Movimiento de un rígido

[escarabajo]

Hola!!

Tengo el siguiente ejercicio que he resuelto, pero hay algo al final que no me cierra.(Adjunto figura)

Una placa triangular OAB es isósceles(OA=AB) y recta en A. Esta placa se mueve de forma tal que O es fijo y OA pertenece al plano Oxy, A describe un movimiento circular entorno a O, y B pertenece al plano Ozy.

Hallar la velocidad de B en función de la velocidad de A.

Mi planteo fue el siguiente:

Definí un versor $e_{\theta}$ perpendicular a OB en el plano Ozy, y el ángulo $\theta$ el que forma OB con el eje y. Dicho esto la velocidad de B es:

$v_B=\sqrt{2}a\dot{\theta}e_{\theta}$

$OA=a=\sqrt{2}a\cos \theta sen \phi$

OA es fijo, así que derivo ambos miembros respecto al tiempo, y llego a lo siguiente:

$\dot{\theta}=-\displaystyle \frac{tan \phi}{tan \theta}\dot{\phi}$

Haciendo algunas cuentas más obtengo $\tan \theta$ en función de $\phi$ y finalmente:

$v_B=- \displaystyle \frac{\sqrt{2}a \tan \phi}{\sqrt{2 \cos ^2 \phi -1}}\dot{\phi}e_{\theta}$

Que me coincide con la solución a excepción de ese signo de menos. La pregunta es si hay algo mal en el procedimiento, y en todo caso, ¿qué indica ese signo de menos, porque no me doy cuenta.

Muchas gracias.

Saludos.

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

Definí un versor $e_{\theta}$ perpendicular a OB en el plano Ozy, y el ángulo $\theta$ el que forma OB con el eje y. Dicho esto la velocidad de B es:
$v_B=\sqrt{2}a\dot{\theta}e_{\theta}$

Y cual es la dirección de $e_{\theta}$ ?? Pues quizá ahí tengas el temita de los signos. Tu velocidad de B va según $-e_{\theta}$ con un $\dot{\phi}$ definido positivo según -K (la dirección de "hacia abajo", según como marca phi en el dibujo), fijate si esto es coherente con la elección de phi y los versores que elegiste. Es decir, una variación de phi en el sentido definido por el dibujo genera que el punto B se mueva según tu $-e_{\theta}$ ????

A menos que en el post anterior no te salió el seno(phi) en el vínculo, el resto me parece que está bien... Obviamente, no revisé las cuentas...
Una cosita tonta nomás, el módulo de OA es lo que no varía, sin embargo el vector OA si varía en el tiempo. Ahí lo que derivas es el módulo de OA para hallar una expresión más linda para el vínculo que obtuviste: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos,
Rolo

[aladan]

Re: Movimiento de un rígido

Hola
Tu ejercicio me resulta bastante confuso, empezando en el enunciado, ¿ que significa esta frase?

y recta en A

y esta otra

y B pertenece al plano Ozy.

entiendo es una de las infinitas posiciones de la placa en su giro, no una situación estática.
Por otra parte dices buscar la velocidad de B en función de la velocidad de A, pues bien en tu desarrollo solo veo referencias a la velocidad de B, que dicho sea de paso no entiendo muy bien.

Seguramente estoy equivocado, pero este problema lo veo de la siguiente forma:
El solido describe un movimiento circular alrededor de uno de sus vértices,O, el resto de sus puntos comparte la misma velocidad angular,$\omega$ y las velocidades tangenciales o lineales vendrán dadas por los productos $\omega.R_i$, siendo $R_i$ el radio de giro de cada punto, por tanto la relación buscada la encontraremos en la relación de los $R_A=OA$ y $R_B=OA. cos \theta$, siendo $\theta$ el ángulo formado por OB, en la posición del dibujo con el eje Y.
Como decia más arriba seguramente estoy equivocado y me gustaria saber en que.
Saludos

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

y recta en A.

Yo entendí ángulo recto en A.

