1r ciclo Banda elástica infinitamente estirable

[orlan2r]

[FONT=lucida grande]Imagine una banda elástica infinitamente estirable en donde uno de s[/FONT][FONT=lucida grande]us extremos esta atada a una pared vertical y el otro a un caballo, como se muestra en la figura. Sobre la banda elástica, muy cerca de la pared, hay un caracol. Si suponemos que la longitud inicial de la banda es L, y que el caballo y el caracol comienzan a moverse con rapideces constantes v y u (v > u) respectivamente, en cuánto tiempo el caracol alcanza al caballo?
[/FONT]

[Al2000]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

¿Y eso se supone que tiene una solución analítica? Yo lo intenté y llegué a una ecuación trascendente

[felmon38]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

A mí también me sale una ecuación transcendente

que, con datos, habrá que resolverla por métodos numéricos.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

A AI2000 y a felmo38:
Estaría bien que pusierais con que hipótesis y por cual camino abordásteis el enunciado para llegar al resultado que habéis obtenido. Yo no he encontrado todavía ninguna "razonable" con que abordar un enunciado así. Por ejemplo
a) ¿cual se ha de suponer que es la fuerza del caballo? ¿constante? Sería lo razonable. Y entonces, -razonando físicamente-, ¿no habría de acabar finalmente deteniéndose (después de un corto intervalo de oscilamiento)?
b) ¿como entender eso de que "comienzan a moverse con rapideces constantes"? ¿un defecto de enunciado?
b) ¿como es la fuerza de interacción del caracol con esa banda elástica? ¿Puede concluirse que no hay más fuerza de interacción que la normal del dato del enunciado de "comienzan a moverse con rapideces constantes" concluyendo de aquí que la velocidad del caracol es constante? Yo creo que no cabría otra posibilidad, pues de suponer que existe rozamiento o adherencia entre el caracol y la cinta elástica (imprescindible para el caracol poder avanzar sobre la cinta)..., ¿acaso no habría que suponer un caracol también elástico?

Gracias

[felmon38]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Oscar, yo creo que es un problema de cinemática. Voy a plantearlo sin intentar resolverlo. (He corregido mi post anterior porque estaba mal) Si x es la distancia del caracol a la pared, el alargamiento y la velocidad del punto de la banda sobre el que se apoya el caracol, es proporcional a su distancia a la pared y esta velocidad se añadirá a la que tiene el caracol sobre la banda para obtener la velocidad del caracol respecto de la pared:

$\dot{x}=x.\frac{v}{ L+v.t}$+ u

Resolviendo esta ecuación diferencial, si no queda mas remedio numéricamente con datos, se obtiene x=x(t), donde se corte esta curva con la recta x= L+v.t, el caracol habrá llegado a la cola del caballo.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

En este planteamiento tuyo se está suponiendo a) que el caracol se comporta como una partícula, b) que existe una fuerza de rozamiento (o de adherencia) entre la partícula-caracol y la banda elástica capaz de arrastrar a la partícula-caracol a medida que la banda se estira y c) que el "caballo" es capaz de mantener su velocidad inicial constante. ¿no es así?.

[felmon38]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Si, si.

[Al2000]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Mi planteamiento es que, tomando caballo y caracol como puntos, la velocidad con la cual se mueve cada punto de la banda elástica es proporcional a su distancia a la pared:

$$v_b(x) = \frac v L x$$

y la velocidad del caracol es la suma se su velocidad respecto a la banda mas la velocidad de cada punto de la banda:

$$u_s(x) = u + \frac v L x$$

De esta manera, y la posición del caracol en el tiempo sería

$$u_s = \frac {dx_s}{dt} = u + \frac v L x \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{x}\!\! \frac {dx_s}{u + \frac v L x} = \int_{0}^{t}\!\! dt$$

$$\Rightarrow \quad x_s = \frac {L u} v \left(e^{\frac v L t} - 1\right)$$

mientras que la posición del caballo es

$$x_c = L + v t$$

La solución para que $x_s = x_c$ sólo puede hacerse por métodos numéricos, hasta donde yo se.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO: Lo que puse arriba es lo que esbocé anoche en un papel y me doy cuenta, viendo el mensaje de felmon38 que no tomé en cuenta el estiramiento de la banda en la ecuación (1), que donde dice $L$ debería decir $L + v t$.

