Otras carreras problema estatica de una escalera

[lolovargas]

Hola, tengo un problema de estática de solido rígido y no consigo resolverlo. Espero que alguien me pueda ayudar. El problema es el siguiente.
Una escalera está apoyada sobre una pared lisa (sin rozamiento) y un suelo rugoso con coeficiente de rozamiento "mu". La longitud de la escalera es L y su masa M, e inicialmente forma un ángulo conocido (alfa) con la pared. La pregunta es: ¿Qué trabajo hay que realizar para llevar la escalera hasta la posición vertical?
Se entiende que se empuja en la base de la escalera aplicando una fuerza paralela al suelo.
Muchas gracias.

[oscarmuinhos]

Re: problema estatica de una escalera

Empieza dibujando el diagrama de fuerzas sobre la escalera cuando aplicas esa fuerza paralela al suelo:



En el suelo tienes la reacción sobre el suelo descompuesta en su componente normal y su componente tangencial que es la fuerza de rozamiento $(F_r = \mu .N)$ y tienes la fuerza que tú aplicas para mover la escalera; en el centro de la escalera tienes el peso y en la pared, como es lisa, solo tienes la componente normal de la reacción.

Ahora puedes seguir dos caminos:
a) calcular la fuerza aplicada mediante las ecuaciones de la dinámica (y empleando también la ecuación de los momentos) y a continuación calcular el trabajo de esta fuerza F
b) o, como solo te piden el trabajo, aplicar la conservación de la energía: el trabajo que realiza la fuerza F se invierte en trabajo de rozamiento de la fuerza Fr y en aumentar la energía potencial de la escalera (calculada por el cambio de altura del centro de masas). La fuerza Normal en el suelo y la fuerza de reacción en la pared no realizan trabajo. Solo tienes, pues, que calcular la fuerza de rozamiento, calculando previamente la fuerza normal N que (no habiendo aceleraciones) será igual al peso de la escalera.

Espero que haya ayudado
Suerte

[lolovargas]

Re: problema estatica de una escalera

Muchas gracias por tu respuesta Oscar, pero aún me queda una duda.
Yo lo planteo por energía tal y como sugieres. La energía potencial en la figura es (L/2) cos(alfa) y cuando esté en posición vertical será L/2, siendo L la longitud de la escalera, así que el incremento de energía potencial es (L/2)(1-cos(alfa)).
Ahora tengo que calcular el trabajo necesario para vencer la fuerza de rozamiento. Entiendo que tengo que aplicar una fuerza F (tal y como muestras en el dibujo) que en todo instante es igual a la de rozamiento y hacer la integral de Fdx desde x =0 (posición con el pie pegado a la pared) hasta x=x0, que sería x0=Lsen(alfa).
Mi verdadero problema es que no sé qué fuerza F tengo que usar. No sé si es la misma fuerza de rozamiento que se deduce cuando se considera el problema de estática o si al moverse la escalera esta fuerza cambia. Muchas gracias de nuevo y saludos.

- - - Actualizado - - -

Perdón, ¡vaya error! el incremento d energía potencial es Mg(L/2)(1-cos(alfa)) siendo M la masa de la escalera...

[felmon38]

Re: problema estatica de una escalera

Tienes que calcular la fuerza variable para que esté en equilibrio en todas las posiciones. Con un incremento diferencial de esta fuerza, la escalera se empezaría a mover. Esta fuerza la puedes calcular aplicando, como pensabas, el teorema de la energía pero en un desplazamiento diferencial (no habrá variación de energía cinética). También la puedes calcular imponiendo las condiciones de equilibrio con el valor máximo de la fuerza de rozamiento. Como la fuerza es variable, si aplicas el teorema de la energía entre las posiciones inicial y final, obtienes el trabajo que realiza la fuerza variable entre los dos extremos, pero no puedes despejar la fuerza porque es variable.

