1r ciclo Bola que cae por un half-pipe móvil

[fisicah]

Espero no resultar pesado, esta es la última duda jajaja sólo dadme una pista please para seguir con el problema.

El soporte tiene masa M, y se puede deslizar sin rozamiento por la superficie horizontal, y el bloque masa m, sin rozamiento con el soporte también.
Se deja caer el bloque m, y al llegar a la parte más baja del half pipe, calcular la velocidad de m y de M, y la fuerza normal que ejerce el soporte al bloque en ese momento.



Tengo claro que tengo un sistema de dos objetos, que se ejercen fuerzas mutuamente (la normal) pero dicha fuerza NO ejerce trabajo, luego el trabajo de las fuerzas internas es 0 (son perpendiculares a la trayectoria).

También tengo claro que existe una única fuerza que altera el momento inicial p=0 que había en el sistema, que es la gravitatoria, que además es fuerza conservativa.

Por tanto, al llegar abajo el bloque, la variación de p que ha sufrido el sistema se debe únicamente a la fuerza gravitatoria.

Por otro lado, la velocidad del bloque con respecto al soporte, tomando un referencial en el que el soporte tenga v=0, la velocidad del bloque, resuelto por energías, será $v'=\sqrt{2gR}$.

Ahora bien... ¿cómo combino toda esa información? ¿Así?:
$vb=vs+\sqrt{2gr}$
$E_0=U_g+Ec=cte=mgR=E_f=Ec_f$
siendo f el instante en el que el bloque está abajo.
A su vez, $Ec_f=Ec'+\dfrac{1}{2}(M+m)v_c^2$
pero Ec' es la energía cinética relativa con respecto al centro de masas. ¿Es cero?

Estoy atascadísimo, y creo que algo se me escapa conceptualmente, que es lo peor... o lo mejor, porque cuando lo resuelva aprenderé más

¡¡¡Muchas gracias!!!

[felmon38]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

No te he terminado de leer porque no tengo tiempo ahora, pero veo que has aplicado el teorema de la energía cinética respecto de un sistema que no es inercial, porque, aunque no se dice, se suele suponer ( mal supuesto) que el "suelo" lo és

[fisicah]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Sí, lo he aplicado diciendo que la energía potencial gravitatoria que tiene el bloque m1 al principio se invierte en aumentar su energía cinética en el fondo del halfpipe. Aunque esa energía cinética es con una velocidad respecto a la del halfpipe, de ahí $vb=vs+\sqrt{2gr}$
La siguiente ecuación es lo mismo, sólo que desde el sistema de referencia inercial suelo fijo e inmóvil, desde el que se ve el halfpipe moviéndose y el bloque también.

[felmon38]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Pero es que el teorema solo se cumple en el caso en el que espacios y velocidades sean respecto de un sistema inercial, que , aunque no se diga, habrá que suponer que es el suelo. Si no lo entiendes, solo tienes que ver como se deduce el teorema, a partir del segundo postulado en donde la aceleración no es respecto de un sistema cualquiera, sino que es respecto de un sistema inercial.

[fisicah]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Pfff Entonces ya no sé ni plantear una ecuación. Sé que la fuerza peso tira la bola hacia abajo, y que deriva de un potencial. Sé que dicha fuerza conforme el objeto se acerca al fondo del half-pipe, ejerce una fuerza normal contra el half-pipe (y viceversa) y le otorga cantidad de movimiento. Y al final, están los dos moviéndose respecto al suelo firme.
¿Pero cómo puedo poner todo ese conocimiento en ecuaciones, si no puedo usar el teorema de fuerzas vivas, ni nah, de nah? ¿Con las leyes de Newton?

Mirad lo que me sale:
$m\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-mg\vec{u_y}+N\sin(\theta)\vec{u_y}+N\cos(\theta)\vec{u_x}$
$M\dfrac{d^2\vec{R}}{dt^2}=-N\sin(\theta)\vec{u_y}-N\cos(\theta)\vec{u_x} +N'\vec{u_y}$

$N=mg\sin(\theta)$
$x=R\sin(\theta)$
$y=R\cos(\theta)$
Donde esta última R es el radio, escalar, constante, y conocido.
De todo esto surge:

$m\dfrac{d^2x}{dt^2}=mg\sin(\theta)\cos(\theta)$
$m\dfrac{d^2y}{dt^2}=-mg+mg\sin(\theta)^2$
$M\dfrac{d^2X}{dt^2}=-mg\cos(\theta)\sin(\theta)$

