1r ciclo Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

[BigRider]

Llevo un par de días dándole vueltas a como plantear este problema, en el que se enrolla una cuerda de longitud L y densidad lineal \lambda alrededor de una polea de radio R y masa despreciable.
El problema surge con el hecho de que la cuerda tiene masa.
A medida que la cuerda desciende y hace que gire la polea el peso de la cuerda será mayor y no sé muy bien como plantearlo.
Agradezco mucho las sugerencias.

Un saludo!

[arivasm]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hace algún tiempo le dimos unas cuantas vueltas a un problema similar: forum.lawebdefisica.com/threads/23327-Máquina-de-Atwood-no-tan-ideal
Mi contribución está en el post #14.

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

ola
Veo algo confuso el enunciado....cuerda con masa enrollada en una polea sin masa...Pero si la cuerda tiene masa y la cuerda está enrollada en la polea...habrá que considerar un momento de inercia de la polea debida a la cuerda que tiene enrollada?.... O es que se considera, entonces, que se trata de una cuerda que se va dejando caer desde una altura h?

Y como está enrollada esa cuerda en la polea? A que distancia del centro está enrollada?

Creo que el enunciado debiera ser más claro.

..

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

oscar te escribo el problema tal y como viene planteado. "Considere una cuerda de longitud total L y densidad lineal /lambda. Un trozo de la cuerda de longitud L-lo se enrolla en una polea de radio R anclada al techo, mientras el resto, de longitud lo cuelga verticalmente. La polea tiene una masa despreciable, la inercia se debe únicamente a la masa de cuerda que aún se encuentra enrollada sobre ella."
Espero que así se entienda mejor.

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Muchas gracias arivasm. Soy nuevo y no he conseguido urgar demasiado. Voy a echarle un ojo y a ver si consigo sacar algo en claro!
Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Voy a echarle un vistazo ahora mismo. Mil gracias arivasm!

- - - Actualizado - - -

Aprovecho para decir que lo que se pregunta es. Plantear las escuaciones que gobiernan la dinámica del sistema y obtener la ecuación diferencial que relaciona la longitud de la cuerda que cuelga en cada instante con la aceleración a la que desciende así como obtener la expresión para la longitud de cuerda que cuelga en función del tiempo l(t).

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Así está más claro.

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Perfecto. Espero algún comentario acerca del problema!

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Habrá que empezar suponiendo que la cuerda $L-L_0$ está uniformemente enrollada en la cuerda y en todo su contorno

Lo más práctico será utilizar el principio de conservación de la energía:
Energía potencial del sistema + Energía cinética de traslación de la cuerda + Energía cinética de la polea=constante

Tomando nivel cero de energía potencial en el centro de la polea, si llamamos x al trozo de cuerda que ha descendido en un tiempo t:

$\displaystyle E_p =mgh= -\lambda .(L_o + x).g. \frac{L_o + x}{2}= - \frac{1}{2 }\lambda.(L_o + x)^2$ (La masa de la polea está cambiando constantemente, pero, mientras se pueda suponer que el centro de gravedad de la polea está en su centro...)

$\displaystyle {Ec}_{traslación cuerda}=\frac{1}{2 }m.v^2 =\frac{1}{2}\lambda (L_o + x).\left( \frac{\mathrm{d x} }{\mathrm{d t} } \right)^2$

$\displaystyle {Ec}_{rot. cuerda enrollada en la polea} =\frac{1}{2 }I.\omega^2$=$\displaystyle \frac{1}{2 }m.R^2.\omega^2$= $\displaystyle \frac{1}{2}\lambda \left( L- L_o -x\right).R^2.\omega^2$=$\displaystyle \frac{1}{2}\lambda \left( L- L_o -x\right).R^2.\frac{v^2}{R^2}= \frac{1}{2}\lambda \left( L- L_o -x\right).v^2$ =$\displaystyle \frac{1}{2}\lambda (L-L_o - x).\left( \frac{\mathrm{d x} }{\mathrm{d t} } \right)^2$

Sumas estas energías y derivas respecto al tiempo y tendrás las ecuaciones dinámicas

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

He intentado resolverlo por mi cuenta y no soy capaz de verlo.
Alguna otra ayuda? no entiendo cuando oscar dice que la masa de la polea cambia constantemente.... la polea no tiene masa según el enunciado, y es lo que me está matando un poco.

