1r ciclo Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

[Sarela]

Hola a todos y a todas
Les traigo el siguiente problema cuya segunda parte no estoy segura de estar haciéndola bien...

"Una cuerda cuelga 4 m de un carrete de 20 cm de radio. Despreciando los rozamientos que pueda haber, calcula el trabajo necesario para enrollar estos 4 m de cuerda en el carrete:
a) en el caso en que la cuerda sea de densidad uniforme $\lambda = 8 g.cm^{_1}$;
b) en el caso en que la densidad lineal de la cuerda disminuya de forma lineal con la distancia siendo de 6 g/cm en el extremo inferior de la cuerda y de 10 g/cm en el punto en que la cuerda se despega del carrete".

Para resolver el primer apartado, empiezo calculando la masa y el centro de masas de la cuerda que cuelga y luego aplico que el trabajo necesario será igual al aumento de la energía potencial que experimenta la cuerda:

$m = \lambda.L = 10 \times 400 = 4000 g$ = 4 kg, con el centro de masas en su punto medio (2 m).

El trabajo será, entonces, $W = 4 \times 9,8 \times 2 = 78,4 J$

Para el apartado b) hago lo mismo. Empiezo calculando la masa y el centro de masas. Para calcular la masa empiezo por calcular la densidad lineal de la cuerda:

Con las densidades que me da el enunciado calculo los coeficientes de la ecuación lineal de la densidad: $\lambda (y) = a.y + b$ obteniendo $\lambda (y) = 10 -10^{-2}.y$ g/cm.


Con esta densidad calculo la masa (integrando entre 0 y 400 cm): $M = \int \lambda.dx = 3200$ g = 3,2 kg

Y calculo el centro de masas (también integrando entre 0 y 400 cm): $M.y_G = \int y.dm = \int y.\lambda. dy = 183,3$ cm =1,83 m.

Y, finalmente, calculo el trabajo de la misma forma que antes, calculando el aumento de energía potencial de la cuerda:

$W = 3,2 \times 9,8 \times 1,83 = 57,5 J$

Esta bien así?

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Yo lo veo bien, quizá con la única pega de que no estás usando el radio del carrete. En el caso de la densidad uniforme no hay problema, si se supone que la cuerda se enrolla en una sola capa y se desprecia que queda una vuelta incompleta de cuerda; en el caso de la densidad variable, el centro de masas de la cuerda enrollada no coincide con el eje del carrete y habría que determinar su posición... aunque supongo que ya eso sería hilar muy fino De todas formas, calcular el centro de masas de la cuerda enrollada parece un ejercicio simpático jejeje.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Sarela]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

gracias Al
La verdad que me intrigaba que me hubieran dado el radio del carrete sin que tuviera que utilizarlo en la resolución y, claro, tienes razón (yo no había caído en ello) que la distribución de masas alrededor del carrete no es simétrica....
Pero más que un ejercicio simpático, me parece "mal intencionado" y "mala leche"...
Porque además, para el apartado b) habría que calcular el centro de masas vuelta a vuelta...¿No es así?

Muchas gracias de nuevo

[felmon38]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Para el caso b) se puede expresar fácilmente la ordenada y_G del cdg del trozo de la cuerda enrollada (origen de ejes en el centro de la polea) utilizando el vector polar de un punto de la polea r=r.${e}^{i\varphi }$, siendo $\varphi$ el arco en rd del trozo de cuerda enrollada y $\lambda$ = m.$\varphi$ + n :

y_G.M =Im[ $\int{}_{ 0}{}^{L/r }{r.e}^{ i\varphi}$.(m.$\varphi$ + n ).d$\varphi$]

Saludos

[visitante20160513]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Creo que el radio de la polea solo nos sirve en parte porque no sabemos la cantidad de cuerda que está en la polea, dato que puede variar entre 0 y cualquier valor. No sabemos donde se encuentra el origen de la cuerda y por lo tanto el trabajo para desplazar un cierto ángulo la cuerda que se encuentra en la polea podría ser cualquiera, incluso negativo si su CDG se desplazara hacia abajo. Yo creo que la hipótesis más razonable es calcular el incremento de energía teniendo en cuenta que los cuatro metros se arrollaran alrededor de la polea hasta una cierta posición. Es el incremento de la energía potencial hasta esa posición la que debe evaluarse.

El trabajo necesario vendría dado por la diferencia entre la energía potencial una vez enrollada y la energía potencial antes de enrollarla, dato que puede evaluarse como:

$W=g\left(\displaystyle\int_{\gamma_2} ydm-\displaystyle\int_{\gamma_1} ydm\right)$

ecuación en la que $\gamma_1$ es la curva que describe la cuerda antes de ser enrollada y $\gamma_2$ la que adquiere después, teniendo en cuenta que en todos los casos:

$dm=\lambda(l) dl$

Creo que lo que más interesa es parametrizar dichas curvas y la densidad de la cuerda en función de la longitud de la cuerda, $l$, medida desde el extremo inferior. Son entonces necesarias dos funciones, $\lambda(l)$ e $y(l)$, en cada uno de las posiciones de la cuerda (antes y después de enrollarla) y en cada una de las hipótesis, para poder resolver las integrales, aunque me parece que será bastante fácil tanto hallar las parametrizaciones necesarias cómo resolver las integrales. No creo que este ejercicio tenga ninguna dificultad, aunque es un poco largo ya que son dos parametrizaciones y cuatro integrales, pero de chicha y nabo. Una vez obtrenida la función de densidad y las parametrizaciones de las curvas el problema es calcular en cada hipótesis la expresión:

$W=g\left(\displaystyle\int_{0}^{4} y_2(l)\lambda(l) dl-\displaystyle\int_{0}^{4} y_1(l)\lambda(l) dl\right)$

!Chupao! como dice mi hijo.

Salu2

[Al2000]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Si consideras que la cuerda se termina de enrollar cuando el extremo inferior alcanza la altura del eje del carrete, puedes tomar ese punto como origen y determinar el centro de masas calculando

$$\boldsymbol r_\text {CM} = \frac 1 M \int_{0}^{\theta_L}\!\! \boldsymbol r\, dm$$

con

$$M = \int_{0}^{\theta_L}\!\! dm = \frac 1 2 (\lambda_0 + \lambda_f) L$$

$$\boldsymbol r = R\, \boldsymbol u_r,\,\,\, dm = \lambda_{(\theta)} R \, d \theta ,\,\,\,\lambda_{(\theta)} = \lambda_0 + k \theta,\,\,\, k = \frac {\lambda_f - \lambda_0}{\theta_L},\,\,\, \theta_L = \frac L R$$

En este problema probablemente se puede despreciar el efecto, pues con los datos numéricos indicados el CM se ubica apenas unos 2.7 mm por encima del eje.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[visitante20160513]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Ten en cuenta que la cuerda no es un sólido rígido, y las leyes para dichos objetos no sirven en este caso.

Salu2

[felmon38]

Re: Trabajo necesario para enrollar una cuerda de densidad variable en una polea

Sarela, no entiendo estas paradas en el hilo. ¿Has resuelto tu pregunta ?