Divulgación Energía Potencial

[The Higgs Particle]

Hola
Para calcular la energía potencial se usa Ep = m · g · h, tomando g como un valor constante (aproximadamente 9’81 m/s²). Pero conforme nos alejamos del centro de gravedad terrestre, ésta disminuye. Para ser rigurosos, ¿se podría poner la gravedad de tal forma que dependa de la altura?:
P = m · g = G · Mm/r^2 __ g = G · M/r^2
donde r es la distancia del centro de gravedad terrestre a la que se encuentra el cuerpo, por lo que
Ep = m · G · M/ r^2 · h
Y como tanto h como r representan la distancia respecto al núcleo terrestre (r = h),
Ep = m · G · M/r

¿Esto sería válido?
Muchas gracias y feliz año nuevo!

[noopynoob]

Re: Energía Potencial

Hola.

La notación que usas es algo confusa porque no haces uso de LaTeX ? sin mencionar que igualaste mas de dos miembros en una linea.

te voy a explicar primero si se quiere calcular la energía potencial de un objeto que esta bastante alto sobre el nivel del mar su gravedad sera diferente, entonces lo primero que haremos sera calcular esa gravedad si tenemos su altura h.

F = G $\frac{m1.m2}{{r}^{2 } }$

F = peso
peso = masa x gravedad
digamos que m1 es la masa de la tierra y m2 es la masa del objeto, cancelamos la masa del cuerpo ya que esta a ambos lados de la ecuación

m.g = G $\frac{m1.m2}{{r}^{2 } }$
g = G $\frac{m1}{{r}^{2 } }$


atención, r no es igual al radio de la tierra, como muchas veces se quiere medir la gravedad a nivel del mar la tomamos como el radio de la tierra ya que su altura seria igual a 0, pero en realidad es el radio de la tierra + la altura del objeto, es decir.

r = radio de la tierra + altura h del objeto

supongamos que el objeto se encuentra a 70km, es decir, en la mesosfera.

radio de la tierra (Rt) = 6378140 m
altura de el objeto (h) = 70000m

r = Rt + h
r = 6378140m + 70000m
r = 6448140m

ya tenemos la distancia r entre el objeto y el centro de la tierra y retomando la ecuación anterior ya podemos hacer el reemplazo.

g = G $\frac{m1}{{r}^{2 } }$
g = 6,67428 x ${10}^{-11 }$ $\frac{5,974 . {10}^{24 }}{{6448140}^{2 } }$
g = 9,5 $\frac{m}{{s}^{2 } }$

un objeto a 70km de altura tendría una gravedad de 9,5 $\frac{m}{{s}^{2 } }$ muy cercano pero no igual.

si lo pruebas con un objeto de 50 kg, 70km y otro a nivel del mar su energia potencial seria una diferencia de 1 millon de joules, no admisible.

en serio no logro comprender tus formulas, pero según entendí creo que no es valido pero vuelve a formularla a ver si podemos ayudar.

[oscarmuinhos]

Re: Energía Potencial

Feliz 2014
Algunas aclaraciones:
Primera: la ecuación ${E}_{p} =m.g.h$ (1) es en realidad una diferencia entre dos energías potenciales, entre la energía potencial en un punto A y la energía potencial en otro punto B. Debiera escribirse más propiamente:
${E}_{p}(A) - {E}_{p}(B) = m.g. \left( {h}_{A }- {h}_{B} \right)$ (2)

Solo cuando asignamos un nivel cero de energía al punto B nos queda: ${E}_{p}(A) = m.g. \left( {h}_{A }- {h}_{B} \right)$ (3) y, por lo tanto, lo que en la ecuación (1) escribimos como h, es, en realidad una diferencia de alturas: $h = {h}_{A }- {h}_{B}$

Segunda aclaración: es una corrección al procedimiento que utilizas para encontrar la expresión de la energía potencial a una distancia R. De la aclaración anterior, deduces fácilmente que no se pueden cancelar R y h mutuamente.

Tercera Aclaración: La energía potencial aparece, por definición, cuando el trabajo necesario para llevar una masa desde un punto a otro es independiente del camino (fuerza conservativa). Si es independiente del camino, solo podrá depender de la posición y, por lo tanto, habrá de existir una magnitud que solo dependa de la posición y cuya diferencia sea igual al trabajo. Esta es la diferencia de energía de potencial entre esos dos puntos. Así pues, también así tenemos una diferencia de energía potencial. Sin embargo, si (igual que en la primera aclaración) tomamos asignamos un nivel cero de energía potencial a una determinada posición. Este trabajo nos daría también una diferencia de energía entre dos puntos y, de nuevo, solo asignando un nivel cero a una determinada posición se puede asignar una energía potencial a un punto concreto.
Animo y suerte en este nuevo año

[The Higgs Particle]

Re: Energía Potencial

Entiendo lo que me quieres decir,oscarmuinhos, pero aún me quedo con una duda. Si la diferencia entre ha y hb es muy grande, el valor de la gravedad variaría, como bien explica noopynoob. Entonces, ¿la fórmula de la Energía potencial sería m · (ga - gB) · ( hA - hB)?

