1r ciclo Fuerzas con proporcionalidad

[Turing]

Muy buenas.

El lunes que viene empiezo la carrera en Física y, hace poco, me ha picado la mosca de la curiosidad. He elegido un problema al azar de una asignatura del segundo semestre. Dice así:

"Un punto de masa m se mueve por una trayectoria rectilínea bajo la acción de una fuerza proporcional al tiempo (el coeficiente de proporcionalidad es ${K}_{1}$). Además, el punto experimenta por parte del medio una resistencia proporcional a la velocidad (el coeficiente de proporcionalidad es ${K}_{2}$). Considerando que en el instante inicial la velocidad es igual a cero, hallar la dependencia de la velocidad respecto del tiempo."


Seguramente es un problema que se tiene que abordar por cálculo diferencial (?).

Yo he hecho así:

$\dst {F}_{1} + (-{F}_{2})=ma$

$\dst {V}_{f}=at \to a=\frac{{V}_{f}}{t}$

$\dst \frac{{V}_{f}}{t}=\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{m}$

Siendo $\dst {F}_{1}= {K}_{1} t$ ;$\dst {F}_{2}={K}_{2} v$

Gracias adelantadas.

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Así echándole un ojo rápido, ¿de dónde sacas la relación $V_f=at$?

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

De la ecuación de la velocidad pues dice que en el instante inicial la velocidad es nula.

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Pero esa relación solo es válida para movimientos con aceleración constante, y no creo que sea el caso de una fuerza que varía proporcionalmente con el tiempo (ya que la masa es constante). Yo lo plantearía con la relación $a=\dfrac{\dd v}{\dd t}$, a ver si llegas a algo

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Utilizando esa relación quedaría igual pero con los diferenciales? Entonces no acabo de entender el dato de la velocidad inicial nula...

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Luego habría que resolver la ecuación diferencial que queda. Sin haberlo hecho, deduzco que ese dato es para que a la hora de integrar te elimines las infinitas soluciones (es decir, te determina la constante de integración).

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Esos temas aún no los he tocado. Si tienes tiempo (he visto que estas algo ocupado últimamente) podrías explicarme un poco el proceso?

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Te hago el planteamiento y a ver hasta dónde continúas solito, que algo podrás hacer con lo que sabes de bachillerato

tienes que $ma=K_1t-K_2v$, o lo que es equivalente $mv'(t) = K_1 t - K_2 v(t)$ (por simplificación llamo ' a la derivada temporal, aunque en física se acostumbra a poner un puntito encima de la variable). Queremos despejar de esa ecuación $v(t)$, que es lo que pide el problema. Dejando mona la expresión queda $v'(t)+\dfrac{K_2}{m} v(t) = \dfrac{K_1}{m } t$. Ahora es donde viene el truco del almendruco: Si multiplicamos ambos miembros por $e^{\frac{K_2}{m} t }$ se tiene que $v'(t)e^{\frac{K_2}{m} t }+\dfrac{K_2}{m} v(t) e^{\frac{K_2}{m} t }= \dfrac{K_1}{m } t e^{\frac{K_2}{m} t }$. Y con un ojo hábil puedes ver que el primer miembro equivale a desarrollar la derivada del producto $v(t)\cdot e^{\frac{K_2}{m} t }$, por lo que puedes escribir todo el primer miembro como $d \left(v(t)\cdot e^{\frac{K_2}{m} t } \right) = \dfrac{K_1}{m } t e^{\frac{K_2}{m} t }$. Ahora solo falta integrar en ambos miembros, pero ya no es trabajo difícil. Te lo dejo a ti que me tengo que ir


Un saludo

PD: La velocidad inicial está en los límites de integración de la primera integral, como es nula te puedes comer los límites y llamar v a la velocidad.

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

¿El primer miembro queda así?

$\int d \left(v(t)\cdot e^{\frac{K_2}{m} t } \right)=\frac{1}{2}v^2e^\frac{{K}_{2}t}{m}$

PD: En bachillerato no he derivado con tantas constantes de por medio y me hago un lío considerable.

[Al2000]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

No es correcto. Así como

$$\int dx = x$$

entonces

$$\int d(algo) = algo$$

Saludos,

Al

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Gracias Al, me ha gustado mucho como lo has aclarado haha.

El segundo miembro en función de qué se integra? Las vacaciones me han dejado perdido perdido...

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

La variable del segundo miembro es el tiempo, que es la que has de integrar. Seguro que has resuelto en clase la integral de la función $xe^x$, esta solo lleva unas constantes para liarlo un poco :=)

[Turing]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Algo conocido! Hahaha, gracias Ángel. En ese caso quedaría tal que:

$\dst \int\dfrac{K_1}{m } t e^{\frac{K_2}{m} t }= e^\frac{K_2}{m}t (\frac{K_1}{m}t - 1)$

- - - Actualizado - - -

Perdón por tardar, he estado algo ocupado . A ver si lo tengo ya!

$\dst \int d \left(v(t)\cdot e^{\frac{K_2}{m} t } \right)=\dst \int\dfrac{K_1}{m } t e^{\frac{K_2}{m} t }$


$\dst v(t) {e}^{\frac{K_2}{m}t}={e}^{\frac{K_2}{m}t} ({\frac{K_1}{m}t}-1)$


$v(t)= {\frac{K_1}{m}t}-1$

Quedaría así?

Gracias.

[angel relativamente]

Re: Fuerzas con proporcionalidad

Así a ojo no. Revisa esa integral recordando que $\dst \int \ee^{ax}\dd x = \dfrac {1}{a} \ee^{ax}$

Saludos,

PD: Tu última ecuación tampoco termina de cuadrarme dimensionalmente.