2o ciclo Movimiento en órbita

[leo_ro]

Si un cuerpo $m$ se encuentra gravitando un planeta $M$ en un radio $r$ y que se desplaza a una velocidad $v$. Sabemos que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (1)

Si disminuye su velocidad por el impacto elástico de un cuerpo que se desplaza en la misma orbita ($r$), de manera que $\Delta p<0 \Rightarrow \Delta v<0$, es decir cambio en el módulo de $v$ y no en su dirección.El miembro $\dst m\frac{{v}^{2}}{r }$ luego del choque disminuyó por lo que $\dst G \frac{mM}{{r}^{3} }$ debe disminuir en la misma proporción, en esta última expresión la única variable es $r$ por lo que tendría que aumentar el radio para que siga manteniéndose la igualdad (1) ¿cómo es posible esto?

[Al2000]

Re: Movimiento en órbita

Si el cuerpo tuviese que mantenerse en una órbita circular, entonces tendría que saltar inmediatamente a una órbita de mayor radio. Por supuesto que esto no ocurre en un caso real, sino que lo que pasaría es que el cuerpo, que antes estaba en una órbita circular ahora describiría una órbita elíptica.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[leo_ro]

Re: Movimiento en órbita

Gracias Al pero no entendí. Suponemos que el cuerpo tiene una energía mecánica y luego del choque al disminuir su energía cinética por lo tanto "tendría" que aumentar su energía potencial, ¿es por eso que tu dices lo siguiente?

entonces tendría que saltar inmediatamente a una órbita de mayor radio

Pero la proyección del impulso del choque y la fuerza gravitatoria es cero, o dicho de otra manera: $sen (\varphi)= 1$ en donde $\varphi$ es el ángulo entre la fuerza impulsora del choque y la fuerza gravitatoria. De esta manera es imposible que la fuerza del choque aumente o disminuya la energía potencial.

Pero hay otra cosa, la fuerza se aplica en la dirección de la velocidad en sentido contrario por lo que el torque es distinto de cero y menor a cero o mejor dicho en sentido opuesto al movimiento circular. De esta manera [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , la velocidad sabemos que disminuye por lo que el radio no tendría que variar y por lo tanto contradecería lo primero

[Breogan]

Re: Movimiento en órbita

Hola:

Me parece que el error que cometes en el siguiente razonamiento:

Si un cuerpo $m$ se encuentra gravitando un planeta $M$ en un radio $r$ y que se desplaza a una velocidad $v$. Sabemos que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (1)

Si disminuye su velocidad por el impacto elástico de un cuerpo que se desplaza en la misma orbita ($r$), de manera que $\Delta p<0 \Rightarrow \Delta v<0$, es decir cambio en el módulo de $v$ y no en su dirección.El miembro $\dst m\frac{{v}^{2}}{r }$ luego del choque disminuyó por lo que $\dst G \frac{mM}{{r}^{3} }$ debe disminuir en la misma proporción, en esta última expresión la única variable es $r$ por lo que tendría que aumentar el radio para que siga manteniéndose la igualdad (1) ¿cómo es posible esto?

es que después del choque la formula (1) ya no es valida. Si como supones en tu ejemplo la velocidad del cuerpo que esta orbitando disminuye después del choque ($\Delta v<0$), justo después del choque -supuesto instantáneo- la fuerza gravitacional se mantendrá en el mismo valor (sigue a la misma altura) pero la fuerza centrifuga tendrá un menor valor (por que disminuyo su velocidad), la diferencia de estas dos fuerzas te da una fuerza neta que empuja al cuerpo hacia la tierra.

Como producto de esta caída (con un cierto momento angular inicial que se conserva) el cuerpo puede entrar en una órbita (normalmente elíptica) mas baja, o eventualmente puede chocar con la tierra.

En la caída se van a conservar: el momento angular (por haber solo una fuerza central actuando, la gravedad), y la energía mecánica del cuerpo después del choque.
La energía, el momento lineal y el momento angular, entre el momento anterior y posterior del choque, no se conservan para ninguno de los dos cuerpos en forma individual; si se conservan para el sistema formado por los dos cuerpos (suponiendo un choque perfectamente elástico).

