Otras carreras Momento de inercia de un cilindro inhomogéneo. (Solido rigido)

[Piqueroide]

Buenas a todos. Hoy os vengo con una duda que a ver si vosotros podeis ayudarme a aclararmela.

Tenemos un clindro de masa M, radio R y longitud L en el que la densidad crece radialmente de la forma ro = c*r, donde c es una constante. Determinar su momento de inercia en funcion de la masa y de las dimensiones del cilindro.

La verdad que no consigo llegar a ponerlo en funcion de la masa...

El procedimiento que sigo es:

Utilizando la definicion de momento de inercia para un medio continuo, considero el diferencial de masa como la masa de una corona cilindrica de radio r, espesor dr y longitud L. Como dm, a su vez es dm= ro*dV, tenemos que dm=c*r*S(superficie de la corona cilindrica)*dr -> dm=c*r*2*pi*r*L*dr ->
dm=c*r^2*2pi*L*dr

Integro eso (que no se si estará bien) y después no sé como continuar, a ver si me podeis echar un cable.

Un saludo y muchisimas gracias!

[oscarmuinhos]

Re: Momento de inercia de un cilindro inhomogéneo. (Solido rigido)

Solo te queda hacer la integral para calcular la masa

$dm=\rho.dV=c.r.2\pi.r.Ldr= 2cL \pi {r}^{ 2}dr$

E integrando: $M= \int dm = \int 2 c.L \pi .{r}^{2}.dr$

Y después de hacer esta integral substituyes los términos que correspondan de la expresión del momento de inercia por la masa. (También puedes hacerlo dividiendo miembro a miembro la expresión del momento de inercia y la expresión que obtengas de la masa)

[Al2000]

Re: Momento de inercia de un cilindro inhomogéneo. (Solido rigido)

$\dst I = \int_{0}^{M}\!\! r^2 \, dm = \int_{0}^{V}\!\! r^2 \rho \, dV = \int_{0}^{R}\!\! c r^3\,(2 \pi r L \, dr) = 2 \pi c L \int_{0}^{R}\!\! r^4\, dr = \frac {2 \pi} 5 c L R^5$

$\dst M = \int_{0}^{M}\!\! dm = \int_{0}^{V}\!\! \rho \, dV = \int_{0}^{R}\!\! c r \,(2 \pi r L \, dr) = 2 \pi c L \int_{0}^{R}\!\! r^2\, dr = \frac {2 \pi} 3 c L R^3$

Entonces $\dst I = \frac 3 5 R^2 M$.

Saludos y ¡Feliz Año!,

Al

PD. Mis disculpas, Oscar, no vi estabas respondiendo.

[Piqueroide]

Re: Momento de inercia de un cilindro inhomogéneo. (Solido rigido)

Muchisimas gracias por esas dos respuestas, no sabia que habia que integrar la masa a parte, tonto de mi :P!

Feliz año igualmente y de nuevo gracias!

- - - Actualizado - - -

Lo que pasa que... Y perdon por reiterarme igual no haberme dado cuenta:

Cuando integras la masa, como relacionas esas ambas expresiones? En que se basa uno para dividir miembro a miembro para finalmente dejarlo en funcion de la masa?

[oscarmuinhos]

Re: Momento de inercia de un cilindro inhomogéneo. (Solido rigido)

Es una forma muy cómoda de introducir la masa cancelando términos
AI2000 te completó ya el cálculo.
Prueba a dividir ambas expresiones y lo verás muy claro.

Hay desde luego otras muchas formas de hacer lo mismo

Feliz año también