Péndulo que oscila

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

Perfecto. Veamos si lo he entendido: tenemos un péndulo que oscila. En cualquier caso, simple o armónico simple, las dos componentes de la aceleración, la aceleración centrípeta y tangencial, tienen sus fórmulas, que se obtienen a partir de la 2ª ley de Newton. Para el caso de la aceleración centrípeta también podemos emplear el principio de conservación de la energía.

Para equiparar el movimiento de un péndulo simple con un movimiento armónico simple, la amplitud del vaivén debe ser pequeña, y así encajar en la descripción de un oscilador armónico.

Y eso es todo. En realidad debemos ser muy restrictivos con el movimiento del péndulo si queremos aproximarlo a un movimiento armónico simple.

¿Correcto?. He resumido mucho, pero he entendido todo lo que dice el hilo, y he preferido intentar abarcarlo todo de una forma sencilla.

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

En el movimiento armónico simple (corrígeme si me equivoco) es aceptablemente correcto una expresión de la forma $x(t)=A\sin(\omega t)$, con $\omega^2=g/l$. Para $y(t)$, sería una constante.

Lo que dices ya te lo había contado en el post #11.

De todos modos, un péndulo simple describe un arco de circunferencia y ese enfoque se correspondería con un movimiento rectilíneo, que sólo será correcto si se maneja una aproximación muuuuuy extrema al movimiento real de un péndulo. No hay más que construir uno y ponerlo a oscilar: ¿hasta qué punto estamos dispuestos a ignorar el ascenso y descenso de la masa? Como te he contado en el post #13, depende del grado de detalle que desees manejar.

De todos modos, la conservación de la energía en el péndulo, $\frac{1}{2}v^2+gy=cte$, se cumple en todos los casos, sea cual sea su amplitud de oscilación. Fíjate que "meter con calzador" y=cte implica renunciar a la validez de esa expresión!

¿Cómo relaciono esto con la ecuación $\dst \frac{\dd^2\theta}{\dd t^2}=-\omega^2\theta$ para un movimiento armónico simple?. La derivación respecto a theta no la entiendo.

Antes de nada: échale un vistazo a la demostración clásica para el movimiento del péndulo (por ejemplo, http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9...todo_de_Newton).

Respecto de la derivación de $\theta$ respecto del tiempo: recuerda lo que has estudiado de los movimientos circulares (y un péndulo simple es una partícula en movimiento circular), la primera derivada del ángulo, $\dst\frac{\dd\theta}{\dd t}$, es la velocidad angular (no la confundas con la $\omega=\sqrt{g/l}$, que sería la pulsación del movimiento armónico que sigue $\theta$); la segunda derivada, $\dst\frac{\dd^2\theta}{\dd t^2}$ es la aceleración angular.

Sobre tu pregunta, del mismo modo que si vemos escrito $\dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=-\omega^2 x$ podemos afirmar que $x$ describe un movimiento armónico simple, sucederá lo mismo si nos ponen $\dst \frac{\dd^2 \psi}{\dd t^2}=-\omega^2 \psi$, sea lo que sea $\psi$ (podría ser el porcentaje de personas que les gustan los programas del corazón, o la intensidad de una corriente, o el ángulo que una cuerda forma con la vertical): podemos afirmar que $\psi$ varía armónicamente con el tiempo, es decir, que $\psi(t)=\psi_{max}\sin(\omega t)$* (donde he llamado $\psi_{max}$ a la amplitud de la oscilación de esa magnitud).

*Por supuesto si elegimos el t=0 adecuadamente como para que la fase inicial sea nula.

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

En el movimiento armónico simple (corrígeme si me equivoco) es aceptablemente correcto una expresión de la forma $x(t)=A\sin(\omega t)$, con $\omega^2=g/l$. Para $y(t)$, sería una constante.

¿Cómo relaciono esto con la ecuación $\dst \frac{\dd^2\theta}{\dd t^2}=-\omega^2\theta$ para un movimiento armónico simple?. La derivación respecto a theta no la entiendo.

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

¿Qué relación hay entre $h$ e $y$?.

