1r ciclo Atracción debida a un cono

[Zhisi]

Hola. Tengo que calcular la atracción newtoniana de un cono de densidad cte $\rho =cte$, altura $h$ y con un ángulo en el vértice $\alpha$ sobre una masa unitaria que se encuentra sobre su vértice.

Yo hago lo siguiente. Situo el sistema de coordenadas sobre el vertice de modo el cono "se abra" en el sentido positivo del eje z y utilizo la siguiente ecuación:

$G\iiint \frac{\rho \dd x \dd y \dd z}{x^2+y^2+z^2}$

donde $x^2+y^2+z^2=r^2$ es la distancia al cuadrado entre la masa unitaria que se encuentra en el vértice y el correspondiente diferencial de volumen. Ahora lo paso a coordenadas cilíndricas y saco la densidad fuera de la integral:

$G\rho \iiint \frac{r }{r^2+z^2}\dd \theta \dd r \dd z$

Los limites de la integral son:

$\theta \in [0,2\pi ]$
$z \in [0,h]$
$r \in [0,ztg(\alpha /2)]$

Por lo que la integral queda:

$G\rho 2\pi \iint \frac{r }{r^2+z^2} \dd r \dd z=G\rho 2\pi \iint \frac{1 }{2}(ln(z^2tg(\alpha /2)-ln(z^2)) \dd z=G\rho \pi \iint (ln(tg(\alpha /2)+1) \dd z=$

$=G\rho \pi h ln(tg(\alpha /2)+1)=G\rho \pi h ln(1/sin^2(\alpha /2))=-2Gh\rho \pi ln(sen(\alpha /2))$

¿Es esto correcto?

Muchas gracias.

[javier m]

Re: Atracción debida a un cono

Creo que no tuviste en cuenta que el campo es una magnitud vectorial, y no puedes sumar todos los diferenciales de fuerza como si fuesen escalares.

Dado a la simetría, el campo en el vertice estará completamente en el eje del cono y creo que la integral que tendrías que realizar es esta

$G\rho \iiint \frac{r }{r^2+z^2} \frac{z}{r}\dd \theta \dd r \dd z$

Donde $\frac{z}{r}$ es el coseno de algulo que forma un diferencial de masa con el eje

[felmon38]

Re: Atracción debida a un cono

¿ Y no saldría más sencilla la integral utilizando coordenadas esféricas?

[javier m]

Re: Atracción debida a un cono

¿ Y no saldría más sencilla la integral utilizando coordenadas esféricas?

Lo límites de $\rho$ quedan muy dificiles ¿no?, porque arriba es plano.

[felmon38]

Re: Atracción debida a un cono

Efectivamente, sorry

[Zhisi]

Re: Atracción debida a un cono

Donde es el coseno de algulo que forma un diferencial de masa con el eje

Pero si estas en coordenadas cilíndricas, $r$ es el radio del cono y no la posición del diferencial de masa y por tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . En realidad tenemos que $cos(\alpha /2)=\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}$.

Y la integral queda:

$G \rho \iiint \frac{r^2}{(r^2+z^2)^{3/2}} dr d\theta dz$

[javier m]

Re: Atracción debida a un cono

Cierto