[lolovargas]

Re: problema estatica de una escalera

A ver, si lo entiendo bien, lo que me dices es que en cada posición de la escalera, el ángulo va variando entre el ángulo inicial alfa0 y cero. Para cada valor de alfa entre estos dos valores inicial y final tengo que resolver el problema como si fuera de estática. Según la figura: Fr=R Mg=N y momentos respecto del pie:
RLcos(alfa)=Mg(L/2)sen(alfa)

Resuelvo y, ¿Esta es la Fr que tengo que poner en la integral?
Muchas gracias!

[felmon38]

Re: problema estatica de una escalera

Tienes que añadir la fuerza F, que depende del ángulo, y el valor F_r, como dije, es el máximo para que pueda empezar a deslizar:N.$\mu$. Planteas las ecuaciones y F, función del ángulo, es la que te piden.
De esta manera lo puedes resolver como un problema de estática, pero también lo puedes resolver por el teorema de la energía, tal como pensabas, pero siempre añadiendo F al sistema de fuerzas.

[oscarmuinhos]

Re: problema estatica de una escalera

Muchas gracias por tu respuesta Oscar, pero aún me queda una duda.
Mi verdadero problema es que no sé qué fuerza F tengo que usar. No sé si es la misma fuerza de rozamiento que se deduce cuando se considera el problema de estática o si al moverse la escalera esta fuerza cambia. Muchas gracias de nuevo y saludos.

- - - Actualizado - - -

Perdón, ¡vaya error! el incremento d energía potencial es$Mg(L/2)(1-cos(alfa)$) siendo M la masa de la escalera...

Tarde algún tiempo en andar por aquí y puede que lo hayas ya resuelto (incluso por caminos diferentes como el que te propuso felmon38). De todas formas, trataré de acabar mi planteamiento para resolver esta duda que dices
Lo que pide el enunciado es poner la escalera vertical. Y, por lo tanto, la velocidad del centro de gravedad al llegar a la vertical será cero. El trabajo que se tiene, pues, que realizar será el que se necesita para incrementar la energía potencial de la escalera y en compensar el trabajo consumido por la fuerza de rozamiento. Y este trabajo será

$\dst {W}_{roz}= {Froz}.{s}$ (Omito ya expresar el trabajo como $\int {F}_{roz }.dr$ porque, en primer lugar, fuerza de rozamiento y desplazamiento tienen la misma dirección y la fuera de rozamiento es constante, saliendo fuera de la integral)

El espacio recorrido por la fuerza de rozamiento es como tu escribes $L/s. sen \alpha$
Ahora solo tienes que hacer que ${F}_{roz}= \mu . N$ y $N = M.g$ con lo que el trabajo de rozamiento será:

$\dst {W}_{roz}= \mu . M.g.\frac{L}{2 }.sen \alpha$ (1)

Y el trabajo necesario para poner la escalera vertical:

$\dst W = \mu . M.g.\frac{L}{2 }.sen \alpha + M.g.\frac{L}{2}\left( 1 - cos \alpha\right)$ (2)

Resuelto esto, se aborda más fácilmente tu duda. Puedes aplicar la fuerza que quieras, el trabajo que necesita hacer esa fuerza $\vec{F}$ que apliques será, en todo caso, el que obtuviste en la ecuación siempre que supongas que cuando la escalera llega a ponerse en vertical, la velocidad de su centro de masas es nula:
-la fuerza mínima que necesitarás es por supuesto igual a la fuerza de rozamiento, de su misma dirección y sentido contrario. Pero si aplicas una fuerza con otra dirección, al descomponer esta fuerza en sus componentes ortogonales, solo realizará trabajo la componente en la dirección del desplazamiento y, solo se necesita que esta componente contrarreste exactamente al peso.
-La fuerza aplicada F incluso puede cambiar con el tiempo (o con la posición). El trabajo que necesita hacer esta fuerza será el que obtienes de la ecuación (2).

Esta era tú duda? Está resuelta?