[visitante20160513]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

En el instante t el caballo se ha desplazado vt, el caracol en su desplazamiento sobre la banda habrá recorrido la distancia ut, pero además la banda se habrá estirado (en el punto donde se encuentra el caracol) una longitud igual a:

$s=\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

Por lo tanto la distancia entre el caballo y el caracol vale ahora:

$d=L+vt-ut-s=L+vt-ut-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

Solo es necesario ahora considerar el instante en que dicha distancia se anula lo que supone tan solo un sencillo problema, resolver una ecuación de segundo grado:

$0=L^2+L(v-2u)t-uvt^2$

tomando la solución positiva, claro está.

Salu2

- - - Actualizado - - -

Creo que el truco debe estar en la forma en que se describe la elongación de la banda, en mi caso he supuesto que todos los puntos sufren la misma elongación relativa, opción que creo que es correcta, aunque no acabo de ver porqué sale un resultado distinto.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Hola Jabato

En el instante t el caballo se ha desplazado vt, el caracol en su desplazamiento sobre la banda habrá recorrido la distancia ut, pero además la banda se habrá estirado (en el punto donde se encuentra el caracol) una longitud igual a:

$s=\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

Por lo tanto la distancia entre el caballo y el caracol vale ahora:

$d=L+vt-ut-s=L+vt-ut-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

Solo es necesario ahora considerar el instante en que dicha distancia se anula

Salu2

Independientemente de otras consideraciones creo que el razonamiento que haces para el alargamiento de la banda elástica no es coherente con lo que luego escribes: con tu razonamiento cinético creo que el alargamiento por unidad de longitud no puede ser

$s=\displaystyle\frac{L+vt}{L}$ sino, similar a lo que proponen AI2000 y felmon38 para la velocidad, $s=\displaystyle\frac{vt}{L +vt}$

No crees?

[visitante20160513]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

En el instante $t$ la banda se ha estirado desde $L$ hasta $L+vt$. Eso creo que es indiscutible. Si admitimos que el punto de la banda al que llega el caracol en el instante $t$ sufre el mismo estiramiento relativo entonces este punto sufre un desplazamiento añadido de valor:

$s=\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

Para mi este razonamiento no tiene errores, aunque por supuesto me puedo equivocar, o quizás diría mejor que puede haber varias interpretaciones distintas de como se estira la banda. Lo que estimo invariante es la relación entre la longitud antes de estirar y la que hay después de estirar, relación que entiendo debe mantenerse constante en todos los puntos de la banda. ¿Donde ves el error? Aunque después de analizarlo más despacio creo que $s$ representa el desplazamiento total recorrido por el caracol (incluido el estiramiento), entonces la ecuación que debe plantearse sería esta otra:

[FONT=Verdana]$d=L+vt-s=L+vt-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$[/FONT]

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Hola Jabato
No sé si he entendido bien el razonamiento en el que coinciden AI2000 y felmon38 y no sé tampoco si estoy entendiendo bien el tuyo...
Yo en tu razonamiento veo una pega en que no estás considerando que el estiramiento es continuo.....
Tu razonas que al cabo de un tiempo $t$ la banda elástica mide

$L+vt$

y que, por lo tanto, cada unidad de medida (de L) pasa a medir

$\dst \frac{L + v.t}{L}$

por lo cual, al recorrido $u.t$ del caracol le corresponderá una nueva medida

$\dst \frac{L + v.t}{L}.u.t$

Te estoy entendiendo bien?

Consideremos ahora ese tiempo $t$ dividido en dos: desde $t=0$ hasta $t_1$ y desde $t_1$ hasta $t_2= t<br />$

Desde $t=0$ hasta $t_1$, tu razonamiento conduce a que el recorrido del caracol será:

$\dst s_1 = \frac{L + v.t_1}{L}.u.t_1$ ¿No es así?

