Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

[LSMCC]

[FONT=Arial]EJERCICIO 1:[/FONT][FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial]Un disco de masa "m" tiene un movimiento angular y rectilíneo y oscila alrededor de la posición de equilibrio mostrada(archivo adjunto: EJERCICIO1DISCO). El resorte tiene una constante de rigidez k.[/FONT]
[FONT=Arial]a) Determinar la frecuencia natural del sistema[/FONT]
[FONT=Arial]b) Si el período de la oscilación es de 0,8 segundos ¿Cuál es el valor de la masa del disco sabiendo que la constante del resorte es 100 N/m?[/FONT]

[LSMCC]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

¿Podría ser algo así la solucion?

[FONT=Arial]a)[/FONT]
[FONT=Arial] -K·(xs+x´)·R-TR=Jp·Ö[/FONT]
[FONT=Arial]-K·xs·R-ky´·R+TR=Jp· O[/FONT]
[FONT=Arial]-k·R=Jp· Ö[/FONT]
[FONT=Arial]momento inercia del disco: Jp=(1/2)·m·R^2[/FONT]
[FONT=Arial]frecuencia natural: Wn= raíz cuadrada de [( K·r^2-m·g·l) / Jp][/FONT]
[FONT=Arial]wn= raíz cuadrada de (k / m)[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial]b)[/FONT]
[FONT=Arial]ΣF=0 [/FONT][FONT=Wingdings][FONT=Wingdings]à[/FONT][/FONT][FONT=Arial] T+Kxs=m·g[/FONT]
[FONT=Arial]ΣM=0 [/FONT][FONT=Wingdings][FONT=Wingdings]à[/FONT][/FONT][FONT=Arial]K·xs·R=TR Las R se anulan y nos queda K·xs=T[/FONT]
[FONT=Arial]100·xs=0´8 [/FONT]
[FONT=Arial]xs=0´008[/FONT]
[FONT=Arial]m=(T+K·xs)/g= 0´16 kg[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]

[[Beto]]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Hola, no entiendo muy bien lo que has hecho, pero tu ejercicio se resuelve así:

Lo que primero que tienes que hacer es tomar torques respecto al punto $A$, la suma de torques respecto de ese punto será igual al momento de inercia del disco respecto a ese punto multiplicado por la aceleración angular.

OjO: Para tomar torques de la manera que te digo hazlo cuando el sistema esta desviado un tanto hacia abajo y considera que el ángulo de desviación es pequeño (esto para que la oscilación sea un M.A.S).

Tienes que llegar a una expresión más o menos de la forma:

$$\frac{\dd^2 \theta}{\dd t^2}+\omega^2\theta=0$$

Como ves el término que acompaña a $\theta$ es la frecuencia angular, solamente tienes que tomar en cuenta que el periodo está dado por $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

Un saludo.

[LSMCC]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Gracias! pero que es eso de los torques??
Creo que debe haber otra manera, porque eso no lo he estudiado. Gracias de todas formas!

[[Beto]]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Gracias! pero que es eso de los torques??
Creo que debe haber otra manera, porque eso no lo he estudiado. Gracias de todas formas!

Bueno si es que es de otra manera, tendrías que encontrar una relación lineal con la desviación de la posición de equilibrio de la forma:

$$F=kx$$

Si encuentras la constante puedes encontrar la frecuencia angular, supongo que eso es lo que has hecho ¿Verdad?, si es que es así esta bien.

Un saludo.

[polonio]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Gracias! pero que es eso de los torques??
Creo que debe haber otra manera, porque eso no lo he estudiado. Gracias de todas formas!

Sí lo has estudiado, es una cuestión de idiomas: torque es momento de una fuerza (sólo que en inglés: torque = torsión).

Ya te irás dando cuenta la de anglicismos que somos capaces de usar por aquí...

[LSMCC]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

ahhh!! Gracias por la aclaración... finalmente el problema me ha quedado así--- Opinioness!