[arivasm]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

La masa de la polea sería la de la cuerda que tiene enrollada.

Aprovecho para comentar que ciertamente el ejercicio no requiere de meterse en el lío del hilo que señalé en el primer post.

[felmon38]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola,

Siguiendo la línea de Oscar

(La masa de la polea está cambiando constantemente, pero, mientras se pueda suponer que el centro de gravedad de la polea está en su centro...)

voy a intentar calcular el efecto de que el c.d.g. de la cuerda enrollada no esté en el centro de la polea.
Elijo como variable el ángulo total que subtiende la cuerda que está enrollada $\theta$

(longitud de la cuerda enrollada=$\theta$.R).

Si n es el n^o entero de vueltas enrolladas (variable)

n=int($\frac{\theta}{ 2.\pi}$ )

El trozo de la cuerda cuyo c.d.g. no está en el centro de la polea, abarca un ángulo

$\alpha= \theta - n.2.\pi$.

Su masa es,

m₁ = $\lambda.\alpha.R$

estando su centro de gravedad a una altura

h₁=R.$\frac{sen\alpha}{\alpha}$.

Planteando de nuevo la condición de constancia de la energía cinética más la potencial de la cuerda (no se tiene en cuenta la masa de la polea):


$\frac{1}{ 2}.\theta.R.\lambda.{(R.\dot{\theta})}^{ 2}$ +$\frac{1}{ 2}.(L-\theta.R).\lambda.{(R.\dot{\theta})}^{ 2}$ - $\frac{1}{2 }\lambda$.(L-R.$\theta$).g + m₁.g.h₁ = Cte

ecuación diferencial de primer orden correspondiente al ángulo de giro de la polea (s.e.u.o).

Saludos

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

muchas gracias por la respuesta. A ver si ahora si lo veo, de todos modos no me deja ver el archivo adjunto

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola
Voy a ver si poniéndote una imagen lo ves más claro



En esta figura te represento la posición inicial y la posición después de un instante t en el que la cuerda habrá descendido una distancia x. Pero, claro está, si la cuerda ha descendido una distancia x, es que se habrá desenrrollado de la polea una longitud x de cuerda.

Yo eligí la distancia x como variable. Pero naturalmente se puede elegir también, como hace felmon38, el ángulo $\theta$ por medio de las relaciones $x = R\theta$ y $v = R. \dot \theta$ y $a = R.\ddot \theta$

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

agradecería muchísimo esa imagen Óscar

- - - Actualizado - - -

mil gracias Óscar, creo que de esta forma lo voy a ver mejor. A ver si ya por fin lo saco.

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

A felmon38:

No entiendo por que haces todo este desarrollo. Estás considerando que cambia el centro de gravedad de la cuerda enrollada en la polea?

Siguiendo la línea de Oscar voy a intentar calcular el efecto de que el c.d.g. de la cuerda enrollada no esté en el centro de la polea.
Elijo como variable el ángulo total que subtiende la cuerda que está enrollada $\theta$

(longitud de la cuerda enrollada=$\theta$.R).

Si n es el n^o entero de vueltas enrolladas (variable)

n=int($\frac{\theta}{ 2.\pi}$ )

El trozo de la cuerda cuyo c.d.g. no está en el centro de la polea, abarca un ángulo

$\alpha= \theta - n.2.\pi$.

Su masa es,

m₁ = $\lambda.\alpha.R$

estando su centro de gravedad a una altura

h₁=R.$\frac{sen\alpha}{\alpha}$.

[felmon38]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Claro Oscar, sigo tu indicación de que el c.d.g. de la cuerda enrollada no coincide con el centro de la polea ¿ o te he interpretado mal ?.Considero a la cuerda y a la polea, distintas