velocidad de una masa puntual M que cuelga de un hilo

[javier m]

Re: velocidad de una masa puntual M que cuelga de un hilo

Qué pena, la respuesta es la que pones

Y la otra pregunta es por lo que dice Breogan:

2º _ Conservación del momento angular (respecto del punto de amarre de la cuerda a la pared) entre el instante inmediatamente anterior a el estiramiento de la cuerda y el inmediatamente posterior a este, de forma que el intervalo de tiempo considerado para la conservación del momento angular sea un infinitesimo.
Dicho momento angular se conserva por que las únicas fuerzas que actúan en ese intervalo de tiempo son la fuerza que hace la cuerda sobre la bola (cuyo momento es nulo respecto del punto de amarre de la cuerda a la pared), y la fuerza de gravedad (peso de la bola), que si tendrá un momento no nulo, pero si finito, respecto del mismo punto; pero como el momento del peso (finito) actúa en un intervalo de tiempo nulo resulta que el impulso angular es idénticamente nulo y el momento angular se conserva.

[felmon38]

Re: velocidad de una masa puntual M que cuelga de un hilo


En dos posts anteriores he supuesto que la bola seguía una trayectoria rectilínea y otra circular. Pero a la vista del desarrollo de este hilo está claro que era una hipótesis muy simplista. Para analizar el comportamiento del hilo flexible y con coeficiente de rigidez K infinita, creo que se puede hacer viendo el comportamiento de un hilo de constante de rigidez K finita, ideal, sin coeficiente de amortiguamiento, es decir sin pérdidas, para después resolver las indeterminaciones, por un paso al límite, al tender a infinito K.

En la fig. izquierda se representa la trayectoria rectilínea (en rojo) de la bola hasta que llega al punto B donde empieza a tensarse la cuerda por alargamiento, que continúa hasta el punto D. La curva BD se puede plantear al aplicar el segundo postulado al punto material. Son dos ecuaciones diferenciales que se podrán resolver, al menos, numéricamente. Al llegar a D el hilo pierde la tensión y la bola describirá una parábola con velocidad inicial v_D . Por el teorema de la energía cinética la variación de la energía cinética de B a D es igual a la variación de energía potencial, ya que T no realiza trabajo neto ya que trabajo absorbido por el hilo de B a C es igual al cedido de C a D. Por hipótesis no existen pérdidas. Otra ecuación que usaré, para pasar al límite, es la fundamental de la dinámica en su forma integral:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (v_D - v_B)

La bola, al llegar a D, describirá una trayectoria parabólica, con velocidad inicial v_D , hasta que vuelva a cortar a la circunferencia de radio L repitiéndose el proceso. El análisis cuantitativo, aunque se pueda realizar, parece laborioso.

Ahora se pasarán estos resultados al límite al aumentar el valor de K hasta que su límite sea infinito ( o D tiende a B) y, naturalmente, en las ecuaciones, K tiene siempre un valor finito : Su límite si es infinito.

1º Ecuación de la energía cinética : lim (m g.BD - $\Delta$E_cin ) = 0. $\Rightarrow$. Lim $\Delta$E_cin =0

2º Ecuación del impulso : lim $\int$T. $\Delta$t+ 0 =lim m.(v_D - v_B) = lim m.((v_Dt - v_Bt) - (v_Dn - v_Bn))

Teniendo en cuenta que en el límite, la energía cinética no varía y que la aceleración, en el límite, es perpendicular a la componente de la velocidad en dirección a la tangente a la circunferencia en el punto B por ser el lim ( T + m.g) =limT, esta aceleración, en el límite, no variará la componente en dirección de la tg, y será lim (v_Dt - v_Bt) =0, y limv_Dn = -v_Bn

El límite del impulso de la tensión será 2.m. v_Bn .

Por lo tanto al llegar la bola a B, la trayectoria límite será la parábola BGH, cuyo cálculo ahora es sencillo, repitiéndose el proceso anterior a partir del punto H, aunque su trayectoria está indeterminada, análogamente a lo que ocurre con la tangente a una curva con un punto de retroceso : está indeterminada la tg en dicho punto, pero no sus límites a su derecha e izquierda.

La velocidad límite con que llega al suelo se obtiene por el teorema de la energía cinética, siendo el peso la única fuerza exterior que realiza trabajo

Saludos

[Breogan]

Re: velocidad de una masa puntual M que cuelga de un hilo

Hola:

Disculpa pero justo en este momento estoy bastante complicado y no tengo mucho tiempo para dedicarle al hilo.

[ATTACH=CONFIG]8124[/ATTACH]

En dos posts anteriores he supuesto que la bola seguía una trayectoria rectilínea y otra circular. Pero a la vista del desarrollo de este hilo está claro que era una hipótesis muy simplista. Para analizar el comportamiento del hilo flexible y con coeficiente de rigidez K infinita, creo que se puede hacer viendo el comportamiento de un hilo de constante de rigidez K finita, ideal, sin coeficiente de amortiguamiento, es decir sin pérdidas, para después resolver las indeterminaciones, por un paso al límite, al tender a infinito K.

En la fig. izquierda se representa la trayectoria rectilínea (en rojo) de la bola hasta que llega al punto B donde empieza a tensarse la cuerda por alargamiento, que continúa hasta el punto D. La curva BD se puede plantear al aplicar el segundo postulado al punto material. Son dos ecuaciones diferenciales que se podrán resolver numéricamente. Al llegar a D el hilo pierde la tensión y la bola describirá una parábola con velocidad inicial v_D . Por el teorema de la energía cinética la variación de la energía cinética de B a D es igual a la variación de energía potencial, ya que T no realiza trabajo neto ya que trabajo absorbido por el hilo de B a C es igual al cedido de C a D.
La bola seguirá con su movimiento parabólico hasta que vuelva a cortar a la circunferencia de radio L repitiéndose el proceso. El análisis cuantitativo, aunque se puede realizar, parece laborioso.