[abuelillo]

Re: Energía Potencial

Entiendo lo que me quieres decir,oscarmuinhos, pero aún me quedo con una duda. Si la diferencia entre ha y hb es muy grande, el valor de la gravedad variaría, como bien explica noopynoob. Entonces, ¿la fórmula de la Energía potencial sería m · (ga - gB) · ( hA - hB)?

Cuando la gravedad varia no puedes multiplicar por la altura, ya que la fuerza varia continuamente mientras te mueves de una altura a otra, asi que tendrias que hacer una suma de esa variaciones continuas, lo que viene a ser hacer un integral. Seria algo parecido a esto (siendo x la distancia):

$\Delta Ep= - \int_{a}^{b} \frac{GmM}{x^{2}}dx = \left[ \frac{GmM}{x}+C\right]_a^b= \frac{GmM}{b} - \frac{GmM}{a}$

Del mismo modo se puede deducir la formula de la diferencia de energia potencial cuando la gravedad no varia (siendo h=b-a):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[visitante20160513]

Re: Energía Potencial

Se están usando las conclusiones de dos modelos matemáticos distintos de la gravedad:

1º).- El primer modelo supone que la gravedad es constante, es un modelo válido solo en la superficie terrestre y creo que procede de Galileo.

2º).- El segundo modelo usa la ley de la gravitación universal, de Newton, que no tiene nada que ver con el modelo anterior ya que es muchos años posterior (Newton nació el mismo año en que murió Galileo). Su aplicación es mucho más general aunque también limitada.

3º).- Incluso se podría usar el modelo relativista si se quiere, que data de principios del Siglo XX (A. Einstein). Hoy considerado de aplicación general.

pero para sacar conclusiones válidas nos tenemos que limitar a un único modelo, no pueden mezclarse las conclusiones obtenidas de uno y otro modelo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Energía Potencial

A The Higs Particle:

Te acaba de responder ya abuelillo utilizando el cálculo integral que yo no quise poner.
Efectivamente la expresión Ep=mgh o Ep(A)-Ep(b) = mg(ha-hb) solo puede utilizarse cuando g permanece constante, es decir cuando la diferencia de alturas entre A y B no son significativas respecto a la distancia al centro de atracción gravitatoria.
Lo que si me parece importante señalar es que es válida siempre que la diferencia de alturas sea pequeña, estemos sobre la superficie terrestre o en una órbita cualquiera.

Para situaciones en las que g no puede considerarse constante, la diferencia de energía potencial habría que hallarla calculando el trabajo, tal como explica abuelillo (y recuerda que solo puede hablarse de energía potencial cuando el trabajo de un punto a otro no dependa del camino).

Animo

A Jabato:
Entiendo que la expresión
${E}_{p}=mgh$ pertenece a la dinámica de Newton.
De hecho g es la fuerza por unidad de masa (o intensidad de campo) que resulta de la ley de la gravitación universal de Newton:

${F}_{g}=G\frac{M.m}{{R}^{2}}$ (R=distancia entre los centros de masas).

En esta expresión de la fuerza, para una distancia dada ${R}_{0}$ la masa M atraerá a la masa m con una fuerza (que llamamos peso, no es) dada por:
${F}_{g}=G\frac{M.m}{{{R}_{0}}^{2}}$ en la que haciendo $g=G\frac{M}{{{R}_{0}}^{2}}$ se puede escribir ${F}_{g}=m.g$

Y con la expresión de la energía potencial, Ep=mgh, ocurre otro tanto. Se deduce directamente de la diferencia de energía potencial entre dos puntos que se obtiene calculando el trabajo de la fuerza gravitatoria de Newton y aplicando a continuación la condición de la que distancia entre esos dos puntos A y B sea despreciable frente a la distancia al centro de atracción gravitatoria..

Y bueno, la teoría de la relatividad general de Einstein, interpreta la gravitación no ya como una fuerza sino como una curvatura del espacio cuadrimensional Espacio-tiempo, pero, en primer lugar, conviene no olvida que incluye a la teoría de Newton como caso límite para velocidades pequeñas respecto a la velocidad de la luz y, en segundo lugar, aunque las moscas se puedan matar también a cañonazos, conviene no enredarse demasiado...