un reticulado indeformable por tracción" como indica Breogan. Creo que la condición que me falta se puede imponer teniendo en cuenta que en la posición de equilibrio la energía potencial debe ser mínima, porque el grado de libertad que tiene el sistema, en el primer caso, permite variar esta. Las ecuaciones no me dan una solución explícita, teniendo que resolverlas numéricamente, y estoy intentando simplificarlas.Por esto estoy tardando en contestarte.

[Breogan]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

Creo que es debido al grado de libertad que introducen cada polea, y que ya los cables no se comportan como "un reticulado indeformable por tracción" como indica Breogan.

Seguramente me exprese mal, me refería a que los esfuerzos de la carga sobre los cables son exclusivamente verticales descendentes.

Yo hice el siguiente análisis geométrico en ausencia de fuerzas de carga horizontales, el punto de los cables sujetos a la carga por dos puntos y que están sobre cada polea solo pueden ocupar lugares sobre una elipse con focos en los puntos de fijación, y las poleas que están en la punta de los cables sujetos al gancho de la grúa describen un circulo con centro en el gancho de la grúa. La posición de equilibrio exigiría que el circulo fuera tangente a ambas elipses, lo cual haría que la geometría de los cables dependa solo del esfuerzo horizontal aplicado (que yo considere nulo) y no del vertical (siempre y cuando este ultimo apunte hacia abajo y sea distinto de cero?).

Creo

Suerte

[felmon38]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

Bueno, resulta que no me faltan ecuaciones porque no había puesto la condición de que la carga está en el centro del bloque, por lo que no se puede imponer la condición de que la energía potencial sea mínima y, por lo tanto, no podemos aplicar la brillante solución propuesta por Breogan, aunque hay que tenerla en la reserva por si hay que aplicarla en el caso general.

Ecuación en polares de la elipse:

$\rho$=p/(1-e*cos($\alpha$)), siendo p=b^2 y e=c/a

De aquí sacamos L₁ y L₂ en función de $\\alpha$, que será la incógnita principal del problema:

L₁= p/(1-e*cos($\\alpha$)) y L₂=12 - L₁


Las cinco ecuaciones del problema son:

$\beta$=sen^-1(L1*sen($\alpha$)/L₂)

F₁=30000*9.81/((sen($\alpha$)+sen($\beta$))*2)

F_a=6*F₁*(cos($\alpha$)-sen($\beta$))/(L₂*cos($\beta$))

$\Omega$=sen^-1(F₁*(sen($\alpha$)+sen($\beta$))/F_a

por último, sustituyendo las expresiones de las variables se obtiene la ecuación en $\alpha$, que hay que resolverla numéricamente:

L₂*cos$\beta$-6*cos$\Omega$=0

A mi me sale el siguiente resultado:

$\alpha$=0.507 rd, $\beta$=1.123 rd, $\Omega$ =1.263 rd F₁=106110 N, F_a=154418 N

[misterioso]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Muchas GRACIAS por vuestro tiempo y vuestras respuestas !!!!

Me lo voy a estudiar ... y a ver si me sale !!!

- - - Actualizado - - -

Hola:

Bueno, resulta que no me faltan ecuaciones porque no había puesto la condición de que la carga está en el centro del bloque, por lo que no se puede imponer la condición de que la energía potencial sea mínima y, por lo tanto, no podemos aplicar la brillante solución propuesta por Breogan, aunque hay que tenerla en la reserva por si hay que aplicarla en el caso general.

Ecuación en polares de la elipse:

$\rho$=p/(1-e*cos($\alpha$)), siendo p=b^2 y e=c/a

De aquí sacamos L₁ y L₂ en función de $\\alpha$, que será la incógnita principal del problema:

L₁= p/(1-e*cos($\\alpha$)) y L₂=12 - L₁


Las cinco ecuaciones del problema son:

$\beta$=sen^-1(L1*sen($\alpha$)/L₂)

F₁=30000*9.81/((sen($\alpha$)+sen($\beta$))*2)

F_a=6*F₁*(cos($\alpha$)-sen($\beta$))/(L₂*cos($\beta$))

$\Omega$=sen^-1(F₁*(sen($\alpha$)+sen($\beta$))/F_a

por último, sustituyendo las expresiones de las variables se obtiene la ecuación en $\alpha$, que hay que resolverla numéricamente:

L₂*cos$\beta$-6*cos$\Omega$=0

A mi me sale el siguiente resultado:

$\alpha$=0.507 rd, $\beta$=1.123 rd, $\Omega$ =1.263 rd F₁=106110 N, F_a=154418 N

Buenas tardes felmon38,

Ante todo muchas gracias por tu trabajo.