B pertenece al plano Ozy.

Yo entendí que B estaba clavado en el plano Ozy y no podía salir de el.

Sin duda es un ejercicio geométricamente complicadito... Yo estube un ratito con una hoja y una escuadra viendo los ángulos. Pero al final me convenció de que estaba bien su vínculo.... Hay un ángulo recto por ahí que en principio no me pareció tan trivial

Saludos,
Rolo

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

Se me ocurrió una idea ahora que escribí el anterior... Cual es el ángulo tita ??? Porque yo estaba asumiendo uno, y veo que nunca aclarás cual es ese ángulo... Capaz que ahí está tu tema de signos (?)
De acuerdo al ángulo tita que elegiste, podés saber si está bien el signo de menos en el vínculo entre tita_punto y phi_punto!
Saludos,
Rolo

[escarabajo]

Re: Movimiento de un rígido

Gracias por ru respuesta Rolo, si, no me habia salido ese seno phi. Ya lo corregí, y tenés razón con esa apreciación sobre que el módulo es constante pero no el vector.

Y cual es la dirección de $e_{\theta}$ ?? Pues quizá ahí tengas el temita de los signos. Tu velocidad de B va según $-e_{\theta}$ con un $\dot{\phi}$ definido positivo según -K (la dirección de "hacia abajo", según como marca phi en el dibujo), fijate si esto es coherente con la elección de phi y los versores que elegiste. Es decir, una variación de phi en el sentido definido por el dibujo genera que el punto B se mueva según tu $-e_{\theta}$ ????

El versor $e_{\theta}$ lo elegí "hacia abajo", acompañando al ángulo $\theta$, que lo tomé como creciente en sentido horario. El ángulo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] lo tomé como está en la figura, también sentido horario. Creo que de acuerdo con todas estas consideraciones el signo de menos no debíera aparecer.

En realidad, ahora que lo pienso bien, no veo en qué momento yo de algún modo impongo todas esas consideraciones de cómo elijo el ángulo. No sé si estoy siendo claro en lo que digo, espero que si, cualquier cosa me decis e intento explicarme mejor.

Edito:

Respecto a las dudas de aladan, las aclaraciones de Rolo son correctas. También me hizo dudar esto a mi, pero el punto B está siempre en el plano mencionado. La velocidad final queda expresada en función del módulo de la del punto A, porque en el numerador queda $a\dot{\phi}$ que es el módulo de la velocidad de A.

Saludos.

[escarabajo]

Re: Movimiento de un rígido

Se me ocurrió una idea ahora que escribí el anterior... Cual es el ángulo tita ??? Porque yo estaba asumiendo uno, y veo que nunca aclarás cual es ese ángulo... Capaz que ahí está tu tema de signos (?)
De acuerdo al ángulo tita que elegiste, podés saber si está bien el signo de menos en el vínculo entre tita_punto y phi_punto!
Saludos,
Rolo

El ángulo tita es el que forma el vector OB con el eje y, en el plano Ozy. A mi me da la sensación que conforme aumenta phi aumenta también tita.

Saludos.

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

En realidad, ahora que lo pienso bien, no veo en qué momento yo de algún modo impongo todas esas consideraciones de cómo eligo el ángulo.

Es importantísimo! De ahí es que salen todos los errores de signos en mecánica! (según mi opinión!) Siempre conviene chequear la coherencia de los signos en las ecuaciones. Por ejemplo: con la elección de tita y phi que hiciste. Entiendo: tita medido desde el eje z hasta la recta OB y phi el de la figura (y los versores correspondientes acompañando a los ángulos). El signo menos de tu vínculo me parece que no están del todo bien por lo siguiente:

Tu tenés: $\dot{\theta}=-\displaystyle \frac{tan \phi}{tan \theta}\dot{\phi}$
Estás en ángulos para los cuales la tengente es positiva, así que tenés un cambio de sigo entre tita_punto y phi_punto. Esto quiere decir que cuando phi CRECE entonces tita DECRECE. Lo cual no es coherente con el dibujo y los ángulos que tu mencionas. Según el sistema físico y tus ángulos, al crecer phi entonces crece tu tita. Se entiende la idea? En mi opinión, el vínculo entre las coordenadas que elejiste no es consistente con el sistema físico que intentas describir.