Análogamente si el choque es en el otro sentido, el cuerpo adquiere mayor velocidad y a consecuencia de esto el cuerpo se aleja a una órbita mas alta, llegando inclusive a poder escapar de la influencia gravitatoria de la tierra.

s.e.u.o.

Suerte

PD: después de contestar se me ocurrió que posiblemente tu post estaba orientado en otra dirección, estas tratando de aplicar la formula (1) para las dos órbitas estables circulares, la órbita inicial y la final ?

Si es así, primero la órbita final siempre sera elíptica (de esto no estoy totalmente seguro), solo se podrá aproximar a una órbita circular cuando la variación de la velocidad del objeto durante el choque sea pequeña.

Segundo tenes que tener en cuenta que la velocidad del objeto en la órbita final no va a ser igual a la velocidad del mismo objeto justo después del choque. En este caso tenes que plantear la ecuación (1) con dos incógnitas $v_2 , r_2$, velocidad en la órbita 2 y radio de la órbita 2 respectivamente, y la conservación de la energía mecánica con las mismas incógnitas. De esta forma encontras el radio y la velocidad de la órbita final del objeto.

Estoy casi seguro que estos valores no te van a verificar la conservación del momento angular (después del choque) debido a la aproximación de órbita final circular.

s.e.u.o.

Suerte

[leo_ro]

Re: Movimiento en órbita

He aquí en donde a mi parecer se demuestra perfectamente la conservación del momento cinético. Pero hay cosas que no están del todo esclarecidas, disculpenmen la molestia.

es que después del choque la formula (1) ya no es valida. Si como supones en tu ejemplo la velocidad del cuerpo que esta orbitando disminuye después del choque (), justo después del choque -supuesto instantáneo- la fuerza gravitacional se mantendrá en el mismo valor (sigue a la misma altura) pero la fuerza centrifuga tendrá un menor valor (por que disminuyo su velocidad), la diferencia de estas dos fuerzas te da una fuerza neta que empuja al cuerpo hacia la tierra.

Lo que pasa es que en (1) estoy expresando que la fuerza gravitatoria es centrípeta, pero quizás no dejé en claro que es la única fuerza que actúa porque estoy tomando como referencia el cuerpo que genera el campo gravitacional (en este caso la tierra) y por lo tanto no habría fuerza centrífuga en el sistema de referencia. ¿O necesariamente tengo que tenerla en cuenta sin importar que sistema de referencia tome? Yo tenía entendido que aparecía esta fuerza ficticia si tomo como referencia el cuerpo orbitando. Si tendría que incluir esta fuerzas, la segunda ley quedaría:

$\dst \sum \vec{F}= m\vec{a}= -G\frac{mM}{{r}^{3} }\hat{r}+m\frac{{v}^{2}}{ r}=0$

En ese caso las variable para la fuerza gravitatoria es $\vec{Fg}(r)$ y para la centrífuga $\vec{Fc}(v,r)$. Si disminuye $v$, $\vec{Fg}>\vec{Fc}$ y $\vec{a} \neq 0$ Y acá está lo que no entiendo porque el radio disminuye por la acción de la resultante cuyo aporte es debido a la resta de la fuerza gravitatoria y la centrífuga pero nunca más las fuerzas se van a equiparar por la relación de las potencias de las variable radio en ambas fuerzas. No sé si entienden lo que quiero expresar.

En la caída se van a conservar: el momento angular (por haber solo una fuerza central actuando, la gravedad)

Si se conserva el momento angular, al disminuir la velocidad tendría que aumentar en proporción el raido. ¿Cómo es esto entonces?

Saludos y gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Movimiento en órbita

Hola leo_ro y Breogan

Creo que habría que enfocar el problema de la forma que dice AI2000, en su contestación. Este gráfico siguiente puede ayudar a visualizar lo que dice AI2000

La gráfica quiere representar como varía la energía gravitatoria de ese cuerpo de masa $m$ orbitando alrededor del planeta de masa $M$ en función de la distancia entre el cuerpo m y el centro del planeta.

