1r ciclo Sistema de referencia móvil vs fijo

[Turing]

Hola!

Me dispongo a intentar relacionar la velocidad y la aceleración descrita por una partícula en una base móvil si es vista desde un sistema de referencia fijo, todo esto en $\dst \mathbb{R}^3$. Antes de empezar con una demostración matemática, me gustaría saber si es correcto mi razonamiento:

1- La trayectoria descrita desde el sistema de referencia fijo tiene los mismos vectores unitarios ($\dst \hat{\imath}\hat{\jmath}\hat{k}$) que la trayectoria descrita desde la base móvil pues ésta es única. Es decir, para empezar la demostración podré igualar los vectores posición de la una con la otra.

2- Una vez hecho esto y derive respecto al tiempo para encontrar la velocidad, en el caso de la base móvil también tendré que tener en cuenta la derivada de dichos vectores unitarios citados anteriormente ya que, desde la base fija, éstos no son constantes.

Una vez confirme si esto es correcto, pondré por aquí el procedimiento.

Muchas gracias de antemano.

[felmon38]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Hola Turing :
Su
Antes de nada, para mí no tiene sentido decir que un sistema de referencia (SR) está fijo porque se moverá en el momento que su posición sea respecto de un SR distinto de él.

Pasemos a tus preguntas:

1. Un SR se puede identificar mediante un sistema de ejes unido a él, que tendrá sus propios vectores unitarios. No se te ocurra igualar los vectores unitarios y el origen de los dos sistemas de ejes definidos por los dos SR distintos, porque entonces se trataría de un único SR.

2. Al derivar los vectores tienes que tener en cuenta el SR respecto del cual derivas.

Espero que esto te sirva para seguir el procedimiento.

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Gracias Felmon, lo tendré en cuenta en el momento de realizar la demostración.

Mmmm, respecto a lo de igualar los ejes, no he acabado de entenderlo... Es decir, suponiendo que el primer SR tiene xi + yj + zk (perdón por no escribirlo bien, lo hago desde el móvil) y el otro x'i'+y'i'+z'k' no puedo relacionarlos igualándolos?

Y otra cosa, creo que no me he expresado bien, quería decir que muevo un SR respecto a otro, de esta manera si es correcto?

Un saludo y gracias de nuevo.

[visitante20160513]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Ese es un curioso problema que conduce al concepto de "fuerza ficticia". Busca en internet con esa expresión y llegarás a resolver tu problema fácilmente, aunque debes tener en cuenta que el movimiento instantáneo relativo entre dos sistemas de referencia en general es la composición entre una traslación y una rotación.

Salu2

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Gracias Felmon, lo tendré en cuenta en el momento de realizar la demostración.

Mmmm, respecto a lo de igualar los ejes, no he acabado de entenderlo... Es decir, suponiendo que el primer SR tiene xi + yj + zk (perdón por no escribirlo bien, lo hago desde el móvil) y el otro x'i'+y'i'+z'k' no puedo relacionarlos igualándolos?

Y otra cosa, creo que no me he expresado bien, quería decir que muevo un SR respecto a otro, de esta manera si es correcto?

Un saludo y gracias de nuevo.

Hola, para relacionar ambos sistemas de referencia necesitarás introducir un operador ortogonal ($A^{-1}=A^t$), que defina la rotación y posible traslación del sistema de referencia.

Un saludo.

[felmon38]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Turing, respecto de tu contestación, los vectores posición son iguales si los orígenes de los dos sistemas de ejes coinciden, en caso contrario tienes que añadir a un sumando, el vector que une los dos orígenes de coordenadas.
¿ Y entonces por qué has dicho "fijo"?

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

He dicho "fijo" porque intentaba expresar que uno de los sistemas no lo movía y al otro si. Entonces, si los dos sistemas parten del mismo origen si podría relacionarlos directamente. Si no es así debo añadir un nuevo vector que marque la diferencia entre estos?

Respecto a Gdonoso, un operador ortogonal podría ser que, por ejemplo, la derivada de uno de los vectores i' fuese igual a un producto vectorial entre una velocidad angular y el mismo vector i'?

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Cuando hablo de operador ortogonal me refiero a una matriz que defina el giro y traslación de los vectores unitarios de la base en el segundo SR. No entiendo tu pregunta muy bien, intenta escribirlo con LaTeX, todo suele quedar mucho más claro. De todas maneras, te estoy contestando partiendo de la base de que tienes conocimientos de álgebra lineal y estás estudiando mecánica analítica (si no, dudo que te giren un SR).