Saludos,
Rolo

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

Bueno, esto de postear al mismo tiempo lleva a bastante confusiones... Pero a pesar de que el ángulo tita de mi post anterior no es el mismo que usaste, por lo menos espero que sirva para ejemplificar lo de los signos... (y aparte iba a postear que con ese otro ángulo el vínculo debía ir con seno(tita)! )

Resumiendo:
El ángulo tita de tu vinculo debería estar medido desde el eje y a la recta OB, con su correspondiente versor "hacia arriba". Creo que sería la elección más natural además...
Un consejo que me dio un profesor hace unos años: "Siempre es conveniente tomarse los ángulos en el primer cuadrante y medidos desde los ejes, sino después te volvés loco con los signos".

De todas maneras, la solución que manejas debe haber utilizado las coordenadas y versores "más naturales", así que todavía no solucionaste tu problema de signos.... O si?
Saludos,
Rolo

[aladan]

Re: Movimiento de un rígido

Respecto a las dudas de aladan, las aclaraciones de Rolo son correctas. También me hizo dudar esto a mi, pero el punto B está siempre en el plano mencionado. La velocidad final queda expresada en función del módulo de la del punto A, porque en el numerador queda que es el módulo de la velocidad de A.

Ahora entiendo el movimiento, pero seria conveniente modificar en el enunciado,cambiar OA=OB, por OA=AB, para que sea OAB isosceles y recto en A.
Saludos

[escarabajo]

Re: Movimiento de un rígido

Ahora entiendo el movimiento, pero seria conveniente modificar en el enunciado,cambiar OA=OB, por OA=AB, para que sea OAB isosceles y recto en A.
Saludos

Corregido, gracias!!

Bueno, esto de postear al mismo tiempo lleva a El ángulo tita de tu vinculo debería estar medido desde el eje y a la recta OB, con su correspondiente versor "hacia arriba". Creo que sería la elección más natural además...
Un consejo que me dio un profesor hace unos años: "Siempre es conveniente tomarse los ángulos en el primer cuadrante y medidos desde los ejes, sino después te volvés loco con los signos".

De todas maneras, la solución que manejas debe haber utilizado las coordenadas y versores "más naturales", así que todavía no solucionaste tu problema de signos.... O si?

NOOOO
Entiendo todo lo que me decis, si cambiara la dirección del ángulo tita, que fuera desde el eje z hasta OB, y el versor $e_{\theta}$ hacia arriba, entonces todo quedaría coherente. Pero, para tratar de entender el tema, y no por ser terco, con el ángulo medido desde OB hasta el eje z, y el versor hacia abajo, ¿qué cambiaría en mi planteo? Yo no veo qué cambiaría, si planteo todo de vuelta, terminaría con la misma relación.

No termino de ver dónde, cómo y cuando yo estoy imponiendo en mi planteo que el ángulo va en un sentido o en otro, el versor lo elijo como siempre, en el sentido de crecimiento del ángulo, y luego cuando planteo el módulo OA y derivo creo que no influye en nada.

Houston, tengo problemas.

Saludos.

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

Primero que nada! Vamos a unificar notaciones porque me estoy volviendo loco! En el post anterior quisiste decir eje 'y' no?

"con el ángulo medido desde OB hasta el eje z" No era al reves que estabas haciendo???

Sigo sin entender porque razón queres ubicar el eje 'y' a partir de la recta OB ??? Cuando en realidad lo que querés es ubicar la recta OB???
Si usas esos ángulos que (por alguna razón querés usar)... Estás ubicando el eje 'y' a partir dela recta OB. Creo que ahí esá la sutileza...