Me he estado rompiendo un rato la cabeza con tu solución, y tengo un par de dudas que no me dejan avanzar....

Cuando planteas la ecuación de la elipse en polares dices que : =p/(1-e*cos()), siendo p=b^2 y e=c/a

Yo he estado sustituyendo y dándole vueltas un par de veces y me que que a lo que llamas p = b^2; a mi me sale p = b ... Puedes comprobarlo ????


Por otro lado, no acierto a ver de donde te sale la tercera ecuación del grupo de cuatro. Me lo puedes decir ???



Ya casi lo tengo.... MUCHAS GRACIAS !!!!

[felmon38]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola, naturalmente me ha faltado el denominador que es "a" en la expresión de p, aunque esto ha sido un error tipográfico de mi secretaria ( ja!). Respecto de la tercera ecuación, se ha obtenido proyectando en el eje x las fuerzas que actúan sobre la polea igualándolas a 0 y sustituyendo el cos$\Omega$ por cos$\Omega$=L₂.cos$\beta$/6, como se deduce de la figura. Ánimo.

[Breogan]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

En el presente propongo una forma de resolución.

Para ser mas claro en la resolución del problema hice un dibujo esquemático del problema:

Aunque el razonamiento es valido, todos los resultados son coherentes con una carga centrada, es decir que la recta de acción vertical de la carga pasa por el punto O.

Parto de la proposición ( de la cual hablo mas adelante) de que la geometría de los cables es independiente del modulo del peso de la carga, y del punto de aplicación de esta, siempre y cuando este pertenezca al intervalo $( A'B' )$.

Para analizar esto ultimo parto de que el peso esta en la posición P a una distancia d del punto A', en esta posición tomamos el momento de todas las fuerzas aplicadas en el cuerpo con respecto al punto A, y por la condición de equilibrio la suma de todos los momentos debe ser igual a cero, en modulo es:

$\dst \sum_{\forall \ i} M^AF_i=M^AP+M^AF_{1}+M^AF_{2}+M^AF_{3}+M^AF_{4}=0$

como las rectas de acción de F1 y F2 pasan por el punto A su momento sera nulo, y al momento de las fuerzas F3 y F4 los englobamos en un termino con el nombre genérico $M^AF_D$ (momento de las fuerzas de la rama derecha de cables respecto de A), por lo cual la formula anterior queda:

$\dst M^AP+M^AF_D=0$

de esta formula se puede ver que mientras que el punto de aplicación de P este a la derecha de A', su momento sera horario y para que la suma de cero el $M^AF_D$ sera anti-horario y los cables de la derecha estarán sometidos a la tracción, lo cual es un estado aceptable para cables y como consecuencia existe el equilibrio.

A medida que el punto de aplicación de P se acerca a A' su momento respecto de A ira disminuyendo hasta hacerse cero cuando d=0, y en este caso los cables de la derecha no tendrían que soportar ningún esfuerzo.
Si el peso estuviera en la posición P' a una distancia d' a la izquierda del punto A', su momento sería anti-horario y $M^AF_D$ debería ser horario para que la suma siga siendo cero y haya equilibrio, para esto los cables de la derecha deberían estar sometidos a la compresión, y como esto no es posible resulta que este no es un estado estable para la configuración dada.

Dada la simetría de la configuración de los cables, se puede concluir que este arreglo solo funciona cuando el peso esta aplicado entre los puntos A' y B'.

Ahora suponiendo que el peso esta aplicado en un punto entre A' y B' , y suponiendo que la geometría de los cables no depende del peso, por geometria podemos decir que:

Triangulo 1A2:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Paralelogramo 2AOB3:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tenemos seis ecuaciones con seis incógnitas $(L_1 , L_2 , \alpha , \beta , \Omega , \gamma )$, y $L = 6 \quad , \quad a+b = 5 \quad y \quad L_{12}=12$ por lo cual el sistema es resoluble (si no me equivoque en ninguna ecuación, y ademas no hay ninguna ecuación que sea dependiente de las otras). Con los resultados también se pueden averiguar los valores de a y b.

