1r ciclo Ejercicio de conservación del momento lineal

[Fermat]

Hola a todos, el ejercicio en el que tengo al duda es el siguiente.

Una bola de masa m = 0,5 kg con velocidad v = 2m/s choca elásticamente con otra bola idéntica, que sale despedida formando un ángulo de 30º con la dirección de la velocidad inicial de la otra bola. Encontrar la energía transferida de la bola 1 a la bola 2.

El enunciado del ejercicio en cuestión, antes de hacer ningún cálculo, parece sugerir que la bola 1 le transmite toda la energía a la bola dos. La bola 2 está parada, y la bola 1 tiene una determinada velocidad. Tras chocar la bola dos tiene la misma velocidad que tenía la primera, y teniendo ambas la misma masa esto quiere decir que tiene su misma energía cinética. Ha pasado de tener 0 J de energía a tener la misma energía que la primera bola en el instante inicial, por lo que la energía transferida ha de ser toda y la bola 1 ha de estar ahora parada.

Sabemos que para un sistema de partículas la fórmula de la energía cinética es la siguiente.

$E = \frac{1}{2}MV_{CM}^{2} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{'2}$

En todo choque se conserva la energía cinética del centro de masas, por lo que tenemos lo siguiente.

$\frac{1}{2}MV_{CM1}^{2} = \frac{1}{2}MV_{CM2}^{2}$

$V_{CM1}^{2} = V_{CM2}^{2}$

La fórmula de la velocidad del centro de masas es:

$V_{CM} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$

Por lo que:

$\frac{m_{1}v_{1}^{i} + m_{2}v_{2}^{i}}{m_{1}+m_{2}} = \frac{m_{1}v_{1}^{f} + m_{2}v_{2}^{f}}{m_{1}+m_{2}}$

Eliminando los denominadores y sabiendo que las masas son iguales llegamos a esto.

$m(v_{1}^{i}+v_{2}^{i}) = m(v_{1}^{f}+v_{2}^{f})$

Como la velocidad inicial de la bola dos es nula obtenemos que:

$v_{1}^{f} = v_{1}^{i}-v_{2}^{f}$

Y como ambas velocidades, la inicial de la bola uno y la final de la bola dos, son la misma, obtenemos que la velocidad de la bola 1 al terminar todo el proceso es 0, lo cual corrobora mi suposición inicial.

En un choque elástico también se conserva la energía cinética de las partículas del sistema, es decir, se conserva $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{'2}$ A partir de aquí podemos llegar a la misma conclusión de antes.

Si hacemos el mismo problema aplicando la conservación del momento lineal con la velocidad en módulo obtenemos el mismo resultado (la masa es la misma para las dos bolas, por lo que la llamo genericamente m).

$m|\vec{v_{1}^{i}}| + m|\vec{v_{2}^{i}}| = m|\vec{v_{1}^{f}}| + m|\vec{v_{2}^{f}}|$

$|\vec{v_{1}^{f}}| = |\vec{v_{1}^{i}}| - |\vec{v_{2}^{f}}|$

Hasta ahora parece que todo corrobora esa primera impresión que tuve con el problema. La dificultad me la encuentro cuando lo hago aplicando la conservación del momento lineal con la velocidad en la forma de vector.

$m\vec{v_{1}^{i}} + m\vec{v_{2}^{i}} = m\vec{v_{1}^{f}} + m\vec{v_{2}^{f}}$

$\vec{v_{1}^{i}} = \vec{v_{1}^{f}} + \vec{v_{2}^{f}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Y esto, obviamente, no da cero. Parece evidente que estoy pasando algo por alto, pero no sé que es. Llevo estudiando de manera intensa todas las vacaciones y creo que el cerebro ya no me responde como debería

¡Un saludo y gracias por vuestra ayuda!

[angel relativamente]

Re: Ejercicio de conservación del momento lineal

Y como ambas velocidades, la inicial de la bola uno y la final de la bola dos, son la misma, obtenemos que la velocidad de la bola 1 al terminar todo el proceso es 0, lo cual corrobora mi suposición inicial.