Resumiendo:
Si usaste: tita ubicando la recta OB medido desde el eje 'y' y el phi de la figura, con los versores e_tita y e_phi acompañando el crecimiento del ángulo. El vínculo y la velocidad de B que obtuviste, tienen el signo correcto!
El módulo no sé, porque no hice las cuentas... Pero todo pinta que la solución toma otro sentido para alguna de las coordenadas, o si tomo estás coordenadas y versores, tiene ese signo al reves...

Saludos,
Rolo

[escarabajo]

Re: Movimiento de un rígido

Primero que nada! Vamos a unificar notaciones porque me estoy volviendo loco! En el post anterior quisiste decir eje 'y' no?

Si, jeje, perdón.

"con el ángulo medido desde OB hasta el eje z" No era al reves que estabas haciendo???

No, medido desde OB hasta el eje y. Jaja, pero ahora entendí, ahí estaba ubicando el eje "y" como bien decis. Ya está, puse todo para arriba, y lo haré siempre así. Ufffffff. Ahora sí, todo concuerda.

No te asustes( o no se asusten...), pero este problema tiene 2 partes más. Me pide hallar la velocidad angular. No tengo muy claro cómo usar el teorema de adición de velocidades angulares. ¿Cómo es exactamente? Según lo tengo entendido descompongo en rotaciones en cada eje, ¿es correcto?

$\vec{w}=-\phi \hat{i}-\theta \hat{k}+w_z \hat{j}$

Me falta esa componente j, y lo que se me ocurrió fue plantear la velocidad de B de la siguiente manera:

$v_B=\underbrace{v_0}_{=0}+\vec{w}\wedge (cos \theta \hat{j}+sen \theta \hat{k})=(\dot{\phi}cos \theta +w_z sen \theta)\hat{i}-\dot{\theta}cos \theta \hat{k}+\dot{\theta}sen \theta \hat{j}$

Como se que B no tiene componente de velocidad en i: $w_z=\displaystyle - \frac{\dot{\phi}}{tan \theta}$

Sin embargo la solución debíera ser $w_z=-\dot{\phi} tan \theta$

No sé si es error de la solución o mio, como decía, no tengo muy claro cómo es el tema del teorema de adición de velocidades angulares por lo que se me pasa por la cabeza que esté haciendo cualquier cosa.

Muchas gracias.

Saludos.

[Rolo]

Re: Movimiento de un rígido

El procedimiento que explicaste me pareció razonable, pero te comento que ahora me gusta más la solución...

Por lo siguiente: tita = 0 !
En principio me perturba un poco la posibilidad de que el rígido tenga velocidad angular infinita... (como queda en tu solución).

Segundo, la otra parece más coherente pues cuando tita = 0 entonces wz = 0, y me parece que está bien pues imaginándome la escuadra en la posición tita = 0, la misma, al parecer, no rota en torno a eje y...

Saludos,
Rolo

[escarabajo]

Re: Movimiento de un rígido

El procedimiento que explicaste me pareció razonable, pero te comento que ahora me gusta más la solución...

Por lo siguiente: tita = 0 !
En principio me perturba un poco la posibilidad de que el rígido tenga velocidad angular infinita... (como queda en tu solución).

Segundo, la otra parece más coherente pues cuando tita = 0 entonces wz = 0, y me parece que está bien pues imaginándome la escuadra en la posición tita = 0, la misma, al parecer, no rota en torno a eje y...

Saludos,
Rolo

Bueno, a mi también me jode eso, pero, estaba analizando la expresión de la velocidad de B.

Se puede observar que la expresión tiene validez para $\phi (t)<\pi /4$ , porque si el ángulo aumenta más de eso el radicando es negativo.

La parte c te dice que inicialmente la placa se encuentra toda en el plano Ozy(phi=0), y pregunta ¿durante qué intervalo de tiempo se mantiene estas condiciones de movimiento? (las halladas en a y b).

Por lo que me da la sensación de que tita nunca llega a ser cero..