Secundaria Solución de oscilador armonico

[juantv]

Buenas,

La ecuacion diferencial del oscilador armonico es:

$\dst \ddot{y} + \omega ^2 y = 0$

Tengo dudas acerca de como se llega (matemáticamente) a la solucion $\dst y = A \cos (\omega t + \phi)$.


Mi intento

$\dst \ddot{y} + \omega ^2 y = 0$ es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes

entonces su solucion es de la forma $y = k e^{r t}$

la variable $\dst r$ la hallo recurriendo a la ecuación auxiliar $\dst r^2 + 0 r + \omega ^2 = 0$

por lo que obtengo como solucion de $\dst r$

$\dst r_1 = \omega i$

$\dst r_2 = - \omega i$

según lo que he leído, la solución sera de la forma

$\dst y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$

Luego

$y = C_1 ( \cos (\omega t) + i \sin(\omega t) ) + C_2 ( \cos(\omega t) - i \sin(\omega t))$

$\dst y= (C_1 + C_2) \cos(\omega t) + (C_1 - C_2) i \sin(\omega t)$

compactando un poco la expresión, $\dst K_1 = C_1 + C_2$ , $\dst K_2 = C_1 - C_2$

quedando finalmente

$\dst y = K_1 \cos (\omega t ) + i K_2 \sin (\omega t)$



conclusión:

me ha quedado una ecuación compleja (tiene parte imaginaria $\dst i$), sin termino $\phi$ en el argumento


con lo cual a mi no se me parece a la simple $\dst y = A \cos (\omega t + \phi)$


Que he hecho mal?



Agradezco su orientación al respecto.

[[Beto]]

Re: Solución de oscilador armonico

Eso es porque solo haz encontrado una solución, recuerda que la solución es la combinación lineal de dos funciones linealmente independientes

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

Sigo sin entender, que se supone que debo hacer adicional para llegar a $\dst y = A \cos(\omega t + \phi)$ ?

Agradezco su orientación al respecto.

[Elkin]

Re: Solución de oscilador armonico

Sigo sin entender, que se supone que debo hacer adicional para llegar a $\dst y = A \cos(\omega t + \phi)$ ?

Agradezco su orientación al respecto.

Hola,

Ya sabes que para cada elección de las constantes $c_1$ y $c_2$ se encontrará una solución particular a la ecuación. Dos elecciones convenientes para lo que dices son:

$c_1=c_2=1$
$c_1=1; c_2=-1$

Entonces encuentras una solución particular con cada una de estas elecciones.

Como bien sabes la solución general es la combinación lineal de las particulares.

Si haces lo que te digo vas a encontrarte con una combinación de un coseno y un seno.

Puedes encontrar que esta solución concuerda con la que buscas con la fórmula de suma de la función seno. Claro ahí encontrarás algunas condiciones sobre el ángulo $\phi$


Saludos

[felmon38]

Re: Solución de oscilador armonico

Juantv, lo único que tienes que hacer es incluir "i" en el paréntesis y ahora igualar los paréntesis que contienen las C 's a las constantes reales K1 y K2. Adiós, me voy porque tengo prisa y no me da tiempo a detallar más.

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola,

Ya sabes que para cada elección de las constantes y se encontrará una solución particular a la ecuación. Dos elecciones convenientes para lo que dices son:




Entonces encuentras una solución particular con cada una de estas elecciones.

Como bien sabes la solución general es la combinación lineal de las particulares.

Si haces lo que te digo vas a encontrarte con una combinación de un coseno y un seno.

Puedes encontrar que esta solución concuerda con la que buscas con la fórmula de suma de la función seno. Claro ahí encontrarás algunas condiciones sobre el ángulo


Saludos

$\dst y= (C_1 + C_2) \cos(\omega t) + (C_1 - C_2) i \sin(\omega t)$

$\dst K_1 = C_1 + C_2$ , $\dst K_2 = C_1 - C_2$

$\dst y = K_1 \cos(\omega t) + K_2 i \sin(\omega t)$

$\dst \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha)$

a ver si entiendo

para $\dst c_1 = c_2 =1$ obtengo $\dst y_1 = 2 \cos(\omega t)$

para $c_1 =1$ , $c_2 = -1$ obtengo $y_2 = 2 i \sin(\omega t)$


Luego

$y_g = y_1 + y_2$

$y_g = 2 \cos(\omega t) + 2i \sin(\omega t)$


aquí de nuevo no se como llegar a $y = A \cos(\omega t + \phi)$

podrías darme orientación?


Agradezco su orientación al respecto.