[FONT=Arial]SOLUCIÓN:[/FONT]
[FONT=Arial]a)[/FONT]
[FONT=Arial]frecuencia natural: Wn[/FONT]
[FONT=Arial]ΣF=0 [/FONT][FONT=Wingdings][FONT=Wingdings]à[/FONT][/FONT][FONT=Arial] T+Kxs=m·g[/FONT]
[FONT=Arial]ΣM=0 [/FONT][FONT=Wingdings][FONT=Wingdings]à[/FONT][/FONT][FONT=Arial]K·xs·R=TR Las R se anulan y nos queda K·xs=T[/FONT]
[FONT=Arial]-k·(xs+x´)·R-TR= Jp· Ö[/FONT]
[FONT=Arial] -K·xs·R-ky´·R+TR=Jp· Ö[/FONT]
[FONT=Arial]-k·R=Jp· Ö[/FONT]
[FONT=Arial]momento inercia del disco: Jp=(1/2)·m·R²[/FONT]
[FONT=Arial](1/2)·m·R² ·Ö+2·k· R²· Ө=0[/FONT]
[FONT=Arial]Wn=raíz cuadrada de [ (4k) / m ][/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial]b) [/FONT]
[FONT=Arial]T= 0´8 segundos[/FONT]
[FONT=Arial]K= 100 N/m[/FONT]
[FONT=Arial]m = ?[/FONT]
[FONT=Arial]T=2· П / w[/FONT]
[FONT=Arial]W= 2· П/ 0´8= 7´85[/FONT]
[FONT=Arial]Wn=raíz cuadrada de [ (4k) / m ][/FONT]
[FONT=Arial]m=(4·100) / (7´85) ²= 6´49 Kg[/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]
[FONT=Arial][/FONT]

[[Beto]]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Me parece que si esta bien, aunque me confundo con tus notaciones . Es correcto analizar primero en el equilibrio, y luego cuando se desvía un poco.

Pd: Intenta aprender a escribir las ecuaciones usando Latex (Lee la sección 7)

[Jose D. Escobedo]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Para: LSMCC -espero esta vez colaborar con algo en este problema-. Pienso que deverias usar la idea que te dio N30F3B0.
Mira trate de trabajar un poco con este problema y creo que es algo como sigue:

$\Sigma\vec{r}X\vec{p}=I\dot\phi\hat{k}$ entonces si derivas con respecto al tiempo: $\Sigma\vec{r}X\frac{d\vec p}{dt}= I\ddot\phi\hat{k}+I\dot\phi\frac{d\hat k}{dt}$; pero desde que $\hat k$ no varia => $\frac{d\hat k}{dt}=0$ asi finalmente obtendras algo como esto: $\left(2a\hat{e_r}\right)X\left(-k2a\phi\hat{e_\phi}\right)=I\ddot\phi\hat k$ con $\vec{r} = 2a\hat e_r$,$f=-kx=-k2a\phi$ ( en realidad kx~k2a$\phi$) y $I=\frac{1}{2}ma^2+ma^2$ por el teorema de los ejes paralelos. Tambien sabemos que: $\hat{e_r}X\hat{e_\phi}=\hat k$ => $-4ka^2\phi=\frac{3}{2}ma^2\ddot\phi$

Otra forma seria algo como esto:
el lagrangean $L=T-V$ de donde $T=\frac{1}{2}I\dot\phi^2=\frac{3ma^2}{4}\dot\phi^2$ y $V=\frac{1}{2}k2^2a^2\phi^2$ => $\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot\phi}-\frac{dL}{d\phi}=0$ => $\frac{3}{2}ma^2\ddot\phi + 4ka^2\phi=0$ => $\ddot\phi + \frac{8}{3}\frac{k}{m}\phi = 0$ => $\omega^2=\frac{8k}{3m}$

ay les ruego me disculpen por que este teclado esta disenado para escribir en ingles, y no se como poner acentos y ~ sobre la n. Cualquier ayuda para modificar ese problema sera bienvenido
saludos y hasta pronto

[polonio]

Re: Disco movimiento angular y rectilineo con resorte

Lo he leído por encima (coincido con neofebo en lo de la notación) y, sin pararme en los resultados, tiene buena pinta.

De todas formas suele ser más sencillo analizar el equilibrio a partir del principio de los trabajos virtuales:

$\delta W=0$

Pruébalo, porque así te libras de usar cálculo vectorial (que suele ser más engorroso) y puedes resolver el problema a base de esclares con los métodos de la mecánica analítica (principio de los trabajos virtuales, a partir del lagrangiano como propone José D. Escobedo, mediande el principio de D'Alembert,...). Aunque, para gustos... colores.

Además, si en tu problema las únicas fuerzas que aparecen son conservativas sólo hay que tener en cuenta que la variación de energía potencial es nula en equilibrio. Ten en cuenta que las fuerzas conservarivas se pueden expresar como el gradiente de la energía potencial

$\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\nabla}V\Longleftrightarrow\delta V=-\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{dr}$

Así, en equilibrio:

$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow\delta V=0$

Y, otra cosa, se puede analizar si el equilibrio es estable (mínumo de energía potencial), inestable (máximo de enrgía potencial), metaestable,... a partir de:

$\delta^{2}V=0$