Si ese cuerpo de masa $m$ está orbitando alrededor del planeta de masa $M$ en un radio $r$ (trayectoria, pues, circular) esa situación se corresponde con el mínimo de energía en la gráfica de la figura: dada la energía $E_0$ que tiene el cuerpo de masa $m$ solo puede moverse a unha distancia $R_0$ del planeta, es decir en una trayectoria circular.
Ahora bien, como consecuencia de ese choque el cuerpo de masa $m$ pierde energía cinética, por lo tanto, pasará de tener una energía $E_0$ a tener una energía $E_1$.
Ahora bien, como el campo gravitatorio sigue siendo el mismo (el campo gravitatorio del planeta) y la masa sigue siendo la misma, la función energía representada en la figura sigue siendo la misma y, en consecuencia, el cuerpo de masa $m$ con esa nueva energía pasa a poder moverse entre una distancia al centro del planeta $R_1$ y una distancia $R_2$, es decir pasa a tener una órbita elíptica.
¿Como calcular esas distancias mínima $R_1$ y esa distancia máxima $R_2$? Determinando la función $E(r)$ y calculando la energía del cuerpo $m$ después del choque.
Un saludo

[abuelillo]

Re: Movimiento en órbita

Si se conserva el momento angular, al disminuir la velocidad tendría que aumentar en proporción el raido. ¿Cómo es esto entonces?

Es que eso es como decir que si voy por la calle a cierta velocidad y me paro, de repente deberia que empezar a levitar y elevarme por los aires, porque la energia potencial deberia aumentar para compensar la perdida de enegia cinetica, y para que mi momento angular se conserve.
Pero es que tienes dos objetos que chocan, y el momento angular que se conserva es el calculado para los dos objetos + tierra, es decir no tiene que conservarse el momento angular de cada objeto por separado.
Tampoco se conserva la energia meanica, si otro objeto me frena, mi energia mecanica cinetica+potencial simplemente va a disminuir, y no hay nada que compensar, asi que no voy a elevarme por los aires.

[leo_ro]

Re: Movimiento en órbita

La gráfica de la energía potencial gravitatoria es

Me imagino que la gráfica que pusiste oscarmuinhos es para ejemplificar. ¿o estoy equivocado?

Entonces volviendo al tema. El choque disminuye la energía cinética pero no modifica la energía potencial gravitatoria del cuerpo, en principio, Tal cual como dice abuelillo.

${E}_{M1}={E}_{C1}+{E}_{p1}=0$ luego del choque ${E}_{M2}={E}_{C2}+{E}_{P2} \neq 0$ en done ${E}_{C1}>{E}_{C2}$ ya que parte de esa energía cinética se aplicó en las abolladuras de los cuerpos por ejemplo. Lo que yo intento entender es cual es la causa dinámica de por qué la energía potencial variará, entiendo de que ${E}_{p}$ no será constante como en principio sino ${E}_{p}(r)$ pero ¿como es el análisis de las fuerzas que lleva a eso? volviendo a la ecuación (1) de mi primer post.

[Al2000]

Re: Movimiento en órbita

La energía mecánica inicial no es cero, es negativa. Esa es la condición necesaria para que el satélite describa una órbita alrededor del planeta.

Lo que te quise transmitir con mi primer mensaje es que estás viendo una contradicción sólo porque estás usando una fórmula en un caso en que no aplica. Cuando dices que la fuerza gravitacional es la fuerza centrípeta, estás implicando un movimiento circular uniforme. Pero al disminuir la velocidad, la igualdad se rompe y ya el satélite no se seguirá moviendo en una trayectoria circular. Ahora tiene menos velocidad de la necesaria y cae hacia el planeta aumentando su rapidez en la medida que cae. Si la trayectoria no intercepta el planeta, eventualmente el satélite terminará describiendo una elipse y regresará al punto inicial.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Breogan]

Re: Movimiento en órbita

Hola:

Lo que pasa es que en (1) estoy expresando que la fuerza gravitatoria es centrípeta, pero quizás no dejé en claro que es la única fuerza que actúa porque estoy tomando como referencia el cuerpo que genera el campo gravitacional (en este caso la tierra) y por lo tanto no habría fuerza centrífuga en el sistema de referencia. ¿O necesariamente tengo que tenerla en cuenta sin importar que sistema de referencia tome? Yo tenía entendido que aparecía esta fuerza ficticia si tomo como referencia el cuerpo orbitando. Si tendría que incluir esta fuerzas, la segunda ley quedaría:

$\dst \sum \vec{F}= m\vec{a}= -G\frac{mM}{{r}^{3} }\hat{r}+m\frac{{v}^{2}}{ r}=0$

Disculpas por haber mencionado la fuerza centrifuga, aunque no es la mejor forma de describir lo que sucede en el movimiento circular se uso durante mucho tiempo para enseñar dicho movimiento e incorrectamente pensé que su uso te podía ser mas intuitivo. Igual te daras cuenta que la formula que obtuviste para el movimiento circular de esta manera es la misma que la de tu 1º post.