Y desde $t_1$ hasta $t_2 = t$, puesto que la banda elástica mide ahora $L + v.t_1$, se tendría, con el mismo razonamiento,

$\dst s_2 = \frac{L + v.(t -t_1)}{L + v.t_1}.u.(t -t_1)$

Y ahora sumando $s_1$ y $s_2$, se debería haber llegado a tu expresión inicial y está claro que no se llega.

Creo que lo razono bien, pero, bueno, tampoco estoy muy seguro

[visitante20160513]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Bueno, no, la primera parte si, pero creo que debes considerar siempre tiempos y desplazamientos desde el origen, no estoy seguro de que lo que haces sea correcto. Voy a repetir mi razonamiento tratando de justificar todos los pasos, ya que parece que mi exposición está algo liosa debido a un error que se me coló.

1º).- Consideremos que el punto fijo de la banda es el extremo derecho, el punto en el que inicialmente está el caracol.

2º).- Admito que al elongarse la banda todos sus puntos modifican su distancia al punto fijo en la misma proporción.

3º).- Con estas dos hipótesis de partida el cálculo es muy sencillo, la elongación relativa de todos los puntos de la banda vale:

$r=\displaystyle\frac{L+vt}{L}$

ya que esta es la elongación que sufre el extremo de la banda sujeto al caballo.

4º).- En estas condiciones la posición del caballo vale $L+vt$

5º).- Y la posición del caracol tiene que venir dada por su recorrido afectado por la elongación de la banda, es decir $rut$

6º).- La distancia entre el caballo y el caracol viene dada por la diferencia entre ambas posiciones, que vale en cada instante:

$d=L+vt-rut=L+vt-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

7º).- Solo queda encontrar ahora el valor positivo de $t$ que la anule, suponiendo que exista.

Salu2

- - - Actualizado - - -

La pregunta, creo yo, es ¿de cuantas formas distintas puede elongarse la banda? Cada una de las formas nos conducirá a una solución distinta, y como el enunciado no establece nada al respecto el problema podría tener más de una solución. Si suponemos que la banda es homogénea, es decir presenta las mismas propiedades en todos sus puntos, lo que parece que es más lógico, la forma más razonable de estirarse es la que yo propuse, puesto que todos los puntos de la banda de deformarán en idéntica forma, pero no es la única desde luego, pueden diseñarse otras formas más imaginativas.

Salu2

[Jose D. Escobedo]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

Bueno, no, la primera parte si, pero creo que debes considerar siempre tiempos y desplazamientos desde el origen, no estoy seguro de que lo que haces sea correcto. Voy a repetir mi razonamiento tratando de justificar todos los pasos, ya que parece que mi exposición está algo liosa debido a un error que se me coló.

1º).- Consideremos que el punto fijo de la banda es el extremo derecho, el punto en el que inicialmente está el caracol.

2º).- Admito que al elongarse la banda todos sus puntos modifican su distancia al punto fijo en la misma proporción.

3º).- Con estas dos hipótesis de partida el cálculo es muy sencillo, la elongación relativa de todos los puntos de la banda vale:

$r=\displaystyle\frac{L+vt}{L}$

ya que esta es la elongación que sufre el extremo de la banda sujeto al caballo.

4º).- En estas condiciones la posición del caballo vale $L+vt$

5º).- Y la posición del caracol tiene que venir dada por su recorrido afectado por la elongación de la banda, es decir $rut$

6º).- La distancia entre el caballo y el caracol viene dada por la diferencia entre ambas posiciones, que vale en cada instante:

$d=L+vt-rut=L+vt-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut$

7º).- Solo queda encontrar ahora el valor positivo de $t$ que la anule, suponiendo que exista.

Salu2

- - - Actualizado - - -

La pregunta, creo yo, es ¿de cuantas formas distintas puede elongarse la banda? Cada una de las formas nos conducirá a una solución distinta, y como el enunciado no establece nada al respecto el problema podría tener más de una solución. Si suponemos que la banda es homogénea, es decir presenta las mismas propiedades en todos sus puntos, lo que parece que es más lógico, la forma más razonable de estirarse es la que yo propuse, puesto que todos los puntos de la banda de deformarán en idéntica forma, pero no es la única desde luego, pueden diseñarse otras formas más imaginativas.

