1r ciclo Campo gravitatorio: energía necesaria para poner un satélite en órbita

[Sarela]

Ola a todos.

No sé lo que estoy haciendo mal en el siguiente problema:
Se quiere poner en órbita un satélite artificial de 50 kg de masa de forma que describa una órbita circular en el plano del Ecuador de un radio doble del radio de la Tierra $R_0 =\frac{2}{\pi }\times 10^7$ m. La Tierra se supone aislada y aceleración de la gravedad ${g}_{0 }= 9, 8 \frac{m}{s^2}$.
Calcula:
a) La energía mínima que hay que comunicarl al satélite para colocarlo en dicha órbita;
b) El suplemento de energía que habría que comunicarle para, una vez en órbita, mandarlo al infinito.

Explico lo que intenté hacer:

Calculé la velocidad orbital igualando fuerza gravitatoria y fuerza centrífuga;
Calculé entonces la energía cinética y la potencial en dicha órbita.
Apliqué entonces el principio de conservación de la Energía entre la energía potencial en la superficie de la Tierra más la energía que hay que suministrarle y la energía total (potencial más cinética) en dicha órbita.

La ecuación que me queda:

Energía total orbital - Energía potencial en la superficie de la Tierra= Energía que hay que suministrale al satélite.

Pero no me da el resultado que pone el libro: $2,34.10^9 J$. El segundo apartado, al no coincidir en el primero, ya no lo intenté.

Puede alguno o alguna explicarme que estoy haciendo mal?

Tiene algo que ver el dato de que el plano órbital coincide con el plano del Ecuador?


Muchas Gracias.

[visitante20160513]

Re: Campo gravitatorio: energía necesaria para poner un satélite en órbita

Suponiendo que el satélite sea geoestacionario (su vertical sobre la tierra es un punto fijo sobre la superficie terrestre) tenemos que la energía que hay que suministrar es suma de dos energías:

1ª).- La energía potencial necesaria para ascender a la altura de la órbita. Es la que corresponde a la diferencia de alturas entre la altura de la superficie terrestre y la altura de la órbita, pero ¡OJO! teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es negativo y decrece con el cuadrado de la distancia al centro de la tierra. El potencial será por lo tanto negativo y decrecerá con la distancia al centro de la tierra en la proporción inversa.

2ª).- La diferencia entre las energías cinéticas del satélite cuando se encuentra en la superficie de la tierra y en reposo con ésta, se supone que inicialmente el satélite se encuentra sobre el ecuador (*), y la energía cinética cuando se encuentra en su órbita. Debes tener en cuenta que cuando el satélite está en la superficie de la tierra ya está girando a una determinada velocidad, solo hay que incrementar esa velocidad hasta la necesaria para mantener la órbita pedida.

La suma de las dos energías debe coincidir con la energía pedida.

(*) En el caso hipotético de que el satélite no despegue desde un punto del ecuador existe al menos un incremento de la energía ya que la velocidad inicial es menor.

Salu2

[Sarela]

Re: Campo gravitatorio: energía necesaria para poner un satélite en órbita

O sea me falta la energía cinética del la masa de 50 kg debida a la rotación de la Tierra en el Ecuador?
Muchas gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Campo gravitatorio: energía necesaria para poner un satélite en órbita

Ola a todos.

No sé lo que estoy haciendo mal en el siguiente problema:
Se quiere poner en órbita un satélite artificial de 50 kg de masa de forma que describa una órbita circular en el plano del Ecuador de un radio doble del radio de la Tierra $R_0 =\frac{2}{\pi }\times 10^7$ m. La Tierra se supone aislada y aceleración de la gravedad ${g}_{0 }= 9, 8 \frac{m}{s^2}$.
Calcula:
a) La energía mínima que hay que comunicarl al satélite para colocarlo en dicha órbita;


Energía total orbital - Energía potencial en la superficie de la Tierra= Energía que hay que suministrale al satélite.

Pero no me da el resultado que pone el libro: $2,34.10^9 J$.



Muchas Gracias.

Hola Salera, no estoy muy seguro de que tus razonamientos esten tan errados.

Haciendo algo similar (el resultado es muy parecido al que posteaste):

Energía total del satélite a ($2R_o$)-Enegía total del satélite a $R_o$= Energía mínima que hay que comunicarle al satélite.

$\dst -\frac{GMm}{2R_o }+\frac{1}{2 }mv^2-(-\frac{GMm}{ R_o})=E$...(1), aquí no tuve en consideración la energía cinética a $R_o$
En la óbita circular a $2R_o$ la segunda ley de Newton es: $\dst m\frac{v^2}{2R_o }=\frac{GMm}{4R_o^2 }\Rightarrow \frac{1}{2 }mv^2=\frac{GMm}{4R_o }$...(2)

De (1) y (2)

$E=\dst \frac{3}{4 }\frac{GMm}{ R_o}=\frac{3}{4 }mgR_o=\frac{3}{ 4}(50)(9.8)(\frac{2}{ \pi}) (10^7)\approx 2339577663\approx 2.34 (10^9)$, la energía cinetica a $R_o$ no contribuye mucho.

Saludos