En ese caso las variable para la fuerza gravitatoria es $\vec{Fg}(r)$ y para la centrífuga $\vec{Fc}(v,r)$. Si disminuye $v$, $\vec{Fg}>\vec{Fc}$ y $\vec{a} \neq 0$ Y acá está lo que no entiendo porque el radio disminuye por la acción de la resultante cuyo aporte es debido a la resta de la fuerza gravitatoria y la centrífuga pero nunca más las fuerzas se van a equiparar por la relación de las potencias de las variable radio en ambas fuerzas. No sé si entienden lo que quiero expresar.

Después del choque se mantiene la energía mecánica del objeto (energía potencial gravitatoria + energía cinética) ademas de su momento angular, aunque en esta parte del análisis no lo tengamos en cuenta.
Cuando el radio de la órbita disminuye, también disminuye la energía potencial del objeto y para mantener la energía mecánica del objeto forzosamente debe subir su energía cinética y por ende su velocidad, alcanzando un nuevo punto de equilibrio en una nueva órbita circular(cuando se trata de perdidas de energía cinética durante el choque muy pequeñas respecto de su energía cinética antes del choque), o en una órbita elíptica con velocidad y radio variable si el choque es mayor.
Se logra tener un nuevo punto de equilibrio porque la energía potencial varia con la inversa de r y la energía cinética varia con la inversa de $r^2$ para un objeto con momento angular constante.

La energía potencial del objeto en un instante t después del choque es:

$\dst E_p (t) = - \ G \frac {Mm} {r(t)}$

y su energía cinética es:

$\dst E_c (t) = \frac 1 2 \ m \ v(t)^2$

y la suma de estas dos debe ser constante:

$\dst E_M = E_c (t)+ E_p (t)$

$\dst E_M = \frac 1 2 \ m \ v(t)^2 - \ G \frac {Mm} {r(t)} = cte.$

Esta ecuación de la energía mecánica sera valida para todo instante, en particular para el momento inicial (justo después del choque), y para el momento final (nueva órbita estable).
Si suponemos que el choque es pequeño, por lo cual la órbita final es aproximadamente circular, y teniendo en cuenta que el momento angular se debe conservar podemos escribir que:

$\dst L = m \ v(t) \ r(t) \quad \Rightarrow \quad L^2 = m^2 \ v(t)^2 \ r(t)^2 = 2 \frac 1 2 m \ m \ v(t)^2 \ r(t)^2 = E_c(t) \ m \ r(t)^2$

$\dst E_c(t) = \frac {L^2} {m \ r(t)^2}$

y por ultimo reemplazamos en la formula de la energía mecánica:

$$\dst E_M = \frac {L^2} {m \ r(t)^2} - \ G \frac {Mm} {r(t)} = cte.$$

Acotación: el gráfico de esta formula (independiente del tiempo) es el que te puso oscar en un post anterior, que si no me acuerdo mal se la llama gráfica del pozo de potencial gravitatorio, y que representa la energía de una partícula que tiene una determinada masa y un determinado momento angular, en función del radio (distancia a la tierra en este caso).
Como se ve en la gráfica hay un mínimo que corresponderá al radio de la órbita circular estable para ese objeto con masa m y momento angular L. El resto de los puntos de la gráfica no son estables, es decir que si se pone el objeto de masa m y momento angular L en alguno de esos puntos se desplazara hacia el punto estable, quedándose oscilando alrededor de ese punto (órbita elíptica), y para pequeños desvíos de la posición de equilibrio se puede decir que se queda en el (órbita circular) .
En cuanto a la explicación dada por oscar creo que se le escapo algún error, antes y después del choque el objeto esta a la misma distancia de la tierra, pero como al chocar disminuye el momento angular del objeto lo que cambia es el pozo de potencial gravitatorio, en este caso achicándose tanto en el eje y como en el eje x, haciendo que el objeto deba buscar el mínimo de la nueva gráfica.