Ciertamente pueden ser la misma cosa (o diferenciarse en una constante). Lo he escrito así para que se vea claramente el uso del famoso "mgh".

¿Por qué el caso armónico necesita amplitudes angulares que tiendan a 0?.

La ecuación de movimiento del péndulo simple es, en realidad, $\dst \frac{\dd^2 \theta}{\dd t^2}=-\frac{g}{l}\sin\theta$, con lo que no es un oscilador armónico (compárala con la típica $\dst\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= -\omega^2 x$). Para que se pueda asimilar con un oscilador armónico debería ser $\dst \frac{\dd^2 \theta}{\dd t^2}=-\omega^2\theta$, con $\dst\frac{2\pi}{T}=\omega=\sqrt{\frac g l}$. Es decir, debería poder aceptarse que $\sin\theta\approx\theta$. Ello sólo es posible si $\theta\to 0$, pues $\dst\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$. Como en el primer cuadrante $f(\theta)=\theta-\sin\theta$ crece con $\theta$, el límite de la aproximación lo marca el mayor valor del ángulo que pueda describir el péndulo, esto es, la amplitud angular de la oscilación.

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

y es por ello que el mejor camino para ella es el que te señalé: $\dst a_c=\frac{v^2}{l}$ y $\dst \frac{1}{2}v^2+gh=cte$.

¿Qué relación hay entre $h$ e $y$?.

En realidad, el caso armónico es un caso límite para amplitudes angulares que tiendan a 0. Es por ello que se maneja como aproximación para casos de pequeña amplitud, donde la calidad de dicha aproximación está determinada por hasta qué punto se puede hacer la asimilación $\sin\theta\approx\theta$.

¿Por qué el caso armónico necesita amplitudes angulares que tiendan a 0?.

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

Quizá he sido demasiado sucinto en mi mensaje anterior. La idea de manejar los vectores considerando sólo su módulo sólo es correcta si tienes muy clara cuál es su dirección. Por ejemplo, en un péndulo es sencillo manejar la velocidad sólo pensando en su módulo, gracias a la tangencia entre velocidad y trayectoria. Pero no sucede lo mismo con la aceleración.

Cuando hablamos de aceleración tangencial y centrípeta estamos hablando de dos componentes del vector aceleración.

La expresión $\dst a_t=\left\vert{}\dst \frac{\dd v}{\dd t}\right\vert{}$ es general. Ahora bien, aunque válido, no es el camino más adecuado para el péndulo. Es infinitamente más simple manejar la 2ª ley de Newton, pues nos lleva inmediatamente a que en un péndulo cuyo hilo forma un ángulo $\theta$ con la vertical se cumple que $\dst ma_c=T-mg\cos\theta$ y $\dst a_t=g|\sin\theta|$. Ahora bien, la primera tiene el problema de que a priori desconocemos el valor de la tensión, T, y es por ello que el mejor camino para ella es el que te señalé: $\dst a_c=\frac{v^2}{l}$ y $\dst \frac{1}{2}v^2+gh=cte$.

Es importante tener presente que todas esas expresiones son válidas en *todos* los movimientos del péndulo en un plano vertical, sean armónicos o no. En realidad, el caso armónico es un caso límite para amplitudes angulares que tiendan a 0. Es por ello que se maneja como aproximación para casos de pequeña amplitud, donde la calidad de dicha aproximación está determinada por hasta qué punto se puede hacer la asimilación $\sin\theta\approx\theta$.

Con respecto a si $y$ sería una constante en dicha aproximación, podemos verlo del siguiente modo: el péndulo describe un arco de circunferencia cuyo centro está en el punto de suspensión. Si situamos el origen de coordenadas en el punto más bajo del péndulo, dicho centro estará en $(0,l)$ y la ecuación de la trayectoria será $x^2+(l-y)^2=l^2$. Si metemos en danza la coordenada angular $\theta$, las coordenadas cartesianas se relacionará con ésta a través de $x=l\sin\theta$, $y=l-l\cos\theta$.