Donde la coordenada X podría ir... podría empezar en X_0, la posición inicial... y podría ser positiva adelante. Pero ya no tiene relación con el ángulo como ocurría con la coordenada x. El ángulo está relacionado... con el movimiento del otro bloque, como es de esperar!!! ¿Pero éso cómo se resuelve? Es que estoy seguro de que por energía se hace más fácil, pero el teorema de las fuerzas vivas se deduce de la ecuación de Newton, y si expreso las derivdas como velocidades, y lo expreso todo en función del parámetro "tita", ángulo, y al final multiplico ambos miembros por dtita, eso puedo hacerlo en la ecuación 1 y en la 2. ¡¡Y no he incluido las fuerzas de aceleración centrífuga, que si las incluyera menudo pelotazo!! y lo peor de todo: Me doy cuenta de que x,y no son coordenadas absolutas, sino que parten de un móvil acelerado, el bloque grande. ¿Qué puedo hacer? Vi este problema simplón, pero es que no puedo ya ni usar Newton. Es una locura todo esto... no sé qué hacer...

[felmon38]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

{}_{ }Un momento, no te desesperes porque creo que empiezas a ir por el buen camino, en donde te planteas dudas.

Elegimos como sistema mecánico el formado por las masa m y M, y aplicamos los teoremas de la dinámica a este sistema, suponiendo que el suelo se comporta como un sistema inercial (aunque lo deberían indicar en el enunciado):

Las fuerzas exteriores de contacto que actúan sobre este sistema son la normal del suelo sobre M y las fuerzas exteriores a distancia son los pesos de m y M. Las fuerzas interiores son las de los dos sólidos rígidos y la fuerza que ejerce m sobre m y la de M sobre m (perdón porque sea prolijo en esto, pero creo que hay que ser disciplinado al establecer las fuerzas que actúan sobre el sistema)

1.Teorema de la energía cinética :

La suma del trabajo que realizan sobre el sistema las fuerzas exteriores e interiores es igual a la variación de la energía cinética del sistema ( por supuesto, respecto de un sistema inercial)

mg.R = $\frac{m.{v}^{2 }+M.{V}^{2 }}{ 2}$ (1)


v y V son las velocidades de m y M, respecto del suelo, en el punto mas bajo de m, teniendo las velocidades la dirección horizontal.


2. $\sum_{n = 1}^\infty{\vec{f}}_{ ext}=\sum_{i= 1}^\infty{m}_{i}.{\vec{a}}_{i}$


y proyectando esta ecuación sobre el eje X, en cualquier instante:

0= m.${a}_{ xm}$+ M.${a}_{xM }$ $\Rightarrow$ $m.{v}_{xm } + M.{v}_{xM} = {C}^{te } = 0$ = m.v + M.V (2)

y de las ecuaciones (1) y (2) ya puedes sacar las velocidades.

[carmelo]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Hola:

Conservación de la energía:

$$mgR=\dst\frac{1}{2 }m{v_m}^{2 }+\dst\frac{1}{2 }m{v_M}^{2 }$$

Conservación de la cantidad de movimiento:

$$mv_m=Mv_M$$

De acá se obtienen ambas velocidades.

La normal se obtiene de:

$$N=mg+\dst\frac{m(v_m-v_M)^2 }{R}$$

Saludos
Carmelo

[Breogan]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Hola:

Una puntualización, nada mas que para ser totalmente precisos (espero!!).

En el problema se puede aplicar la conservación de la energía mecánica con respecto a un SRI, ya que sobre los cuerpos solo actúan fuerzas conservativas (realizando trabajo).

En cuanto al momento lineal en su sentido mas amplio no se conserva, al ser una magnitud vectorial para poder decir que se conserva se deben conservar sus componentes en los tres ejes coordenados.
En este caso en particular el momento lineal para nuestro sistema (M + m) no se conserva, ya que sobre el sistema (M y m) actúan las fuerzas gravitatorias y la reacción del piso, con una resultante no nula y variable durante la trayectoria; pero como estas fuerzas son todas verticales (eje y) si podemos decir que el momento lineal se conserva en el plano horizontal (xz).
Incidentalmente en este problema el momento lineal del sistema (M + m) de los punto inicial y final son los mismos, lo cual no nos habilita a decir que este se conserva.

Esto fue solo buscar el pelo al huevo.

Suerte.

PD: me parece un lindo problema para encontrar las ecuaciones del movimiento de M y m respecto a un SRI fijo al piso, y por que no también la ecuación del movimiento de m respecto de un SR fijo a M

Suerte

[fisicah]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

jajaja muchísimas gracias, felmon, muchas gracias por el ánimo y la ayuda!!!!!