Volviendo a la ecuación (1), y planteándola para el instante inicial y el final queda:

$\dst E_{M0} = E_{Mf}$

$\dst \frac {L^2} {m \ r_0^2} - \ G \frac {Mm} {r_0} = \frac {L^2} {m \ r_f^2} - \ G \frac {Mm} {r_f}$

de esta podes despejar el radio rf de la órbita final (ojo!, es la aproximación de órbita circular cuando el choque es pequeño), y el momento angular del objeto después del choque (el que usas en la formula), sale fácil de la conservación de este para los dos objetos cuando chocan.

Te reitero que todo esto solo es una aprox. para choques pequeños con poca perdida de momento angular (energía) del objeto, si el choque fuera de tal magnitud que no se puede usar la aproximación anterior la ecuación de la nueva órbita sera la de una elipse, y si es este el caso trataremos de seguir aportando.

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Movimiento en órbita

La gráfica de la energía potencial gravitatoria es
[ATTACH=CONFIG]8321[/ATTACH]
Me imagino que la gráfica que pusiste oscarmuinhos es para ejemplificar. ¿o estoy equivocado?

Entonces volviendo al tema. El choque disminuye la energía cinética pero no modifica la energía potencial gravitatoria del cuerpo, en principio, Tal cual como dice abuelillo.

${E}_{M1}={E}_{C1}+{E}_{p1}=0$ luego del choque ${E}_{M2}={E}_{C2}+{E}_{P2} \neq 0$ en done ${E}_{C1}>{E}_{C2}$ ya que parte de esa energía cinética se aplicó en las abolladuras de los cuerpos por ejemplo. Lo que yo intento entender es cual es la causa dinámica de por qué la energía potencial variará, entiendo de que ${E}_{p}$ no será constante como en principio sino ${E}_{p}(r)$ pero ¿como es el análisis de las fuerzas que lleva a eso? volviendo a la ecuación (1) de mi primer post.

Hola Leo_ro:
La gráfica que puse, no es la gráfica de la energía potencial gravitatoria sino del potencial gravitatorio:

$\dst V = - G\frac{M.m}{r } + \frac{L^2}{2mr^2 }$

y la puse tratando de visualizar lo que decía AI2000 en su contestación y que es lo que desarrolla Breogán en este mensaje anterior. Creo que por ahí habrá que enfocar el planteamiento.
Aunque es cierto que, como dice Breogán, yo me estaba equivocando en que esa curva del potencial sería la misma, conviene señalar que, conocida la curva de este potencial o pozo de potencial gravitatorio, quien determina que la trayectoria sea circular o elíptica es la energía total (que es una constante) inicial y, en este problema, es eso lo que está ocurriendo: un cambio en las condiciones iniciales, además de ese cambio del pozo de potencial que me corrige indica Breogán.

[leo_ro]

Re: Movimiento en órbita

Muchas gracias a todos, he entendido lo que me quieren decir. Solamente me quedé con una inquietud:

La energía mecánica inicial no es cero, es negativa.

Yo supuse cero porque tomando como referencia el infinito, en ese "punto" la energía potencial es cero y ateniendo, la energía cinética también. Al disminuir la distancia, disminuye la energía potencial y aumenta la cinética siendo la suma de estas la energía mecánica=0, que se conserva.

Saludos.

[Al2000]

Re: Movimiento en órbita

Esa es la condición (que la energía sea cero en el infinito) para que un cuerpo pueda abandonar una órbita en torno a otro. Si la energía total es mayor o igual a cero, el cuerpo describirá una órbita abierta (una parábola o una hipérbola) y podrá escapar (alejarse indefinidamente) del cuerpo al que orbita. Si la energía es negativa, el cuerpo estará confinado a moverse en una órbita cerrada, en general elíptica.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[sater]

Re: Movimiento en órbita

Solo apuntar una cosa. Cuando pones la fuerza al principio ya con un vector unitario se pone inversa al cuadrado de la distancia, no al cubo. Se pone al cubo si el vector dirección no es unitario para que te quede unitario.