Para pasar al caso del oscilador armónico podemos manejar los desarrollos en serie de las funciones seno y coseno: $\dst\sin\theta=\theta-\frac{1}{6}\theta^3+...$, $\dst\cos\theta=1-\frac{1}{2}\theta^2+...$. El que podamos hacer la aproximación $\sin\theta\approx\theta$ implica que en estos desarrollos no se va más allá del grado dos en el polinomio correspondiente. Por tanto, si nos conformamos con truncar en el grado 1 tienes $\sin\theta\approx\theta$ y también $\cos\theta\approx 1$, y esto último equivale a decir $y\approx 0$.

Por supuesto, podemos afinar un poquito más y admitir el desarrollo hasta el orden 2, que no cambia nada en el seno, pero sí en el coseno, de manera que $\cos\theta\approx 1-\frac{1}{2}\theta^2$, de manera que $y\approx \frac{1}{2}l\theta^2$.

Ahora bien, estamos matando moscas a cañonazos: lo más adecuado es manejar las ecuaciones generales para el péndulo e introducir unicamente la aproximación armónica para evaluar el período de la oscilación y poco más. Por supuesto, tampoco quiero generalizar, pues habrá algún ejercicio en que esto último pueda atajar algún cálculo (por ejemplo para afirmar que en dicha aproximación la velocidad del péndulo a su paso por el punto más bajo es $A\omega$, donde A es la amplitud de la oscilación -que en rigor se toma a lo largo del arco-).

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

No funciona el enlace

Ya lo he solucionado, pero no he sabido intercalarlo en el texto. Lo preguntaré en otro hilo.

En realidad la única válida es la primera, pues son magnitudes vectoriales.

Pero, por ejemplo, la expresión $a_t=\left\vert{}\dst \frac{\dd v}{\dd t}\right\vert{}$ que escribiste, ¿cómo encaja en el caso de un péndulo?; ¿no estamos hablando sólo del módulo?.

Para x es aceptablemente correcto (aunque también habría bastante que decir) una expresión de la forma $x=A\sin(\omega t)$, con $\omega^2 = g/l$. Para $y$, en el mismo orden de aproximación, sería $y=cte$.

¿$y$ sería una constante?.

La forma más sencilla de encontrar la aceleración centrípeta es usar $a_c=v^2/l$, donde la velocidad se obtiene por conservación de la energía $\frac{1}{2}v^2+gh=cte$

¿No estamos hablando de un escalar también en esta ocasión?.

¡Un saludo!

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

Una describiendo el movimiento que hace el péndulo:

[ATTACH=CONFIG]8205[/ATTACH]

No funciona el enlace

Luego hay dos formas de enfocar la posición, la velocidad, y la aceleración instantánea de la partícula: podemos fijarnos en ellas como vectores, con una dirección, un sentido y un módulo; o podemos enfocarnos exclusívamente en el módulo.

En realidad la única válida es la primera, pues son magnitudes vectoriales.

Para lo primero, si queremos obtener, por ejemplo, el vector $\vec v$, entonces empleamos:

$\vec v=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x\hat{\imath}+\Delta y\hat{\jmath}}{\Delta t}=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\left(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}\right)\hat{\imath}+\lim_{\Delta t\to 0}\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)\hat{\jmath}$

Eso es, en realidad, la definición de velocidad en componentes cartesianas. No es algo específico del péndulo.

Tanto $x(t)$ como $y(t)$ son la función coseno: $y(t)=x(t)=\cos(t)$, y derivando obtenemos en cada momento las coordenadas de $\vec v$

Esto no es correcto, ni siquiera en la aproximación de pequeñas oscilaciones. Para x es aceptablemente correcto (aunque también habría bastante que decir) una expresión de la forma $x=A\sin(\omega t)$, con $\omega^2 = g/l$. Para $y$, en el mismo orden de aproximación, sería $y=cte$.

Lo malo de proceder de esta manera es que no se puede dar cuenta de la aceleración centrípeta, que quedaría fuera del alcance de esta aproximación.

Por otra parte la aceleración tiene una componente tangencial y otra centrípeta. Para conocer estas componentes trabajo con vectores velocidad primero para conocer $\Delta \vec v$ en cada intervalo de tiempo,y así conoceré el vector aceleración resultante, y conociendo el vector de la aceleración tangencial, puedo obtener el de la aceleración centrípeta.

