1r ciclo Potencial

[Turing]

Hola,

si tengo dos planetas de radio R1, R2 y masas M1, M2 respectivamente, separados una distancia d. Al calcular el potencial en los puntos de la línea que los une, ¿como he de trabajar? He empezado haciendo,

$\dst V(x)=-G\frac{M_1}{x}-G\frac{M_2}{d-x}$ para $\dst R_1\leqslant x \leqslant d-R_2$

$\dst V(x)=-G\frac{M_1}{\left\vert{} x\right\vert{}}-G\frac{M_2}{d+\left\vert{} x\right\vert{}}$ para $\dst -\infty < x \leqslant R_1$

$\dst V(x)=-G \frac{M_1}{x}-G\frac{M_2}{x-d}$ para $\dst d+R_2\leqslant x < + \infty$

Y creo que me faltan dos regiones más, que no se calcular.

Gracias por la ayuda.

[Al2000]

Re: Potencial

Usa la última con valores absolutos en los denominadores. Será válida para todos los puntos (exteriores a los planetas):

$$V(x)=-G \frac{M_1}{|x|}-G\frac{M_2}{|x-d|},\,\,|x| \geqslant R_1,\,\, |x-d| \geqslant R_2$$

Si deseas incluir lor puntos interiores a los planetas, la expresión es considerablemente mas complicada.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Turing]

Re: Potencial

Estoy intentando pillar los puntos interiores.

En la corrección sale,

$\dst V(x)=-G\frac{M_1}{R_1}[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{x}{R_1})^2]-G\frac{M_2}{d-x}$ para $\dst -R_1\leqslant x \leqslant R_1$

¿De donde aparecen esos números?

- - - Actualizado - - -

¿De integrar quizá? ¿Pero de donde a donde integro?

[Al2000]

Re: Potencial

El primer sumando es la contribución al potencial del planeta 1. Como te había anticipado antes, en el interior de cada uno de los planetas, la expresión del potencial es mas complicada. Si quieres ver de donde sale, puedes calcularlo de varias maneras. Una es la siguiente, partiendo del potencial de una cáscara:

$$V_{(r)} = \left \{\begin{aligned} -G &\frac M R, & 0 \leqslant r& < R \\ -G &\frac M r, & R < r& < \infty \end{aligned}\right .$$

si divides la esfera en cáscaras de radio $x$ y grosor infinitesimal $dx$, entonces el potencial en un punto interior a la esfera, a la distancia $r$ del centro, vale

$$V_{(r)} = \int_{x=0}^{x=r}\!\! \left(-G \frac {dm} r\right) + \int_{x=r}^{x=R}\!\! \left(-G \frac {dm} x\right)$$

donde $\dst dm = \rho (4 \pi x^2\, dx) = \frac {3 M}{R^3} x^2\, dx$ es la masa de las cáscaras. Si sustituyes y evalúas las integrales obtendrás para el potencial en puntos interiores

$$V_{(r)} = - \frac {G M}{2 R^3} \left(3 R^2 - r^2\right),\,\, 0 \leqslant r \leqslant R$$

Esta expresión la puedes reacomodar fácilmente para que se vea como la que pones en tu mensaje.

Saludos,

$\mathcal A \ell$