1r ciclo Problema cometa-Tierra

[davinci]

Buenas forer@s:

Estoy intentando resolver un problema de mecánica que dice resumidamente:

Un cometa de masa 10^7 Kg se acerca a la Tierra con una velocidad de 10 km/s (10000 m/s) formando un ángulo de 30º con la línea cometa-tierra (a una distancia de 10^9 m). Hay que evaluar si impactará contra la Tierra despreciando la interacción con el Sol.
Como datos me dan el valor del radio terrestre (6,4.10^6 m) y el valor aproximado de la gravedad terrestre (9,81 m/s^2, que no entiendo para que lo necesito... ¿No necesitaría el de la gravitación universal?).

Bien pues lo que hice fue tener en cuenta que el momento angular se conserva, y calculé su valor con los datos anteriormente dados:

$\dst \vec{L} = \vec{r} \wedge m\vec{v}$$\dst; L = {D}_{c-t} {m}_{c} {v}_{c} \sin 30 = 0,5.{10}^{20} Kg m^2/s$

Luego pensé que el punto más cercano a la Tierra es aquel en el que el ángulo velocidad-distancia fuera de 90º (imaginando una línea casi recta (su trayectoria) que se desvía en un punto que es la tierra). Conservándose el momento angular, la distancia más cercana sería:

$\dst r = \frac{L}{mv} = \frac{0,5.{10}^{20}}{{10}^{11}} = 0,5.10^9 m$ Y dado el valor del radio terrestre, no llegaría a impactar.

Pero estoy seguro de que no lo tengo bien. Pensé en resolverlo por conservación de la energía como hice en un ejercicio donde te piden el radio en el apogeo y en el perigeo de la Luna, pero en ese caso hablamos de una órbita elíptica (casi circular), y por tanto el desarrollo no sería el mismo (la energía potencial efectiva oscila en los dos valores del radio del perigeo y el apogeo, pero en el caso del cometa no, porque éste pasa y luego se aleja).

Gracias por vuestro tiempo de antemano.

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

a) el valor de g=9.81 N/kg o m/s2, obtienes el valor de $G.{M}_{T}$ para substituir en las ecuaciones sin tener que usar el valor de G:

$G\frac{{M}_{T}}{{{R}_{T}}^{2} }=9,81$ de donde $G{M}_{T}=9,81.{{R}_{T}}^{2}$

b) Entiendo que con el valor del momento angular y con el valor de la Energía has de determinar la ecuación de la trayectoria del cometa y, a continuación, comprobar si la Tierra se encuentra en algún punto de esa órbita.

Animo

[davinci]

Re: Problema cometa-Tierra

Hola oscarmuinhos

Perdón por contestar tarde. En relación a tu segundo comentario, eso es lo que te dice el enunciado. No se si lo que he hecho arriba está bien, pero se me ocurrió recurrir a la conservación de la energía pensando que el cometa viene de lejos con tan sólo energía cinética, y que tras pasar cerca de la Tierra su energía mecánica es la energía cinética más la energía potencial efectiva. Pero no sé como seguir el desarrollo.

En relación al primero: Pues sí, no pensé en eso...

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

Entiendo que has de empezar por considerar que el cometa y la Tierra forman un sistema gravitatorio aislado y, puesto que la masa del cometa es muy pequeña (?) respecto a la masa de la Tierra, entiendo que puedes prescindir de la corrección de masa reducida del sistema y considerar que el centro de atracción está (con suficiente aproximación) en el centro de la Tierra.
Hecha esta primera aproximación, tienes dos constantes en el enunciado del problema:
-el momento angular que ya has calculado;
-la energía total del cometa bajo la atracción gravitatoria (mutua) de la Tierra: con la distancia ($d =\\ 10^9 \ m\\)$ calculas la energía potencial y con la velocidad calculas la energía cinética. (entiendo que no puedes utilizar solo la energía cinética, porque, independientemente de donde procediese el cometa, éste ha entrado y está dentro del campo gravitatorio de la Tierra)

Combinando estas dos constantes puedes hallar la trayectoria del cometa en relación a unos ejes de coordenadas situados en el centro de la Tierra y ver, a continuación, si el punto (0,0) pertenece a la trayectoria.