Saludos

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Si, en clase hemos construido una matriz de rotación a partir de un vector que se desplazaba un angulo. El problema es que no se como meter esta aquí.

Mañana lo miraré con calma e intentaré poner con LaTeX lo que tenia pensado hacer.

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Mañana busco mis apuntes de mecánica e intento desarrollar el tema yo también, a ver si es lo que buscas. En sí estás buscando las transformaciones de galileo, ¿no? Para un SRI cualquiera, me refiero.

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Exacto. Y, además, creo que si se hace bien al final hasta se puede obtener la aceleración de Coriolis .

Gracias por echarme un cable!

[felmon38]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Turing, dices:

"Si no es así debo añadir un nuevo vector que marque la diferencia entre estos?"

Esto es correcto, y el vector que debes añadir es el que une los dos orígenes de coordenadas, como lo puedes ver claramente si dibujas los dos sistemas de ejes cartesianos y el punto.

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Pensando en lo que dijo Gdonoso, he intentado hacer esto:

Si suponemos un sistema con rotación constante donde el eje de giro sea el vector normal $\dst \bar{n}$ y la rotación respecto a éste sea realizada por un vector posición $\dst \bar{b}$ y, además, todo esto a una velocidad angular $\dst \bar{w}$, la derivada de $\dst \bar{b}$ ha de ser perpendicular a $\dst \bar{n}$ y al propio $\dst \bar{b}$. Es decir, $\dst \frac{d\bar{b}}{dt}= \lambda \bar{n} \times \bar{b}$ (donde esa lambda queda por demostrar que es).

He intentado buscar lambda de esta forma:

$\dst \left\vert{\frac{d\bar{b}}{dt}} \right\vert{}= \lambda \left\vert{\bar{n}\times \bar{b}} \right\vert{}= \lambda \left\vert{\bar{n}} \right\vert{}\left\vert{\bar{b}} \right\vert{}\sin\alpha$ ($\bar{n}$ es unitario) $\dst \Rightarrow$ $w\left\vert{\bar{b}} \right\vert{}sin\alpha= \lambda\left\vert{\bar{b}} \right\vert{}\sin\alpha$ $\Rightarrow$$w=\lambda$

Por lo que,

$\dst \frac{d\bar{b}}{dt}}=w\bar{n}\times\bar{b}=\bar{w}\times\bar{b}$

En conclusión (y si lo que he hecho es correcto), he obtenido un operador que me defina la rotación, no?

A partir de aquí, he desarrollado mi demostración (la pongo en imagen porque sino me puedo morir):

Espero que lo entendáis .

PD: Los parámetros que veáis con puntos arriba son derivadas (1 punto-derivada primera, 2 puntos-derivada segunda), por si hay confusión...

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Hola Turing, no tengo mucho tiempo hoy, así que seré rápido. Tu procedimiento creo que es correcto, pero también creo que falta un término en el resultado final, a mí me queda algo así:

$\dst\vec{a}=\vec{a'}+2\vec{\omega}\times\vec{v}_{NI}+\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times \vec{r})+\vec{\dot{\omega}}\times\vec{r}$

Donde:

$\vec{a'}$ es la aceleración de arrastre,

$\vec{\dot{\omega}}\times\vec{r}$ es la azimutal,

$\vec{\omega}\times (\vec{\omega}\times \vec{r})$ es la centrífuga

y $2\vec{\omega}\times\vec{v}_{NI}$ sería la de Coriolis, si no me he equivocado. Esta semana estoy algo liado, si tengo algo de tiempo el fin de semana escribiré un artículo con la demostración matemática, pero básicamente es lo que tú has hecho, lo que no sé es por qué a mi si me aparece el término azimutal y a ti no.

Un saludo y suerte.

P.D: Al principio te había entendido mal, creía que hablabas de dos SRI, uno de los cuales estaba "girado" y a una distancia determinada del otro.

[Turing]

Re: Sistema de referencia móvil vs fijo

Qué extraño! No veo de donde puedo sacar el término azimutal en mi demostración... Yo tampoco tengo mucho tiempo, en cuanto pueda me lo miro con calma y a ver si lo encuentro.

Por cierto, muchas gracias por tomarte todas esas molestias al intentar explicarme, te lo agradezco

Un saludo!