La forma más sencilla de encontrar la aceleración centrípeta es usar $a_c=v^2/l$, donde la velocidad se obtiene por conservación de la energía $\frac{1}{2}v^2+gh=cte$

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

Bien. A ver si lo he entendido todo respecto al movimiento armónico simple de un péndulo con poca oscilación: Existen dos formas de representarlo en coordenadas cartesianas. Una describiendo el movimiento que hace el péndulo, y otra describiendo el movimiento en función del tiempo:



Corregidme si me equivoco. Luego hay dos formas de enfocar la posición, la velocidad, y la aceleración instantánea de la partícula: podemos fijarnos en ellas como vectores, con una dirección, un sentido y un módulo; o podemos enfocarnos exclusívamente en el módulo. Para lo primero, si queremos obtener, por ejemplo, el vector $\vec v$, entonces empleamos:

$\vec v=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x\hat{\imath}+\Delta y\hat{\jmath}}{\Delta t}=\dst \lim_{\Delta t\to 0}\left(\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta t}\right)\hat{\imath}+\lim_{\Delta t\to 0}\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta t}\right)\hat{\jmath}$

Tanto $x(t)$ como $y(t)$ son la función coseno: $y(t)=x(t)=\cos(t)$, y derivando obtenemos en cada momento las coordenadas de $\vec v$

Y si quiero centrarme en el módulo de la velocidad en cada instante, tengo el siguiente método:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . La posición respecto al tiempo es $x(t)=\cos (t)$, y el valor absoluto me da el módulo en cada instante.

Por otra parte la aceleración tiene una componente tangencial y otra centrípeta. Para conocer estas componentes trabajo con vectores velocidad primero para conocer $\Delta \vec v$ en cada intervalo de tiempo,y así conoceré el vector aceleración resultante, y conociendo el vector de la aceleración tangencial, puedo obtener el de la aceleración centrípeta.

¿He razonado bien?. Un saludo.

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

Cuando escribes $\dst a_t=\left|\frac{\dd v}{\dd t}\right|$, $a_t$ es la notación para el módulo de la aceleración tangencial, ¿no?. Es decir, el subíndice $t$ hace referencia a la palabra "tangencial" en $a_t$; y en $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$, $t$ hace referencia al tiempo.

Sí, a todo lo que dices.

Por si acaso, aclararé que las barras verticales no las uso con el significado de "módulo", sino de "valor absoluto"

Y cuando escribes $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$, quieres decir $\dst \frac{\dd v}{\dd t}=\dst \frac{\dd v_x}{\dd t}\hat{\imath}+\dst \frac{\dd v_y}{\dd t}\hat{\jmath}$, ¿cierto?.

No. Cuando escribo $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$ estoy diciendo derivada del módulo de la velocidad respecto del tiempo.

Un criterio usual en la notación de vectores es que algo lleva flecha, como en $\vec v$ hablamos del vector como un todo, mientras que si no la lleva nos referimos al módulo $v$ (que, recordemos, es una cantidad positiva por definición, de ahí que antes pusiese un valor absoluto, en prevención de que la derivada pueda ser negativa).

De hecho, la expresión es incorrecta, pues en el lado izquierdo tienes una cantidad escalar, como es la derivada temporal del módulo de un vector, mientras que en la derecha tienes un vector. Lo correcto para lo que pones sería $\dst \frac{\dd\vec v}{\dd t}=\dst \frac{\dd v_x}{\dd t}\hat{\imath}+\dst \frac{\dd v_y}{\dd t}\hat{\jmath}$. Fíjate cómo cambia la cosa con una simple flecha sobre la v! (de incorrecto a correcto).

Es que a mí se me ocurre escribirlo así: $\left\vert{}\vec a_t\right\vert{}=\dst \left\vert{}\frac{\dd \vec v}{\dd t}\right\vert{}$, y tengo la sensación de emplear la letra t con dos significados distintos.