Imagino que tendrá que hacerse así.
Animo y suerte

[arivasm]

Re: Problema cometa-Tierra

En mi opinión el cálculo tan sólo requiere del enfoque que comenta davinci en su primer post, pero con algún matiz.

La idea sería verificar si el perigeo se correspondería o no con una distancia al centro de la Tierra superior al radio de ésta. Si es así tenemos garantía de que en ningún punto de su trayectoria chocará con el planeta.

Para calcular esta distancia no nos basta con la conservación del momento angular, pues desconocemos la velocidad que tendrá el comenta en el perigeo. Es por ello que también hay que manejar la conservación de la energía. De ese modo tendremos dos ecuaciones con dos incógnitas, la velocidad y distancia en el perigeo, de las que sólo interesa esta última.

En resumen, mi aportación respecto de lo escrito por Óscar es que no debe interpretarse literalmente eso que él ha escrito de calcular la trayectoria del cometa. Es decir, davinci no debe pensar que debe meterse con la complicada ecuación de movimiento del cometa. Por otra parte, la referencia al punto (0,0) es incorrecta (si dicho punto se refiere al centro de la Tierra), pues está garantizado que nunca pasará por él.

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

Efectivamente, tiene razón arisvam, para chocar con la Tierra la condición será que pase a una distancia del centro de atracción (se puede suponer que es el centro de la Tierra?) menor que el radio terrestre. Gracias por la corrección, arisvam.

Y, en relación a si es posible conocer si choca o no choca con la Tierra, sin la ecuación de la trayectoria?
Yo encuentro que tendríamos tres incógnitas: la velocidad, la distancia y el ángulo entre el vector de posición del cometa y la velocidad del cometa...no es así?. Y salvo que al substituir los datos de las constantes iniciales nos encontremos con que la ecuación que resulte nos imponga un límite inferior para dicha distancia....?

Gracias arisvam.

[davinci]

Re: Problema cometa-Tierra

O sea:

Teniendo el valor del momento angular: $\dst L = 0,5.{10}^{20} Kg m^2/s$ y sabiendo que la energía se conserva: (Corrección arivasm y oscarmuinhos)

$\dst \frac{1}{2} {{v}_{c}}^{2} - \frac{g {{R}_{T}}^{2}}{{r}_{T-C}} = \frac{1}{2} {\left( \frac{L}{{r}_{p} {m}_{c}} \right)}^{2} - \frac{g {{R}_{T}}^{2}}{{r}_{p}}$

Y despejo rp (radio en el perigeo). ¿Es así?

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

Creo que no.
Tendrías que utilizar el valor de la energía total que permanece constante.
Esta constante sería igual a la energía potencial más la energía cinética en ese punto que quieres determinar...

Y, a la espera de si arisvam contesta a mi mensaje anterior, yo soy de la idea de que no puedes suponer que L = mvr porque equivale a suponer que el ángulo entre la velocidad del cometa y el vector de posición del mismo es de 90º y (en mi opinión) no tiene porque serlo...

Llamando $E_0$ a la energía del cometa en la posición que te da el enunciado ($E_0 \\= \\{E}_{p0 }+{E}_{c0}$ ),

$E_0 \\= -\frac{G.{M}_{T}.m_c}{{r}_{p} } + \frac{1}{2 } \\{m}_{c} \\{{v}_{p }}^{ 2}$

En esta expresión sustituyes la velocidad por la expresión de la velocidad que obtienes del momento angular que también permanece constante y podrías calcular la distancia (conociendo el ángulo?).

A ver si arisvam interviene de nuevo en el hilo y aclaramos lo de ese ángulo.

