Otras carreras Conservación de momento angular/cinético

[chrishaig]

Hola, tengo una duda con el siguiente problema:
Sobre una calesita de radio $R$, masa $m_C$, momento de inercia $I_{CM_C}$ que gira con velocidad angular cte. $\omega_0$, hay un hombre de masa $m_H$ parado en el borde (a una distancia $R$ del centro). Hallar la nuevas velocidades de la calesita: luego de que el hombre salte y caiga a Tierra; luego de que el hombre vuelva al borde de la calesita.

($O$ es el $CIR$, centro instantáneo de rotación (centro de la calesita)
Bueno, lo que yo planteé es que como no hay fuerzas cuyo momento respecto del centro de la calesita sea distinto de 0, el impulso angular es 0, por lo que el momento angular del sistema es cte. Lo siguiente es para el instante anterior a que el hombre salta, y el instante posterior (cuando ya está en el piso), por lo que el hombre se encuentra a la misma distancia que antes de O, y tiene velocidad angular $\omega_0$:

El momento angular del sistema inicial es:

$\vec{L}_{CM_0}=I_{CIR_0}\vec{\omega}_0$

donde $I_{CIR_0}$ es $I_{CM_0}+M_T$ $r^2$ y

$I_{CM_0}$ es la suma de los momentos de inercia de la calesita y del hombre respecto del nuevo CM del sistema, $M_T$ es la masa total y r es la distancia del CM del sistema a $O$.
Para el instante posterior al salto:

$\vec{L}_{CM_F}=I_{CIR_F}\vec{\omega}_F$

El $I_{CIR_F}$ es exactamente igual al $I_{CIR_0}$, verdad? ya que no cambia ni la masa del sistema, ni la distancia del CM a O (que sigue siendo el CIR) - en el instante inmediatamente posterior -
Entonces concluyo... la velocidad final es igual a la inicial... es correcto esto?
Y cuando el hombre vuelve a la calesita, sigue igual?

Gracias!

- - - Actualizado - - -

donde $I_{CIR_0}$ es $I_{CM_0}+M_T$ $r^2$ y

$I_{CM_0}$ es la suma de los momentos de inercia de la calesita y del hombre respecto del nuevo CM del sistema, $M_T$ es la masa total y r es la distancia del CM del sistema a $O$.

Acabo de darme cuenta de que desarrollar el $I_{CIR}$ de esa forma implica:
Calcular el nuevo CM del sistema
Hallar el I de la calesita respecto de ese CM
Hallar el I del hombre respecto de ese CM
Sumar ambos I, y sumar también, $(m_H+m_C)*r^2$, donde r es la distancia del nuevo CM al centro de la calesita.

Pero hice todo eso y medio exactamente lo mismo que hacer:
$I_{CIR}=I_{CM_C}+m_H*R^2$ (R es el radio de la calesita)

Esto es así de casualidad o yo podría haber llegado a este resultado, sin hacer todo lo que hice antes? Yo tenía entendido que si tenía dos cuerpos unidos, para hallar el I del conjunto respecto del CM debía sumar los I de cada elemento respecto de este CM. Después, como el CIR no es el CM, de acuerdo al Teorema de Steiner, debo sumar al resultado anterior el término $(m_H+m_C)*r^2$.
Todo eso que hice yo es equivalente a sumar el I de la calesita respecto de su centro y el I del hombre respecto del centro de la calesita?

Gracias!

[pepe pistolero 7]

Re: Conservación de momento angular/cinético

Vamos por partes. El intento va muy bien pero hay algunas confusiones. Tal vez sean solamente una cuestión de nomeclaturas, pero prefiero aclararlas:
1)Los I se calculan respecto a un eje de giro, no a un centro de masa.
2)Segundo, no te metas con centro de masa, no es necesario y estaría mal conceptualmente. Utilizá un eje de giro en el medio de la calesita y ya. La única fuerza que hay actuando es el roce entre el piso de la calesita y los pies del hombre. Es una fuerza interna al sistema y por lo tanto L=cte (esto lo tenés en claro pero por las dudas lo expreso como lo justificaría yo). Este L es con respecto al eje del centro de la calesita por supuesto.