Ahora se pueden pasar estos resultados al límite. Al incrementar el valor de K el arco BD irá disminuyendo, hasta que en el límite,cuando K sea infinito, D se confunda con B (esto habría que comprobarlo numéricamente, aunque parece intuitivo).En la fig. de la derecha, la tensión se hace infinita, ya que hay discontinuidad de la v en ese instante, porque cambia bruscamente la velocidad de la bola a -v_B , por no variar la energía cinética en ese instante, ya que no hay variación de la energía potencial . La componente v_t no variará por ser la aceleración perpendicular a ella (si se desprecia el peso respecto de T). El impulso de la tensión será 2.m.v_B . Por lo tanto al llegar la bola a B, comenzará a describir una trayectoria parabólica, BGH, cuyo cálculo ahora es sencillo, repitiéndose el proceso anterior a partir del punto H. Naturalmente , en el límite, también la variación de la energía cinética es igual a la variación de la energía potecial, porque en el límite, la tensión no realiza trabajo
Saludos

Estoy casi en un todo de acuerdo con tu análisis, y en base a eso creo justo decir que en mis anteriores post me olvide considerar que la bola al estirarse el hilo sufre un rebote que lo aleja hacia el interior de la trayectoria circular. Pero creo que este análisis fino lo tendríamos que hacer después o en otro hilo, una vez hayamos acordado sobre la conservación de la energía al momento que el hilo ejerce una fuerza.

En este punto en particular estoy en desacuerdo con vos (lo marque en negritas azules en tu mensaje), yo creo que a priori no se puede decir que en ese instante se conserva la energía, pese a que no veamos trabajo de ninguna fuerza o variación de otro tipo de energía.
Como desarrollar las ecuaciones en dicho momento para el ejercicio en cuestion (podemos hacerlo mas adelante) se me dificulta en este momento, se me ocurrió otro ejemplo parecido pero mucho mas sencillo.

Supone dos masas iguales (para hacerlo mas sencillo) unidas por una cuerda ideal (inextensible, masa nula, igual que la cuerda del ejercicio) que no se encuentra totalmente estirada. Una de las masas tiene velocidad v1 y la otra esta quieta respecto de nuestro sistema de referencia. Podemos escribir la cantidad de momento lineal inicial como:

$\dst p_0 = m v_1$

prescindo del carácter vectorial porque todas las velocidades y fuerzas involucradas van a tener la misma recta de acción.
Inmediatamente después de que se estiro la cuerda una masa tiene velocidad v'1 y la otra v'2, el momento final es:

$\dst p_f = m v'_1 + m v'_2$

Como no hay fuerzas exteriores podemos decir que el momento lineal se conserva, por lo cual:

$\dst m v_1 = m v'_1 + m v'_2$

$$\dst v_1 = v'_1 + v'_2$$

Calculamos la energía cinética inicial:

$\dst E_{c0} = \frac 1 2 m v_1^2$

Reemplazando (1) en la anterior:

$\dst E_{c0} = \frac 1 2 m (v'_1 + v'_2)^2$

desarrollando el cuadrado y aplicando distributiva

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
pero sabemos que la energía cinética final es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

reemplazando esta en (2) queda:

$\dst \boxed {E_{c0} = E_{cf} + m v'_1 v'_2}$

De esta ultima ecuación (si no me equivoque en ningún paso, hay que revisarlo) se ve que en esta interacción la energía cinética no se conserva. Se pierde energía sin que se vea a donde va, la única explicación que se me ocurre rápidamente es que esto es consecuencia directa de las simplificaciones que se hacen al trabajar con una cuerda ideal.
Esto creo que también es aplicable al presente ejercicio.

Creo, ya no estoy tan seguro de nada.

s.e.u.o.

Suerte

PD: posiblemente me ausente varios días, si no contesto inmediatamente es por esta razón.

Suerte

[felmon38]

Re: velocidad de una masa puntual M que cuelga de un hilo

Hola Breogan:
Inicialmente en mi post aclaré que intentaría resolver el problema como límite, es decir, que no estudiaría el problema con K igual a infinito, sino que vería la tendencia. Es lo mismo que si se plantea el cálculo de la pendiente de una curva en el punto de retroceso : está indeterminada, pero se pueden calcular sus límites por la derecha e izquierda del punto. Para mí el problema planteado está indeterminado, aunque puedo calcular su límite.En este sentido, estoy de acuerdo contigo, en que el párrafo que escribí no es correcto

hay discontinuidad de la v en ese instante, porque cambia bruscamente la velocidad de la bola a -vB , por no variar la energía cinética

ya que a pesar que digo unas líneas antes "ahora se pueden pasar estos resultados al límite", sin embargo me pongo en el límite para hacer el análisis. Cambiaré el texto para eliminar esta contradicción.
En mi post quedan un poco en el aire, los límites tanto de T, infinito, como el de $\Delta$t, 0, en el que cambia la velocidad, ya que aunque parecen intuitivos, el que no se lo crea me haría resolver la ecuación diferencial para comprobarlo.No se me ha ocurrido otro método.

En el problema que propones, el término de la energía que no localizas, creo que es la energía elástica del hilo. Supongo que te saldrá al utilizar la ecuación de fuerzas, aplicada a cada bola sin necesidad de aplicar la constancia del momento lineal.Aquí te aparecería también el caso del hilo destensado, y la repetición del choque y además ahora se podrían comprobar los límites de T e $\Delta$t, sin necesidad de la chapuza que tuve que utilizar. Así que creo que es muy interesante el problema que propones, pero suponiendo que el hilo es rígido.

Saludos