Sobre la letra t, sí, se usa con dos significados distintos: tangencial y tiempo. De todos modos, aunque uses el criterio de emplear la barra doble para indicar "módulo de", lo que has escrito es incorrecto, pues sería (de nuevo, fíjate en la sutileza): $\left\vert{}\vec a_t\right\vert{}=\dst \left\vert{}\frac{\dd |\vec v|}{\dd t}\right\vert{}$, pues el módulo de la aceleración tangencial es igual al valor absoluto (ya dije antes por qué: para no tener un módulo negativo) de la derivada del módulo de la velocidad.

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

arivasm, no me había dado cuenta de ese detalle.

Cuando escribes $\dst a_t=\left|\frac{\dd v}{\dd t}\right|$, $a_t$ es la notación para el módulo de la aceleración tangencial, ¿no?. Es decir, el subíndice $t$ hace referencia a la palabra "tangencial" en $a_t$; y en $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$, $t$ hace referencia al tiempo. Y cuando escribes $\dst \frac{\dd v}{\dd t}$, quieres decir $\dst \frac{\dd v}{\dd t}=\dst \frac{\dd v_x}{\dd t}\hat{\imath}+\dst \frac{\dd v_y}{\dd t}\hat{\jmath}$, ¿cierto?.

Es que a mí se me ocurre escribirlo así: $\left\vert{}\vec a_t\right\vert{}=\dst \left\vert{}\frac{\dd \vec v}{\dd t}\right\vert{}$, y tengo la sensación de emplear la letra t con dos significados distintos.

[arivasm]

Re: Péndulo que oscila

Además de lo que habéis escrito en el hilo, que es correcto, para este ejercicio yo recomendaría mantener también un punto de vista más físico, esto es, recurrir a las componentes intrínsecas de la aceleración. Concretamente, para el tema de este hilo la relevante es la aceleración tangencial, que expresa las variaciones en el módulo de la velocidad y que es tangente a la trayectoria. De este modo, en realidad se está preguntando "En el punto más bajo cabe esperar que la componente horizontal tangencial de $\vec a$ sea cero"

Como $\dst a_t=\left| \frac{\dd v}{\dd t}\right|$ y el módulo de la velocidad es máximo en el punto más bajo (por conservación de la energía) entonces $a_t=0$. Como en el punto más bajo la tangente a la trayectoria es horizontal, lo anterior equivale a afirmar que la componente horizontal de la aceleración es nula.

[Rodri]

Re: Péndulo que oscila

¡Perfecto!. Ahora he recordado el poco cálculo que dimos en COU: la derivada del vector velocidad horizontal debe ser 0 en el punto más bajo, puesto que en ese punto la componente horizontal de la velocidad es máxima. El dibujo sería el que adjunto.
¿La notación para este paso sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?; ¿o [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?.

La notación correcta es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Si pones la flechita de vector designas el vector completo por lo que no tiene sentido el subíndice de componente x, y o z

Un comentario sobre el dibujo: la forma de la curva no es un semicírculo, como has dibujado, porque entonces la pendiente en el paso por cero se hace infinita, es decir, la aceleración sería infinita en esos instantes, lo que no tiene sentido. la curva completa que representa la velocidad de péndulo en función del tiempo es complicada si la amplitud de oscilación es grande (comparable a 90º). Normalmente el péndulo simple se pone como ejemplo de movimiento armónico simple y en ese caso se supone que la amplitud de oscilación es un ángulo pequeño, por lo que la componente horizontal de la velocidad sigue, con gran aproximación una variación sinuosidal (función seno o coseno):

http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide

http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_armónico_simple

La aceleración es la derivada de la velocidad. La derivada de una sinusoide es otra sinusoide desfasada 90º con respecto a ella, como puedes ver en el segundo enlace.

[Marcos Castillo]

Re: Péndulo que oscila

¡Perfecto!. Ahora he recordado el poco cálculo que dimos en COU: la derivada del vector velocidad horizontal debe ser 0 en el punto más bajo, puesto que en ese punto la componente horizontal de la velocidad es máxima. El dibujo sería el que adjunto.

Péndulo 2.pdf

¿La notación para este paso sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?; ¿o [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?.

¡Un saludo!