1r ciclo Estrella binaria

[Turing]

Hola,

si suponemos dos estrellas orbitando sobre sí mismas en una órbita circular y enviamos un objeto de masa m desde el infinito, con velocidad prácticamente nula, de una forma perpendicular al plano de dicha órbita... Para calcular la velocidad a la que llega al centro de masas de la estrella binaria, por conservación de la energía queda que:

$\dst v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

donde M es la suma de las masas de las estrellas y r es la mitad de la distancia entre éstas? Tengo dudas sobre ésta última frase.

Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Estrella binaria

La energía potencial de esa masa en el punto medio entre las estrellas binarias se obtiene sumando las energías potenciales debidas a una y otra estrella. Así pues la expresión estaría bien si la masa de las dos estrellas es la misma, ya que el centro de atracción del sistema sería el punto medio entre ambas estrellas, pero M sería la masa de una no la suma de las dos masas.

Si las masas fuesen distintas el centro de atracción sería el centro de gravedad del sistema, no el punto medio y las distancias a utilizar en la energía potencial debida a cada estrella no serían la misma.

De todas formas, yo no estoy muy puesto en dinámica planetaria...A ver si algún otro compañero del foro da también su opinión.

suerte y feliz año

[Turing]

Re: Estrella binaria

Es lo que suponía, y sí, las masas son las mismas por lo que llego a dicha expresión.

Gracias por la ayuda.

- - - Actualizado - - -

Otra pregunta: si quisiéramos calcular la fuerza gravitatoria ejercida por las dos estrellas en un punto arbitrario que forme un triangulo equilátero con éstas... ¿Dicha fuerza sería la proyección en el eje perpendicular a la línea que une las dos estrellas de la suma de las dos fuerzas? (recordando que, en realidad, son las mismas, pues las masas de las estrellas son iguales).

Es decir, suponiendo dicho punto en el vértice superior del triángulo quedaría algo tal que...????

$\dst F_p=(F_{1p}+F_{2p})\cos60 = 2F\cos60 = F$

[oscarmuinhos]

Re: Estrella binaria

Conviene que dibujes la figura. Colocas la masa en el tercer vértice de ese triángulo equilátero y colocas sobre ella los vectores de la fuerza gravitatoria de atracción que sobre dicha masa ejerce cada una de las estrellas.
Descompones dichas fuerzas y verás:
-que las componentes de las fuerzas perpendiculares a la altura del triángulo equilátero (en ese vértice) se cancelan mutuamente y que las componentes en la dirección de la altura se suman y son iguales, pero el ángulo de cada una de las fuerzas con esa altura es de 30º no de 60º.

Por lo tanto:
$\dst F_p=(F_{1p}+F_{2p})\cos30 = 2F\cos30 = F$

[Turing]

Re: Estrella binaria

pero el ángulo de cada una de las fuerzas con esa altura es de 30º no de 60º.[/TEX]

Cierto, solo quería mirar si el procedimiento era así más o menos.

Por cierto, si quisiese calcular la distancia entre las dos estrellas (que forman el sistema binario), podría igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta y de ahí despejar la distancia o seria un error pues dichas fuerzas no serian iguales ya que las dos estrellas están orbitando?

Si utilizase el concepto de masa reducida (estaría situada en el CM) si podría efectuar ésta igualación, verdad?

[oscarmuinhos]

Re: Estrella binaria

si estudias la dinámica de una de las estrellas, ésta estará sometida a la fuerza de atracción gravitatoria de la otra estrella que a está a una distancia 2R (R la distancia de cada estrella al punto medio). Si la otra estrella estuviera fija, la primera describiría una órbita de radio R (radio medio) en torno a ella, pero como la otra se mueve y tiene la misma masa resulta que las dos describen una órbita de radio R en torno al centro de masas común.
Puedes igualar fuerza gravitatoria y centrípeta pero teniendo en cuenta que el radio de la órbita es R y la distancia que hay que utilizar en la expresión de Fg es 2R y que habrás de utilizar la masa reducida.

Esta es mi opinión....Espera por ver si algún otro miembro del foro deduce lo mismo

tuve un profesor en la Universidad (de Químicas, por tanto, por mucha que sea mi afición a la Física, siempre serán muchas las lagunas...) que siempre nos decía que pusiéramos atención en los conceptos que aprendíamos y de donde provenían...pues, con frecuencia, era más fácil aprender de nuevo que desaprender los conceptos mal aprendidos...sobre todo, , -añadía además-, porque pocas veces eramos conscientes de haberlos aprendido mal... Corrijo, pues, en este mensaje algún gazapo conceptual que se colo en la redacción anterior, con el fin de que no sea excusa de "aprender mal" a quién lo lea...

CORRECCIÓN:
El concepto de masa reducida se refiere a como "vería" la segunda estrella a la primera (o la primera a la segunda) en este sistema formado por dos estrellas binarias en el caso de que no haya ninguna otra fuerza externa o que las fuerzas externas que actúan sobre cada una sean proporcionales a sus masas. Esta segunda estrella "vería" a la primera como una estrella de masa reducida (masa reducida dada por la expresión $\frac{1}{\mu }=\frac{1}{{M}_{1 }}+ \frac{1}{{M}_{2} }$) colocada a la distancia 2R entre ellas.