[Breogan]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola:

Para la ecuación diferencial del oscilador armonico, que es:

$\dst \ddot{y} + \omega ^2 \ y = 0$

(fijate que en tu 1º post la formula creo que esta equivocada, habrías puesto una $\dot y$ en vez de una $y$)

como dice Beto hay una base del espacio de las soluciones que estara formado por sus autofunciones, que en este caso son $( cos \omega t,sen \omega t )$.
Cualquier combinación lineal de estas dos funciones también sera solución de la ecuación diferencial.

$$y(t)=\lambda_1\ cos \omega t + \lambda_2 \ sen \omega t$$

En particular: $k \ee^{i \omega t}=k\ cos \omega t+k\ i sen \omega t$ es solución de la ED por que es combinación lineal de la base del espacio de soluciones.Si vos propones al iniciar que la solución de la ecuación diferencial es compleja, y combinación lineal (compleja) de las funciones de la base, la solución te va a dar compleja.



Proba con una solución del tipo de la indicada en (1), con $\lambda_1 \ y \ \lambda_2 \$ reales

s.e.u.o.

Suerte

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

no me queda claro como de

$\dst y = (C_1 + C_2) \cos(\omega t) + (C_1 - C_2) i \sin(\omega t)$ ( o lo que es lo mismo $\dst y = K_1 \cos(\omega t) + K_2 i \sin(\omega t)$ )

llegar a

$y=A\cos(\omega t + \phi)$


Lo siento, pero no lo veo tan inmediato


Agradezco su orientación al respecto.

[Breogan]

Re: Solución de oscilador armonico

Hola:

Si la solución propuesta es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
podemos interpretar $\lambda_1 \ y \ \lambda_2$ como los lados de un triangulo rectángulo con angulo $\phi$, y a cuya hipotenusa la llamamos $\lambda$, sin por eso perder generalidad, queda:

$\lambda_1=\lambda cos \phi$

y

$\lambda_2=\lambda sen \phi$

reemplazamos en la ecuación (1) tenemos:

$$y(t)=\lambda \ cos \phi \ cos \omega t + \lambda \ sen \phi \ sen \omega t$$

de esta ultima ya es inmediato llegar al resultado, creo !!!

Suerte

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

Muchas gracias Breogan,

Porque se puede prescindir de la parte imaginaria? si la solución a la que llegue me daba $\lambda _2$ como imaginario

$\dst y = K_1 \cos (\omega t) + K_2 i \sin(\omega t)$

allí se ve que $K_2$ va acompañado de $i$ , porque entonces se quita esa $i$ ?


Agradezco su orientación al respecto.

[Elkin]

Re: Solución de oscilador armonico

$\dst y= (C_1 + C_2) \cos(\omega t) + (C_1 - C_2) i \sin(\omega t)$

$\dst K_1 = C_1 + C_2$ , $\dst K_2 = C_1 - C_2$

$\dst y = K_1 \cos(\omega t) + K_2 i \sin(\omega t)$

$\dst \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\beta) \cos(\alpha)$

a ver si entiendo

para $\dst c_1 = c_2 =1$ obtengo $\dst y_1 = 2 \cos(\omega t)$

para $c_1 =1$ , $c_2 = -1$ obtengo $y_2 = 2 i \sin(\omega t)$

Hasta aquí estamos de acuerdo.

Ahora debes de utilizar el teorema más famoso para mí de las ED. Lineales: superposición. Del cual se puede extraer el siguiente colorario:

Un múltiplo constante $y=c_1y_1$ de una solución $y_1(x)$ de una ecuación diferencial lineal homogénea es también una solución


Entonces sólo multiplicas por una constante a la final te puede quedar:

$y= c_1\cos(\omega t)+c_2\sin(\omega t)$

A partir de este resultado puede llegar a lo que buscas. Me parece que Breogan ya lo explicó.

saludos

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

reemplazamos en la ecuación (1) tenemos:



de esta ultima ya es inmediato llegar al resultado, creo !!!

de eso se llega a que

$y(t) = \lambda \cos(\omega t - \phi)$

hay algún problema con el signo? no debería haberme quedado $y(t) = \lambda \cos(\omega t + \phi)$ ?


agradezco su orientación al respecto.

[[Beto]]

Re: Solución de oscilador armonico

El signo no importa phi es una constante que dependerá de las condiciones iniciales.

[juantv]

Re: Solución de oscilador armonico

Gracias,

y respecto a la pregunta que hice acerca de prescindir de la parte imaginaria? porque se puede quitar la $\dst i$ en

$\dst y = K_1 \cos(\omega t) + K_2 i \sin(\omega t)$

Porque se quita la $\dst i$ que acompaña a la constante $\dst K_2$ ?


no entiendo porque se quita, si al intentar resolver la ecuación diferencial me apareció el numero imaginario $\dst i$ (véase el procedimiento que seguí)


Agradezco su orientación al respecto.

[[Beto]]

Re: Solución de oscilador armonico

No la están quitando, sucede que hay otra solución con componente real sin(wt) que es linealmente independiente con la que haz encontrado, al final solo consideran la parte real de la solución total.