Ahora planteamos las condiciones de equilibrio para el sistema:

Sumatoria de los momentos de las fuerzas respecto del punto A:

$\dst \sum_ {\forall \ i} M^AF_{_i}=0$

$M^AF_B+M^AP=0$

de esta se deduce el modulo de $F_B$, y por geometría $F_B$ se puede descomponer en las dos fuerzas $F_3 \ y \ F_4$.


Sumatoria de las componentes horizontales de las fuerzas:

$\dst \sum_ {\forall \ i} F_{H_i}=0$

$\dst F_1 cos \alpha - F_2 cos \beta + F_3 cos \alpha - F_4 cos \beta =0$

Sumatoria de las componentes verticales de las fuerzas:

$\dst \sum_ {\forall \ i} F_{V_i}=0$

$\dst F_1 sen \alpha + F_2 sen \beta + F_3 sen \alpha + F_4 sen \beta -P =0$

De estas dos ultimas despejamos los módulos de las fuerzas $F_1 \ y \ F_2$

Sin haberlo echo hasta el final, creo que con esto se debería poder terminar de resolver.


La interpretación de felmon38 sobre lo dicho por mi en otro post es mas que correcta " condición de que la energía potencial sea mínima", aunque yo no me había percatado de ello, yo lo plantee desde el punto de vista geométrico.

En el siguiente dibujo se puede ver que si no se conserva la tangencia de las elipses y el circulo, descrito en cada caso por los cables, la energía potencial del sistema aumenta.

Si se planteara la energía potencial de la carga en función del angulo $\gamma$, se debería ver que esta tiene un mínimo para un angulo $\gamma$, y este angulo sería tal que cumpliría con la tangencia del circulo y las elipses.

Yo lo analice desde el punto "dinámico"; p.e. la fuerza que hacen los cables de largo L, siempre son normales a la tangente al circulo que describen sus extremos, si circulo y elipse son tangentes entre si comparten la misma tangente y como hablamos de un sistema en equilibrio la resultante de F1 y F2 (F3 y F4) también serán normales a las elipses, por lo cual no hay componentes tangenciales a la posible trayectoria de desplazamiento, por lo cual hay equilibrio. Por el contrario si el circulo y las elipses no son tangentes existe una componente tangencial a la elipse de la fuerza que rompe el equilibrio.

Esto ultimo quedo muy mal explicado, pero no me da para mas.

Hay que revisarlo, puede haber metido la cola el diablo y haber algún error (siempre otro tiene la culpa )

Suerte

[felmon38]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

¡Menudo trabajo Breogan! El problema que veo, en el caso general, es si las sujeciones inferiores de los cables deben estar sobre una recta horizontal y si existe solución en este caso, se trata de una posición estable o inestable.

[Breogan]

Re: Problema con tensiones en cables y poleas

Hola:

El problema que veo, en el caso general, es si las sujeciones inferiores de los cables deben estar sobre una recta horizontal y si existe solución en este caso, se trata de una posición estable o inestable.

Gracias por la acotación, no se si modificar el post anterior, seria agregar mas ruido, creo!!

Como bien decís, y tomando como ejemplo el 1º dibujo de mi post anterior, con el peso en la posición indicada con P va a existir un momento de P respecto de O y en consecuencia la carga va a rotar hasta que dicho momento se anule. Esto sucederá cuando la recta de acción del peso P pase por el punto O.
Así en el aire creo que se puede seguir aplicando el razonamiento de mi post anterior pero teniendo en cuenta la rotación de la carga como una inclinación (con el mismo angulo) del vector que representa el peso.

Va a cambiar la posición de los puntos A' y B', y su nueva ubicación sería en la intersección de los cables de largo L y la linea superior de la carga. Si fuera necesario postearía con mas detalle.

Suerte

PD: voy a puntualizar en el post anterior que la solución es para una carga centrada. Gracias

Suerte