Para aclarar un poco más mi visión sobre el movimiento del cometa, dejo aquí una imagen:

en mi opinión, solo suponiendo que el cometa tenga una órbita circular o sabiendo que el perigeo coincide con el punto de retroceso de la órbita, se podría tomar un ángulo de 90º. Pero no estoy muy seguro en estas cuestiones de dinámica planetaria, por lo tanto, a ver si arisvam o algún otro vuelve a intervenir.

Efectúo aquí la corrección que señala arisvam en el siguiente mensaje:
Si se considera al sistema Tierra-cometa formando un sistema aislado, la Tierra estará en uno de los focos de la cónica (parábola, elipse o hipérbola) y el perigeo coincidirá con el vértice de la órbita y, por lo tanto, el ángulo entre v y r es de 90º y se puede escribir L=mvr
.
Gracias arisvam

[arivasm]

Re: Problema cometa-Tierra

Caramba, es todo un alago ser tan esperado!

Yo encuentro que tendríamos tres incógnitas: la velocidad, la distancia y el ángulo entre el vector de posición del cometa y la velocidad del cometa...no es así?. Y salvo que al substituir los datos de las constantes iniciales nos encontremos con que la ecuación que resulte nos imponga un límite inferior para dicha distancia....?

En el perigeo el ángulo entre la velocidad y el vector de posición (referido al centro de la Tierra) es de 90º. El motivo está en la 1ª ley de Kepler: la trayectoria será una cónica plana con la Tierra en uno de los focos. En todos los casos posibles (elipse, parábola o hipérbola) se cumplirá lo que acabo de decir.

...yo soy de la idea de que no puedes suponer que L = mvr porque equivale a suponer que el ángulo entre la velocidad del cometa y el vector de posición del mismo es de 90º y (en mi opinión) no tiene porque serlo...

Efectivamente, Óscar tiene razón. La conservación del momento angular implica que $m_cvr\sin\theta=m_cv_pr_p$, donde el lado izquierdo se refiere a un punto cualquiera de la trayectoria (el del enunciado) y el lado derecho al perigeo (tomando ya en consideración los 90º anteriores).

$E_0 \\= -\frac{G.{M}_{T}}{{r}_{p} } + \frac{1}{2 } \\{m}_{c} \\{{v}_{p }}^{ 2}$

Sólo una pequeña corrección: en la energía potencial falta la masa del cometa. $\dst -\frac{G m_c {M}_{T}}{{r}_{p} } + \frac{1}{2 } \\{m}_{c} \\{{v}_{p }}^{ 2}=-\frac{G m_c {M}_{T}}{r} + \frac{1}{2 } \\{m}_{c} \\{{v}}^{ 2}$

[davinci]

Re: Problema cometa-Tierra

Hola arivasm

O sea, que a la fórmula que puse en mi último mensaje le falta la energía potencial en el lado izquierdo, ¿no? ¿Por todo lo demás está bien?

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

gracias arisvam

Corrijo lo de la masa del cometa que efectivamente falta.

Y efectivamente, TIENES TODA LA RAZÓN: si se considera Tierra y cometa como un sistema aislado, la Tierra estará en uno de los focos y el perigeo será el vértice de la cónica.
Yo empecé suponiendo que Tierra y cometa formaban un sistema aislado, pero no saque de ello todas las conclusiones que había que sacar (y me quedé con la imagen de otro cometa no vinculado al campo gravitatorio terrestre)
Disculpas a davinci y gracias de nuevo a arisvam

[arivasm]

Re: Problema cometa-Tierra

O sea:

Teniendo el valor del momento angular: $\dst L = 0,5.{10}^{20} Kg m^2/s$ y sabiendo que la energía se conserva:

$\dst \frac{1}{2} {{v}_{c}}^{2} = \frac{1}{2} {\left( \frac{L}{{r}_{p} {m}_{c}} \right)}^{2} + \frac{g {{R}_{T}}^{2}}{{r}_{p}}$

Y despejo rp (radio en el perigeo). ¿Es así?

Hola arivasm

O sea, que a la fórmula que puse en mi último mensaje le falta la energía potencial en el lado izquierdo, ¿no? ¿Por todo lo demás está bien?

