Primaria Tensión y tercera ley de Newton

[Marcos Castillo]

Hola. Avanzando en el temario me he encontrado con el concepto de tensión en una cuerda o cadena, y no logro encajarlo con la tercera ley de Newton, para un ejemplo que me he planteado: supongamos dos personas $A$ y $B$ tirando en sentidos opuestos de una cuerda. La cuerda tiene masa a considerar. Además $A$ tira más fuerte que $B$. Considero sólo la fuerzas horizontales. $B$ está a la izquierda de $A$.

Entonces, el módulo de la tensión de $B$ hacia $A$ será mayor que el de la tensión de $A$ hacia $B$: $|\vec{T}_{BA}|>|\vec{T}_{AB}|$.

Por otra parte, he querido hacer el esquema de las fuerzas horizontales para $A$ y para $B$:

Para $A$: $\vec{F}_{BA}$, la fuerza que ejerce $B$ sobre $A$; y $\vec{F}_{SA}$, la fuerza que ejerce el suelo sobre $A$.

Para $B$: $\vec{F}_{AB}$, la fuerza que ejerce $A$ sobre $B$; y $\vec{f}_{SB}$, la fuerza de rozamiento del suelo para $B$ (lo he puesto en minúscula siguiendo la notación del libro).

El caso es que para estas cuatro fuerzas que yo creo que intervienen, existe una fuerza igual pero en sentido opuesto:

$\vec{F}_{BA}=-\vec{F}_{AB}$.
$\vec{F}_{SA}=-\vec{F}_{AS}$ (fuerza que ejerce $A$ sobre el suelo).
$-\vec{f}_{SB}=\vec{f}_{BS}$ (fuerza que ejerce $B$ sobre el suelo).

Sin embargo para las tensiones no encuentro fuerzas iguales pero de sentido contrario, según dice la tercera ley de Newton.

¡Un saludo!

[felmon38]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

Marcos, te hago una sugerencia a ver si te basta: A y B no están en contacto y por lo tanto no puedes hablar de la fuerza de A sobre B. Las fuerzas que actúan sobre A son la gravitatoria, su peso, y la fuerza de contacto de la cuerda sobre A, que es la tensión de la cuerda en A. Análogamente sobre B, actúa su peso y la fuerza de contacto de la cuerda sobre B, que es la tensión de la cuerda en el punto B. Ahora sobre la cuerda actúan las fuerzas de contacto anteriores, con los signos cambiados, por la 3ª Ley y el peso de la cuerda (todo esto vectorial).
Saludos

[abuelillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

La tension es la misma en los dos extremos y de sentido contrario asi ya tienes la fuerza que te falta.
Si consideras que la cuerda tiene masa, no puedes compara la tension en un extremo de la cuerda con la tension en el otro extremo, porque te falta tener en cuenta la masa de la cuerda entre A y B, en ese caso o consideras que hay 3 objetos (A,B,CUERDA) y planteas las fuerzas entre ellos, o eliges un punto determinado P de la cuerda, de modo que separas el sistema en dos partes:
A+trozo de cuerda a la izquierda de P = AP
B+trozo de cuerda a la derecha de P = PB
Ahora volvemos a tener dos objetos que estan unidos por una cuerda ideal de masa cero:
AP--cuerda sin masa--PB
y la tension a la derecha e izquierda de P serán iguales (claro que ahora ya no sabremos las fuerzas en el punto P, tenemos que saber la masa que queda de la cuerda a la izquierda y la masa a la derecha, para poder calcular las nuevas fuerzas en el punto P).

[Marcos Castillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

(claro que ahora ya no sabremos las fuerzas en el punto P, tenemos que saber la masa que queda de la cuerda a la izquierda y la masa a la derecha, para poder calcular las nuevas fuerzas en el punto P).

¿A qué fuerzas te refieres?. Creo que he entendido todo menos esta última cita.

[abuelillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

¿A qué fuerzas te refieres?. Creo que he entendido todo menos esta última cita.

La tensión surge de una composición de 4 fuerzas, 2 de accion y 2 de reaccion (o 2 fuerzas, 1 de accion y 1 de reaccion si solo se hace fuerza desde un extremo).