Salu2

Me parecen buenos razonamientos, pero en el paso 5 la elongacion relativa del paso 3 es deducida sobre espacio $L+ vt$ del caballo, porque tiene que afectar al espacio del caracol multiplicando a $ut$? Si este paso estuviera equivocado, el paso 6 queda invalidado consecuentemente, pero si por el contrario es correcto, habra que analizar mas detalladamente lo que $rut$ quiere decir fisicamente, porque claramente no representa una suma de velocidades.

La idea de idea de Al y felmon, obedece a velocidad relativa, la cual parece ir por buen camino, puesto que el caracol viaja sobre otro sistema con velocidad variable hasta que alcanza al caballo. Ademas la proporcion parece describir adecuadamente la velocidad sobre la banda "infinitamente" elastica. Otro punto a favor de esta idea, es que al resolver la ecuacion diferencial con condiciones iniciales $u=0$ y $t=0$, cumple automaticamente la otra condicion final de la velocidad final del caracol cuando este alcanza al caballo.

Si estas dos opciones cumplen con las condicines iniciales y finales, habra que revizar por que el problema no tiene solucion unica o porque tiene tal vez dos o mas soluciones.

Se me olvidaba, como a mi me gusta calcular las cosas me resulto: $t=\dst \frac{L}{V }(e^{v/u}-1)$ a una distancia igual a $D=L e^{v/u}$, desde el punto de vista de Al y felmon.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Banda elástica infinitamente estirable

A Jabato:

Esta ecuación tuya

$d=L+vt-rut=L+vt-\displaystyle\frac{L+vt}{L}ut=0$

tiene como soluciones:$\dst t_1 = - \frac{L}{v }$, que habrá que desechar por negativa y a $t_2 = \dst \frac{L}{u}$ que viene a indicar que el caracol no tiene porque preocuparse del alargamiento de la banda elástica, porque este alargamiento también lo arrastra a él.

En cuanto al razonamiento que yo hacía sobre tu método

Consideremos ahora ese tiempo $t$ dividido en dos: desde $t=0$ hasta $t_1$ y desde $t_1$ hasta $t_2= t<br />$
Desde $t=0$ hasta $t_1$, tu razonamiento conduce a que el recorrido del caracol será:

$\dst s_1 = \frac{L + v.t_1}{L}.u.t_1$ ¿No es así?

Y desde $t_1$ hasta $t_2 = t$, puesto que la banda elástica mide ahora $L + v.t_1$, se tendría, con el mismo razonamiento,

$\dst s_2 = \frac{L + v.(t -t_1)}{L + v.t_1}.u.(t -t_1)=$

Y ahora sumando $s_1$ y $s_2$, se debería haber llegado a tu expresión inicial y está claro que no se llega.

Creo que lo razono bien, pero, bueno, tampoco estoy muy seguro

encuentro ahora después de reflexionar sobre la solución de tu ecuación que, efectivamente está mal, porque la velocidad del caracol en el instante $t_1$ ya no es u sino que será:

$\dst u_1 = \frac{L + vt_1}{L}.u.t_1.\frac{1}{t_1}$

Cuando esta velocidad se pone en la ecuación de $s_2$

$\dst s_2 = \frac{L + v.(t -t_1)}{L + v.t_1}.\frac{L + v.t_1}{L}.u.t_1.\frac{1}{t_1 }(t -t_1)= \frac{L + v.(t -t_1)}{L }.u.(t -t_1)$

la suma $\dst s_1 + s_2$ lleva a la misma ecuación inicial para la posición del caracol.

Lo que ahora no tengo claro es por que el método de AI2000 y felmon38 (y que parece coincidir con el que acaba de poner Jose Escobedo) no conduce al mismo resultado. ¿que hipótesis diferentes hay en uno y otro para no coincidir?