Entonces
L(antes de saltar)=L(después de saltar)
El calcular L(antes de saltar) es sencillo, es [I(calesita)Wo+I(hombre)Wo], vos lo calculaste bien.

Ahora el problema lo tenés con el L(después de saltar), analicemos (todo es después de saltar):
L"total" = L(calesita) + L(hombre)= I(calesita)Wf(calesita) + L(hombre), el L de la calesita es sencillo de obtener, Wf es la incógnita que queremos resolver. Lo que no es tan sencillo pensar es en el nuevo L del hombre. Si lo pensamos como I(hombre)Wf(hombre) es demasiado complejo, mejor volvemos a la fórmula del L y decimos L(hombre)=r^p=r^mv, es decir, vector posición respecto al eje producto vectorial momento lineal. Ahora vemos que r inmediatamente después de saltar es igual al radio de la calesita. m es la masa del hombre. v es el vector velocidad, que solamente juega en el sentido perpendicular al eje. Me es muy dificil analizar bien esto sin la ayuda de un esquema, pensá en que si el tipo salta con cierta velocidad para un lado, para el otro, simplemente hacia arriba, etc, en todos los casos la velocidad que adquiere la calesita es distinta. Necesitás tener como dato v del tipo (la velocidad con la que salta respecto al suelo), o de última hacerlo en función de la velocidad. Ponele, si estás en la calesita y saltás a favor del giro, la calesita disminuye su velocidad angular (vos le tenés que hacer fuerza en contra para impulsarte), si saltás en dirección contraria al giro gana velocidad (vos le hacés fuerza a favor para impulsarte), etc. Pensá en eso y fijate si sale, sino te hago un esquema en paint.

Ah, me faltó, teniendo v como dato o haciendo el problema en función de v, solamente te queda la incógnita de Wf de la calesita que igualabndo L antes y después sale despejando.

[chrishaig]

Re: Conservación de momento angular/cinético

Esto estaba en un examen, la consigna decía algo así como 'da un salto radial y cae en tierra firme', lo cual no deja del todo claro si se sigue moviendo o no, pero vi la corrección y aparentemente debí suponer que se quedaba quieto entonces quedaría:
$L_f=L_0$

$(I_{CM_C}+m_H R^2)\omega_0=I_{CM_C}\omega_f$

Y de ahí sale $\omega_f$

[pepe pistolero 7]

Re: Conservación de momento angular/cinético

"Salto radial" puede significar al menos dos cosas, que el tipo se tira respecto a su visión de la calesita hacia afuera, o que se tira radialmente respecto al suelo. Te pongo este dibujo super simple:

En rojo vemos las direcciones hacia donde intenta tirarse el tipo, y en negro el desplazamiento que efectivamente realiza. En el caso uno, vos estás en la calesita y te intentás tirar simplemente hacia afuera, pero terminás viajando torcido. Lo mismo que tirarse de un tren, vos te tirás para adelante, pero seguís viajando y terminás cayendo mas adelante de donde querías. En el segundo, en donde viajás recto, tenés que tirarte torcido para realizar ese desplazamiento. Si tuviera que rendir el examen, preguntaría que significa "salto radial", si es respecto al suelo o si es respecto a la visión del tipo.

En el primer caso, si el tipo salta y luego se queda quieto, L no es constante. Para que L sea constante, no debe haber torque externo, y este existe en el rozamiento del hombre con el suelo al caer, que es lo que lo frena. Los problemas de este tipo los tenés que resolver siempre con el hombre "en el aire". De echo si lo hacés un instante después de saltar, Wf del tipo es igual al de la calesita, y su momento de inercia también, lo que hace que todo se mantenga igual y la calesita no cambie su velocidad angular.

En el segundo caso, en el que salta radialmente respecto al suelo y lo frena el rozamiento (que no hace torque respecto al eje), el L del tipo final es cero, porque no se está moviendo, y tu resolución estaría bien.

Igual, te recomiendo que le prestes atención a la solución que te propuse antes porque es mucho mas general, y te permite resolver el problema para cualquier tipo de salto con cualquier tipo de velocidad con cualquier tipo de dirección (respecto al suelo), planteando el L del tipo no con momento de inercia sino como r^p.