Digamos que tenemos un cohete, y un ingeniero loco le puso motores en los dos extremos y funcionando al reves, tirando en lugar de empujando (aunque el analisis seria igual si los motores empujasen, o si uno empujase y otro tirase, o incluso con un solo motor, solo cambiaria el signo de las fuerzas o algunas se volverian cero).
Pero el cohete tiene extension asi que realmente podriamos dividirlo en dos partes, digamos parte delantera A y parte trasera B, que estarian unidas, analicemos que pasa en el punto de union de las dos partes:
- Un motor tira de A, A tira de B con una fuerza $F_{a \to b}$, y B tira de A con una fuerza de reaccion $R_{b \to a}$ de la misma magnitud: $F_{a \to b} = - R_{b \to a}$.
- Un motor tira de B, B tira de A con una fuerza $F_{b \to a}$, y A tira de B con una fuerza de reaccion $R_{a \to b}$ de la misma magnitud: $F_{b \to a} = - R_{a \to b}$
Asi que tenemos 4 fuerzas: 2 aplicadas en A y 2 aplicadas en B:

Si sumamos las igualdades::
$F_{a \to b} = - R_{b \to a}$
$F_{b \to a} = - R_{a \to b}$
Y reorganizamos los términos, para que las fuerzas aplicadas sobre el mismo objeto estén en el mismo lado del signo igual, llegamos a que:
$F_{b \to a} + R_{b \to a} = - ( F_{a \to b} + R_{a \to b} )$

Y si consideramos que la union entre las dos partes del cohete es suficientemente pequeña la podemos aproximar por un punto o lo que seria lo mismo en este caso por una cuerda ideal sin masa, de modo que:
Tension en el punto de union = Suma fuerzas aplicadas en A = - Suma fuerzas aplicadas en B

Y como se puede apreciar si estamos tirando, las fuerzas de tension van hacia adentro, lo que significa, que si la cuerda es flexible, el hecho de tirar de los dos extremos hace que los objetos que estan tirando de la cuerda se junten, normalmente esto no pasa porque alguna fuerza externa como la fuerza de rozamiento contra el suelo o la fuerza que empuja a los motores, lo impide.

[Marcos Castillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

(claro que ahora ya no sabremos las fuerzas en el punto P, tenemos que saber la masa que queda de la cuerda a la izquierda y la masa a la derecha, para poder calcular las nuevas fuerzas en el punto P).

También podemos pensar que en el punto P se concentra toda la masa de la cuerda. Las dos tensiones en P darían aceleración, y serían la reacción a las fuerzas que realizan las dos personas. Así que ya tenemos 4 fuerzas, dos de acción y dos de reacción.

[abuelillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

Pero en ese caso la tension a la izquierda de P es distinta que a la derecha, y luego habria 8 fuerzas, 4 a la izquierda y 4 a la derecha.
Y estariamos en el siguiente caso:
A --- cuerda ideal --- P--- cuerda ideal --- B

[Marcos Castillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

Pero en ese caso la tension a la izquierda de P es distinta que a la derecha, y luego habria 8 fuerzas, 4 a la izquierda y 4 a la derecha.
Y estariamos en el siguiente caso:
A --- cuerda ideal --- P--- cuerda ideal --- B

¿No serían 6, dos por cada cuerpo?.

Por otra parte, me he cruzado con unas ecuaciones para describir este movimiento, en el foro de la uned, y no las entiendo. Son de un profesor, así que hasta mañana no hay forma de que me lo aclare. Describen la situación del ejemplo de este hilo para el caso en el que contamos con la masa de la cuerda, "concentrando" todo el peso en el punto medio de la cuerda. Cito:

"Utilizando módulos (persona 1 a la izquierda, persona 2 a la derecha y vectores positivos apuntando hacia la derecha, negativos a la izquierda)

$T_1-F_{r,1}=T_1-m_1g\mu=m_1a$

$F_{r,2}-T_2=m_2g\mu-T_2=-m_2a$

$T_2-T_1=ma$ ($m$ es la masa total de la cuerda)"

Se ha equivocado cuando ha escrito $-m_2a$, ¿no?. La aceleración sólo tiene un sentido, hacia la derecha, creo.

