1r ciclo fuerza de rozamiento en cilindro rodante

[Rodri]

Considerad este problema:


Un cilindro de masa M se deja rodar sin deslizar por un plano inclinado partiendo del reposo desde una altura inicial y= h . El plano forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal

¿Con qué velocidad llega el cilindro al final de la rampa y=0?
Para un instante cualquiera escribir la ecuación que relaciona la velocidad del cilindro con la la altura a la que se encuentra en ese instante (coordenada y).


Mi resolución:

Al conservarse la energía:




[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y de ahí se obtiene

$\frac{3}{4}{v}^{2} = g(h-y)$

, que es la ecuación pedida. En particular, para y=0, se tiene

$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$

Y aquí viene lo que quiero preguntaros:

Diferenciando la ecuación anterior otenemos

$\frac{3}{2}v dv = -g dy = v \sin(\alpha)dt \to \frac{dv}{dt}=\frac{2}{3}g\sin(\alpha)=a$

Es decir, el cilindro rueda con aceleración constante, como era de suponer. Aplicando la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta que en la dirección de la rampa solo existe la componente tangencial del peso y la fuerza de rozamiento opuesta a ella $F_{r}$:

$Mg\sin(\alpha)-F_{r}=Ma= M\frac{2}{3}g\sin(\alpha) \to F_{r}=\frac{1}{3}Mg\sin(\alpha)$

En definitiva, llego a la conclusión de que la fuerza de rozamiento (que produce la rodadura)solo depende de la masa del cilindro y de la inclinación del plano pero es independiente del material del plano, es decir de un posible "coeficiente" de rozamiento, que por tanto es un dato innecesario en el problema.

¿Es correcta mi conclusión?

Gracias

[oscarmuinhos]

Re: fuerza de rozamiento en cilindro rodante

Efectivamente así es.
Y es que se trata de una fuerza de rozamiento estático, pues no hay deslizamiento de una superficie sobre otra. Y tratándose de rozamiento estático conviene saber que lo que depende de la superficies en contacto y fuerza normal a las superficies de contacto (por lo tanto del peso) no es la fuerza de rozamiento, sino el valor máximo que puede tener esa fuerza de rozamiento estático.
Un ejemplo, supongamos un cuerpo de 10 kg de masa en reposo sobre una superficie horizontal con la que tiene un coeficiente de rozamiento estático de 0,6.
En este caso la Fuerza normal será igual al peso (98 N) y tendremos un valor máximo para esa fuerza de rozamiento de

${F_r)}_{max}= 0,6\times9,8 = 58,8 N$

Esto quiere decir que mientras no apliques una fuerza horizontal igual a 58,8 N no podrás empezar a mover estos 10 kg de masa. Dispones, por decirlo de alguna manera, de 58,8 N para impedir que el cuerpo se mueva, pero eso no quiere decir que los necesites todos: Si aplicas, por ejemplo, solo 10 N, la fuerza de rozamiento estático que impide el movimiento valdrá también 10 N; si aplicas una fuerza horizontal de 15 N, la fueerza de rozamiento estático valdrá 15 N y si aplicas 20 N, valdrá 20 N etc. Y solamente cuando llegues a los 58,8 N el cuerpo podrá empezar a moverse. Y a partir de aquí, el rozamiento que habrás de tener en cuenta será el dinámico (los coeficientes de rozamiento dinámicos son menores que los estático) y para esta fuerza de rozamiento dinámico sí que siempre podrás poner $F_r= \mu . N$.

En el caso del cilindro que baja rodando es la misma situación: necesitas una fuerza de rozamiento estático, para que el cilindro ruede. Sin esta fuerza de rozamiento estático no rodaría, sino que se deslizaría. Y podrás disponer de una fuerza de rozamiento para impedir el deslizamiento (y permitir la rodadura) de hasta ${F_r)}_{max}= \mu . N$. Si, por el valor de la pendiente o de la fuerza aplicada, necesitaras de una fuerza de rozamiento estático mayor, el cilindro deslizaría en lugar de rodar y la fuerza de rozamiento pasaría a ser una fuerza de rozamiento dinámico.
No sé si logré aclararte algo los conceptos estos o te los he liado todavía más?
Suerte

[Rodri]

Re: fuerza de rozamiento en cilindro rodante

Muchas gracias.

En efecto, aclaraste muy bien mis dudas.


Un saludo

[felmon38]

Re: fuerza de rozamiento en cilindro rodante

... y la fuerza de rozamiento opuesta a ella

Permíteme una ligerísima matización a por tu, por otra parte, impecable resolución :

La fuerza de rozamiento en el caso en el que no exista deslizamiento no necesariamente tiene que oponerse a "ella". Da la impresión, tal como lo pones, que es imperativo.

[Rodri]

Re: fuerza de rozamiento en cilindro rodante

Permíteme una ligerísima matización a por tu, por otra parte, impecable resolución :

La fuerza de rozamiento en el caso en el que no exista deslizamiento no necesariamente tiene que oponerse a "ella". Da la impresión, tal como lo pones, que es imperativo.

Lo que trato de expresar es solo eso mismo: que la fuerza de rozamiento se opone a la componente tangencial del peso en el problema descrito. Eso es una evidencia.

En cuanto a que eso sea algo "imperativo" y general,... pues hombre, pensándolo bien, yo diría que sí que lo es. Me explico:

En un problema de Dinámica, la fuerza de rozamiento siempre aparece cuando un cuerpo se mueve o cuando existe una fuerza externa que tiende a hacer que se mueva, aunque sea insuficiente para conseguirlo (por ser menor que la fuerza de rozamiento estática). En ambos casos la fuerza de rozamiento siempre tiene un sentido contrario al movimiento o a esa fuerza motriz insuficiente.
Si estoy equivocado en esto me gustaría que alguien me pusiera un contraejemplo.

[felmon38]

Re: fuerza de rozamiento en cilindro rodante

Rodri, por ejemplo la fuerza de rozamiento que la carretera o la vía de un tren, ejercen sobre el vehículo o la fuerza que el suelo ejerce sobre nosotros cuando andamos. Cuando no hay deslizamiento entre el punto de contacto y el sólido, la fuerza de rozamiento trata de impedir ese deslizamiento y su valor, magnitud y sentido, se obtienen de la resolución de las ecuaciones dinámicas, imponiendo la condición de que no hay deslizamiento. A priori, a veces es difícil intuir su sentido. Puede que sea evidente su sentido en el caso del plano inclinado, aunque yo no me fío.
Saludos