Como bien te dijo antes Óscar, ciertamente falta la energía potencial. Buena idea la de expresar la energía cinética en el perigeo en función del momento angular. De todos modos, tienes un error: el término de energía potencial debe ser negativo en vez de positivo.

[oscarmuinhos]

Re: Problema cometa-Tierra

Efectivamente...
Modificas tu ecuación con lo que te puse en la ecuación (ya corregida) que te he puesto en anterior mensaje):
$E_0 \\= -\frac{G.{M}_{T}.m_c}{{r}_{p} } + \frac{1}{2 } \\{m}_{c} \\{{v}_{p }}^{ 2}$

En ella introduces el momento angular y te queda una ecuación donde solo tienes la distancia. Calculas la distancia y si es mayor que el radio de la Tierra (el cometa habrá que considerarlo como partícula, pues no te dan el radio)....y ya tienes el problema resuelto.

Suerte

[davinci]

Re: Problema cometa-Tierra

¡Muchas Gracias a ambos por la explicación!

Un saludo

[Alriga]

...Un cometa de masa 10^7 Kg se acerca a la Tierra con una velocidad de 10 km/s (10000 m/s) formando un ángulo de 30º con la línea cometa-tierra (a una distancia de 10^9 m). Hay que evaluar si impactará contra la Tierra despreciando la interacción con el Sol...

Usaremos como datos:

Constante de gravitación universal $G=6.6743\cdot 10^{-11}$ unidades del SI

Masa de la Tierra $M=5.972\cdot 10^{24}$ kg

Distancia inicial $r=10^9$ m

Velocidad inicial $v=10000$ m/s

Radio de la Tierra $R_T=6371000 \ m = 6371 \ km$

Llamo $m$ a la masa del cometa, $v_p$ a su velocidad en el perigeo y $r_p$ a su distancia al centro de la Tierra en el perigeo.

La conservación de la energía permite escribir:

$E=\dfrac 1 2 m v^2-\dfrac{G M m}r=\dfrac 1 2 m v_p^2-\dfrac{G M m}{r_p}$

Podemos simplificar la masa del cometa y vemos que la energía específica $\epsilon=E/m$ también se conserva.

$\epsilon=\dfrac{v^2}2-\dfrac{G M}r=\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{G M}{r_p}$

$\epsilon=\dfrac{v^2}2-\dfrac{G M}r$

Sustituyendo valores y operando obtenemos.

$\epsilon = 49601411$ J/kg

Como nos ha salido un valor positivo, eso significa que la órbita es hiperbólica.

Como en el perigeo la velocidad es perpendicular al radio vector $v_p \perp r_p$, la conservación del momento angular permite escribir:

$L=r\cdot mv \sin 30^o=r_p \cdot mv_p \sin 90^o$

Podemos simplificar la masa del cometa y vemos que el momento angular específico $h=L/m$ también se conserva. Vemos que el dato de la masa del cometa es innecesario para resolver el ejercicio.

$h=r\cdot v \sin 30^o=r_p \cdot v_p$

$h=r\cdot v \sin 30^o$

Sustituyendo valores y operando obtenemos:

$h=5\cdot 10^{12} \ m^2/s$

Nos quedan las siguientes 2 ecuaciones, con 2 incógnitas que son $r_p$ y $v_p$

$$\epsilon=\dfrac{v_p^2}2-\dfrac{G M}{r_p}$$

$$h=r_p \cdot v_p$$

Despejamos en la segunda.

$v_p=\dfrac h{r_p}$

Sustituimos en la primera y operamos:

$\epsilon=\dfrac{h^2}{2r_p^2}-\dfrac{G M}{r_p}$

$2\epsilon r_p^2 + 2G M r_p -h^2=0$

Ponemos números y resolvemos la ecuación de 2º grado, obteniendo para la distancia de perigeo:

$r_p=498\cdot 10^6 \ m = 498003 \ km$

Como esta distancia es mucho mayor que el radio de la Tierra (6371 km) el cometa no chocará con la Tierra.

Se puede consultar como referencia: Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Saludos.