De haber una tercera partícula de masa no muy diferente habría que estudiar el sistema formado por las tres partículas y las ecuaciones se complican

Vuelvo a advertir que para nada estoy yo experimentado en estos problemas de dinámica planetaria ...por lo que ...a ver si algún otro miembro del foro quiere opinar al respecto

Animo

[Turing]

Re: Estrella binaria

Expongo aquí mi problema:

Tenemos una estrella binaria (como indica su nombre, dos estrellas orbitando la una entorno a la otra).
Datos: la masa de las estrellas son la misma (masa parecida a la del sol) y tienen un periodo de 25 años. Dividamos el problema en diferentes apartados:
a) Encontrar la distancia entre las estrellas.
b) Si enviásemos un objeto desde el infinito y con velocidad prácticamente nula hacia el centro de masas del sistema binario y en dirección perpendicular al plano orbital de éste... Calcular la velocidad con la que llegará a su destino.
c) Supongamos un punto que forme un triángulo equilátero con las posiciones de las estrellas. Si allí colocásemos una masa mucho menor a la de éstas, que fuerza gravitatoria recibiría y en qué dirección?
d) Calcular la velocidad necesaria para que dicho objeto orbite en el mismo plano que las estrellas y demostrar que el periodo de éste es igual al de las mismas.

Bien, empecemos.

a) Debemos tener en cuenta que tenemos un problema de dos cuerpos orbitando sobre ellos, por lo que para solventar dicho problema recurriré al concepto de masa reducida, consiguiendo "compactar" los dos cuerpos en uno. Si definimos,

$\dst \frac{1}{\mu}=\frac{1}{M}+\frac{1}{M}=\frac{2}{M}\to \mu=\frac{M}{2}$

Ahora igualaremos la fuerza gravitatoria a la centrípeta...

$\dst F_g=F_c$

$\dst \frac{GM^2}{r^2}=\mu a_c= \frac{M}{2}\frac{v^2}{r}=\frac{M}{2} \omega ^2 r = \frac{2M\pi ^2 r}{T^2}$

$\dst r=\sqrt[3]{\frac{GMT^2}{2 \pi ^2}}$

b) Aplicamos la conservación de la energía y, ya que las dos estrellas están aportando energía potencial, las sumaré...

$\dst \frac{1}{2}mv^2=\frac{2GMm}{r/2}$

$\dst v=\sqrt{\frac{8GM}{r}}$

c) Considerando la masa en el vértice superior... Las componentes horizontales serán anuladas y tan solo tendrán fuerzas que serán proyectadas en el eje vertical con un ángulo de 30º.

$\dst F_g=\frac{2GM\mu}{r^2}\cos30=\frac{\sqrt{3}GM^2}{2r^2}$

d) Para obtener dicha velocidad hemos de igualar la fuerza que acabamos de encontrar a la centrípeta, considerando la distáncia del objeto...

$\dst \frac{\sqrt{3}GM^2}{2r^2}=\frac{\mu v^2}{r \cos30}= \frac{2Mv^2}{2\sqrt{3}r}$

$\dst v=\sqrt{\frac{3GM}{2R}}$

El periodo de la estrella binaria es

$\dst T=\sqrt{\frac{2\pi ^2r^3}{GM}}$

y podemos obtener ésta misma expresión a partir de la velocidad de la partícula,

$\dst v^2=\omega ^2 (r\cos30)^2=\omega ^2 r^2 \frac{3}{4}$

$\dst \frac{3GM}{2r}=\frac{12 \pi ^2 r^3}{4 T^2}$

$\dst T=\sqrt{\frac{2\pi ^2r^3}{GM}}$

llegando a la misma expresión.


Espero que si se ve algún error me lo hagáis saber.

Mil gracias.

[Turing]

Re: Estrella binaria

Disculpad, el hecho de que nadie escriba es que el problema es correcto de esta manera?

Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Estrella binaria

No significa por supuesto que esté bien...significa tal vez que los demás miembros del foro con conocimientos en este tema nos están considerando a los que seguimos el hilo con capacidad para resolverlo. Pero yo ya advertí que no era muy experimentado en este tipo de problemas de dinámica planetaria
Te aconsejo que ahora que lo tienes solucionado abras otro hilo poniendo el enunciado y la solución para ver si otros miembros del foro contestan
Animo

[Alriga]

...b) si suponemos dos estrellas orbitando sobre sí mismas en una órbita circular y enviamos un objeto de masa m desde el infinito, con velocidad prácticamente nula, de una forma perpendicular al plano de dicha órbita ... calcular la velocidad a la que llega al centro de masas de la estrella binaria...

La energía del objeto es la suma de energía cinética más energía potencial. En el punto inicial (infinito) nos dicen que la velocidad es cero y la energía potencial gravitatoria ahí es cero por definición, por lo tanto

$E=E_{c_i}+U_{\infty}=0+0=0$

$U_1=-\dfrac{G m_e m}d$

$U_2=-\dfrac{G m_e m}d$

$U=U_1+U_2=-\dfrac{2G m_e m}d$

Llamamos $M=2 m_e$

Llamamos $r$ a la mitad de la distancia entre ambas estrellas, ver dibujo. Obtenemos

$U=-\dfrac{G M m}{\sqrt{r^2+h^2}}$

La energía del objeto:

$E=\dfrac 1 2 m v^2-\dfrac{G M m}{\sqrt{r^2+h^2}}$

$\dfrac 1 2 \cancel m v^2-\dfrac{G M \cancel m}{\sqrt{r^2+h^2}}=0$

Despejamos la velocidad

$v^2=\dfrac{2GM}{\sqrt{r^2+h^2}}$

Cuando el objeto llega al centro de masas del par binario de estrellas $h=0$

$v=\sqrt{\dfrac{2 G M}r}$

Saludos.