Aquí no corroboras nada, simplemente impones tu suposición inicial para ver que es congruente consigo misma. ¿De dónde sacas que la velocidad inicial de la bola 1 es igual que la velocidad final de la 2? No veo que lo diga el enunciado, y de hecho no concuerda mucho con el hecho de que la 2 salga en una dirección de 30º.

[pilimafiqui]

Re: Ejercicio de conservación del momento lineal

Estoy de acuerdo con lo que dice Angel, la vel. de la bola 1 no tien por que ser cero ya que puede salir despedida con una vel. que forme un angulo con los ejes.

- - - Actualizado - - -

Tienes que rectificar la vel. final de la bola 1 en el eje de las Y que es -2sen 30º

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio de conservación del momento lineal

si hacemos el mismo problema aplicando la conservación del momento lineal con la velocidad en módulo obtenemos el mismo resultado (la masa es la misma para las dos bolas, por lo que la llamo genericamente m).

$m|\vec{v_{1}^{i}}| + m|\vec{v_{2}^{i}}| = m|\vec{v_{1}^{f}}| + m|\vec{v_{2}^{f}}|$

$|\vec{v_{1}^{f}}| = |\vec{v_{1}^{i}}| - |\vec{v_{2}^{f}}|$

hasta ahora parece que todo corrobora esa primera impresión que tuve con el problema. La dificultad me la encuentro cuando lo hago aplicando la conservación del momento lineal con la velocidad en la forma de vector.

$m\vec{v_{1}^{i}} + m\vec{v_{2}^{i}} = m\vec{v_{1}^{f}} + m\vec{v_{2}^{f}}$

$\vec{v_{1}^{i}} = \vec{v_{1}^{f}} + \vec{v_{2}^{f}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y esto, obviamente, no da cero. Parece evidente que estoy pasando algo por alto, pero no sé que es. Llevo estudiando de manera intensa todas las vacaciones y creo que el cerebro ya no me responde como debería :d

¡un saludo y gracias por vuestra ayuda!

El momento lineal lineal es una magnitud vectorial lo mismo que las velocidades...No vale utilizar la conservación del momento lineal con los modulos de las velocidades....tienes que utilizar las velocidades en forma vectorial...tendrás una ecuación vectorial de la que sacarás dos ecuaciones escalares: una para el eje x y otra para el eje y

Como tienes la dirección de la particula 2, tendrás tres incógnitas. La tercera ecuación que necesitas es la de la energía cinética....

En este razonamiento que utilizas anteriormente, las velocidades también son magnitudes vectoriales:

La fórmula de la velocidad del centro de masas es:



Por lo que:



Eliminando los denominadores y sabiendo que las masas son iguales llegamos a esto.



Como la velocidad inicial de la bola dos es nula obtenemos que:

Tienes que poner las velocidades en su forma vectorial.

Animo

[Fermat]

Re: Ejercicio de conservación del momento lineal

Bien, esto corrobora mi suposición de que tengo el cerebro frito de tanto estudiar estas "vacaciones". Habré leído el enunciado cinco veces antes de preguntar aquí y todas ellas lo he leído mal. Donde dice "formando un ángulo de 30º con la dirección de la velocidad inicial de la otra bola" yo estaba leyendo "formando una angulo de 30º y con la velocidad inicial de la otra bola". Y varias veces. Cuando Ángel ha comentado que no veía en ninguna parte del enunciado que la segunda bola tuviese la misma velocidad que la primera al inicio he vuelto a leer y, efectivamente, es difícil que nadie lo vea porque no lo pone. A veces me sorprendo de mi originalidad a la hora de meter la gamba.

En cualquier caso, me viene bien la puntualización de oscarmuinhos. Sabía que el momento lineal es una magnitud vectorial, pero no me saltaron las alarmas al aplicarlo con los módulos de las velocidades. Ahora sé que está mal.

¡Muchas gracias a todos!

P.D.: Recordad, niños, leed bien el enunciado antes de hacer el ejercicio.

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio de conservación del momento lineal

Y una última anotación más para orientarte en el resultado:

Razonando fisicamente el enunciado, si la segunda bola, idéntica a la primera, sale despedida con un ángulo de 30º, la otra tendrá que salir del choque con un ángulo de -30º. Las velocidades de una y otra bola es de esperar que sean iguales, por simetría.