Secundaria Sobre cinematica

[juantv]

Un cuerpo se mueve a lo largo de una linea recta de tal forma que $a = -k v$ en donde $k$ es una constante.

Calcule $v(t)$, $x(t)$

se sabe que en $t = t_1$, la velocidad es $v(t_1)$ y la posicion es $x(t_1)$.


Mi intento

tengo que $\frac{dv}{dt} = a$ luego $\int \frac{dv}{v} = - \int k dt$

así, l$n(v) = -k t$

$v(t) = e^{-kt} + C$

para $C$ tengo que despejar de : $v(t_1) = e^{-k t_1} + C$

para tener

$v(t) = e^{-kt} - e^{-k t_1} + v(t_1)$


pero esto no me convence, no veo que tenga unidades de velocidad.


para hallar $x(t)$ pues integraría $v(t)$ pero mejor no sigo pues parece que voy por mal camino

¿en que me he equivocado? , ¿Alguna orientación?



Agradezco su orientación al respecto

[Breogan]

Re: Sobre cinematica

Hola:

tengo que $\frac{dv}{dt} = a$ luego $\int \frac{dv}{v} = - \int k dt$

así, $ln(v) = -k t$

Creo que acá esta tu error, en la integración te falto agregar la constante, teniendo en cuenta esto el resultado de la integral es:

$\dst ln [v(t)] =- k t + C$

y operando:

$\dst v(t) = \ee^{- k t + C}$

$\dst v(t) = \ee^{- k t} \ \ee^C = C_1 \ \ee^{- k t }$

creo que de acá es facil seguir.

s.e.u.o.

Suerte

[juantv]

Re: Sobre cinematica

Disculpa, no acabo de ver que eso tenga unidades de velocidad

$\dst v(t) = \ee^{- k t} \ \ee^C = C_1 \ \ee^{- k t }$

lo veo como el producto de dos números sin unidades (numero e elevado a algo) lo que daría como resultado un numero sin unidades


Agradezco su orientación al respecto

- - - Actualizado - - -

creo que ya veo porque

la constante $C_1$ seria $C_1= \frac{v(t_1)}{e^{-k t_1}}$

¿verdad?



Gracias

[Breogan]

Re: Sobre cinematica

Hola:

la constante seria

Correcto...

Suerte

[Al2000]

Re: Sobre cinematica

Disculpa, no acabo de ver que eso tenga unidades de velocidad
...

Permíteme añadir un comentario a lo que ya te ha explicado Breogan. Cuando se hace una integral de una cantidad física que resulta en un logaritmo, siempre vamos a tener un conflicto con las unidades. La expresión $\dst \int \frac {dv} v = \ln v$ no tiene significado físico si $v$ es una cantidad con dimensiones, como en este caso. El echo es que los logaritmos están relacionados con las razones de cambio y cuando aparecen aplicados a una cantidad física, siempre se aplican al cambio de la cantidad y no a la cantidad en sí misma.

En un caso como el tuyo, donde se obtiene el logaritmo de una cantidad con dimensiones (lo cual no tiene sentido físico), lo mas correcto es plantear la integral definida para obtener la rata de cambio de la variable. De esa manera, y sin entrar en conflicto de unidades, puedes plantear tu problema de la manera rápida y elegante

$$\frac {dv} v = - k\,dt \quad \Rightarrow \quad \int_{v_1}^{v}\!\! \frac {dv} v = - k \int_{t_1}^{t}\!\! dt \quad \Rightarrow \quad \ln \frac v {v_1} = -k (t -t_1)$$

Lo demás es acomodar los términos al gusto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Breogan]

Re: Sobre cinematica

Hola:

Realmente nunca me lo habían hecho ver así, pero realmente es una forma mucho mas elegante y adecuada de resolver la susodicha integral. Gracias.

Suerte