Este mediodía mientras comía vislumbré la misma ecuación que tú en mi mente al considerar la variación de impulso del sistema como tú lo hiciste, porque tenía muy claro que el impulso aumentaba, pero no sabía cómo (pero ahora comprendo!!! ). Aunque lo de la segunda ley de newton aplicada así, jamás se me hubiera ocurrido!!! De hecho, mientras escribía esto, al principio te propuse una formulación distinta de la segunda ley de Newton, luego apliqué el concepto de velocidad del centro de masas, su definición, y me salió la tuya Qué gozada, doble comprensión del mismo concepto. Ya por curiosidad, yo partía de lo equivalente, aunque menos práctico,
$\sum_{n = 1}^\infty{\vec{f}}_{ ext}=\dfrac{d\vec{p_c}}{dt}=(m+M)\dfrac{d\vec{v_c}}{dt}$
Introduces ahí el valor de v_c(v_m, v_M) y te sale tu línea ¡Muchas gracias de nuevo, felmon!

Y también muchas gracias a carmelo por tratar de echarme una mano, aunque su idea no terminara siendo buena

La apreciación de Bregan me parece fundamental, gracias por soltarla y no guardártela, que no ha sido buscar los pies al gato en absoluto. Pese a que traté de verlo todo como vectores, no me percaté que dp/dt, las fuerzas que afectaban al sistema, tenían componente nula en la horizontal, que es donde, en el instante que me piden, se desarrollan todas las velocidades (hacia la "derecha el bloquecito", hacia "la izquierda el half-pipe").

Sobre encontrar las ecuaciones del movimiento de M y m... sí, me parecería entretenido encontrarlas, porque se me da fatal y así me libro de esa grave vacío en mis habilidades Pero es que PEOR se me da, no ya sólo comprenderlo, sino hacer transformaciones galileanas o cambios de sistemas de referencia, sean inerciales o no... nunca lo comprendí, eso que ves ahí arriba es mi intento sin meterle aceleración centrífuga, pero es que no sabría cuál es la fuerza correspondiente (si la hubiera, que por el 3º ppo de Newton la hay) sobre... sobre qué cuerpo. En 3º de ingeniería, sé hacer maravillas con ecuaciones diferenciales y problemas relativamente difíciles de física y tal, pero jamás he cambiado de sistema de referencia jajaja ahí mi inexperiencia y mi gran confusión cuando se trata de ello, por eso no sabría decir si podría conseguirlo...

[Jose D. Escobedo]

Re: Bola que cae por un half-pipe móvil

Y también muchas gracias a carmelo por tratar de echarme una mano, aunque su idea no terminara siendo buena

Hola, He tratado con lagrangianos y sistemas no inerciales y me temo decirte que carmelo tiene razón.
En el bloque de masa $m$ actuan dos fuerzas, la fuerza normal $\vec{N}$ y su peso $m\vec{g}$. Entonces, la ecuación (en sistema no inercial) es:

$-N\hat{e_r}-mg\hat{\jmath}=m{\ddot x}\hat{\imath}+mR\ddot \phi \hat{e_\phi}-mR {\dot \phi}^2 \hat{e_r}$ y que al proyectar las componentes radialmente $\Rightarrow$

$-N-mg \hat{\jmath}\cdot\hat{e_r}=m\ddot x \hat{\imath}\cdot \hat{e_r}-mR{\dot \phi}^2 \Rightarrow$

$-N-mg\sin\phi=m\ddot x \cos \phi - mR{\dot \phi}^2$...(1)

Cuando se proyectan las fuerzas sobre el bloque de masa $M$ la ecuación paralela al eje de las $x's$ me resulta:
$N\cos \phi =M \ddot x$...(2)

De (1) y (2)
$N=\dst \frac{Mm(R {\dot \phi}^2-g \sin \phi)}{M+m \cos \phi }$ y si se toma [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$N=\dst m \frac{(R\phi)^2}{ R}+mg$

El vector para localizar el bloque $m$ es $\vec{r}=x\hat{\imath}+H\hat{\jmath}+R\hat{e_r}\Rightarrow$

$\vec{\dot r}=\dot x \hat{\imath}+R\dot \phi \hat{e_\phi}$ de donde $v^2=\vec{\dot r}\cdot \vec{\dot r}=x^2+R^2 {\dot \phi}^2-2\dot x R \dot \phi \sin \phi$ y cuando $\phi=\dst\frac{3\pi}{ 2}\Rightarrow$

$v^2=(\dot x +R \dot \phi)^2\Rightarrow$

$\dst\frac{(R \dot \phi)^2}{R }=\frac{(v-\dot x)^2}{R }$.

Este sistema tiene dos grados de libertad $x,\phi$ y como es un sistema autonomo la energía es una constante de integración (es decir se conserva la energía) la otra constante de integración, sale del lagrangiano esta me dió:

$\dst\frac{d}{dt }[(M+m)\dot x- mR\dot \phi \sin \phi]=0$ partiendo del reposo y ademas cuando $\phi=\dst\frac{3\pi}{2 }$ parece ser la otra condición que propone carmelo.



Saludos
Jose