1r ciclo Varilla que cae. Sólido rígido

[javirk]

Hola, tengo este problema:

La varilla de la figura cae desde la vertical con velocidad inicial nula. No hay rozamiento entre su extremo inferior y el suelo. Determina la velocidad del centro de masas y la velocidad angular de rotación de la varilla en torno a él en una posición intermedia de la caída, determinada por el ángulo θ. ¿En qué punto del suelo golpea el centro de masas de la varilla? ¿Cómo varían sus contestaciones a las cuestiones anteriores si la varilla cae girando en torno a su extremo inferior?

(No pongo la figura porque es simplemente una varilla que está tocando el suelo en su extremo inferior (punto P) y con un ángulo $\theta$ con respecto al suelo).

La cosa es que el problema no me sale. Voy a decir lo que he hecho a ver si alguien me puede decir qué he hecho mal:
He supuesto que tanto la velocidad como la aceleración del punto P en el eje vertical ($y$) es 0, pero sí hay velocidad y aceleración en ese punto en el eje horizontal. Visto esto he obtenido las ecuaciones de ambas magnitudes con respecto al centro de masas (y aquí creo que la he liado):

Velocidad: $\vec{V_p}=\vec{V_{CM}}+\vec{V_p}*$ Entonces:

$V_{px}=V_{CMx}-\omega\frac{L}{2}\cos(\theta)$ (Ya que desde el centro de masas se ve un movimiento circular)

$V_{py}=V_{CMy}-\omega\frac{L}{2}\sin(\theta) = 0$

Como creo que puedo hacerlo por energías necesito el módulo de $V_{CM}$, como $V_{py}=0$, $\vec{V_p}=V_{px}=V_{CMx}-\omega\frac{L}{2}\cos(\theta)$.¿No?

Como solo hay fuerzas conservativas, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , entonces (poniendo ya todas las energías del centro de masas, tomando como referencia el suelo, al principio solo habrá energía potencia y en un ángulo cualquiera, cinética y potencial):

$mg\frac{L}{2} = mg\frac{L}{2}\sin{\theta} + \frac{1}{2}m{V_{cm}}^2 + \frac{1}{2}I{\omega}^2$

Pero claro, necesito $V_{CM}$ y solo tengo su componente en el eje x, para sacar su componente en el eje y uso $V_{py}=V_{CMy}+\omega\frac{L}{2}\sin(\theta) = 0$, por lo que será $V_{cmy} = -\omega\frac{L}{2}\sin(\theta)$

Entonces: $V_{CM} = (V_{px}-\omega\frac{L}{2}\cos(\theta))\hat{\imath} + (-\omega\frac{L}{2}\sin(\theta))\hat{\jmath}$

Para poner eso arriba necesito el módulo, lo que no es un problema, pero no sé qué hacer con $V_{px}$.

¿Lo estoy haciendo bien? ¿Cómo sigo?

Un saludo, gracias a los que hayáis leído todo.

P.D: ¿Cómo pongo ecuaciones centradas?

[felmon38]

Re: Varilla que cae. Sólido rígido

¿Has tenido en cuenta que v_CMx=0 ya que no existen fuerzas en la dirección x y su velocidad es cero en el instante inicial?

[javirk]

Re: Varilla que cae. Sólido rígido

Hola, pues la verdad es que no, ese era el fallo que tenía y no me había dado cuenta, pero tienes toda la razón, muchas gracias.

El otro fallo (que aún no entiendo muy bien) es que había cogido como momento de inercia del eje $I = \frac{1}{12}m\frac{L}{2}$ pero parece que no, que hay que poner la longitud total de la varilla y no la de la distancia al centro de masas sobre la varilla ($\frac{L}{2}$).

Un saludo y gracias otra vez.

[felmon38]

Re: Varilla que cae. Sólido rígido

... y además elevar al cuadrado la L.

[javirk]

Re: Varilla que cae. Sólido rígido

Cierto, error de escritura aquí, que eso sí lo había hecho. Entonces en estos casos siempre se coge como longitud de la varilla la total, ¿no?

[felmon38]

Re: Varilla que cae. Sólido rígido

El momento de inercia que has utilizado es respecto del CM de la varilla ya que se corresponde con la expresión de su energía cinética. Saludos.