$F_{r,1}$ y $F_{r,2}$ son la fuerza con la que tiran las dos personas, ¿me lo puedes confirmar?. Pienso que no ha tenido en cuenta la posible fricción, es decir, sólo ha contado con rozamiento estático.

¡Un saludo!

[arivasm]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

En primer lugar, las tensiones en las cuerdas no tienen por qué tener módulo constante a lo largo de las mismas. De hecho, si se trata de cuerdas con masa la tensión irá variando. El motivo está en que a cada elemento de la cuerda le debemos aplicar la segunda ley de Newton y, si a su izquierda la tensión vale T y a su derecha T+dT, la segunda ley de Newton nos lleva a que dT = dm a. Si dm es nulo, entonces dT=0 y tenemos la situación típica en la que podemos hablar de "tensión de la cuerda". Pero si los elementos de la cuerda tienen masa entonces habrá una variación dT en la tensión a medida que se va recorriendo la cuerda. Por ese motivo el profesor escribe dos tensiones diferentes, una para cada extremo.

Dichas tensiones en los extremos son, por la ley de acción y reacción iguales a las fuerzas que ejercen las personas sobre los extremos de la cuerda. Para verlo basta con que consideres un punto de la cuerda (sin masa) en cada extremo: estará sometido a dos fuerzas iguales (por que dm a = 0 debido a que dm=0), que son la tensión de la cuerda en dicho punto y la fuerza que ejerce la persona correspondiente.

Las otras dos ecuaciones son las que corresponden a las personas. Entiendo que las fuerzas de rozamiento no son las que ejercen las personas, que como dije antes serían iguales las tensiones, sino las que el suelo ejerce sobre ellas. Las ecuaciones están justificadas al pensar en que la suma de las fuerzas que se ejercen sobre ellas (rozamiento y las ejercidas por las cuerdas) es igual a su masa por su aceleración.

Al considerar la cuerda como rígida, toda ella tendrá la misma aceleración. Si suponemos que las personas son también objetos rígidos, también deberán poseer esa misma aceleración (evidentemente, en la realidad eso no tiene por qué ser así: podemos mover los extremos de nuestras manos con diferente aceleración del resto de nuestro cuerpo).

Sí es cierto que la segunda ecuación tiene un error con el signo menos del lado derecho.

Pero entiendo que también podría haber errores en los signos de las fuerzas de rozamiento: puesto que se oponen al movimiento, como las dos personas se mueven en el mismo sentido (repito la consideración de objetos rígidos para ellas) las dos fuerzas de rozamiento tendrán el mismo sentido; por tanto, si el movimiento es hacia la derecha (pero nada impide que sea hacia la izquierda, y que la aceleración lo sea hacia la derecha -el sistema estaría frenando-) la segunda ecuación debería ser $-F_{r,2}-T_2=m_2 a$.

[abuelillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

¿No serían 6, dos por cada cuerpo?.

El problema inicial que planteabas era buscar las fuerzas de accion y reaccion, en ese caso serian 4, lo que pasa es que según el problema que se intente resolver, no siempre es necesario desglosar todas las fuerzas, por ejemplo si puedes calcular la tension directamente no necesitas desglosar esa cantidad en dos fuerzas separadas (accion y reaccion) porque las ecuaciones ya dan el total de tension, que es lo que interesa calcular.

Se ha equivocado cuando ha escrito $-m_2a$, ¿no?. La aceleración sólo tiene un sentido, hacia la derecha, creo.

Que el termino tenga puesto un signo negativo, no significa necesariamente que la aceleracion sea negativa, solo significa que el resultado de hacer ciertas operaciones es igual a menos la masa por la aceleracion. Puedes multiplicar ambos lados de la ecuacion por -1, así ese lado pasa a ser positivo, y la ecuacion sigue siendo valida.

¿No serían 6, dos por cada cuerpo?.
$F_{r,1}$ y $F_{r,2}$ son la fuerza con la que tiran las dos personas, ¿me lo puedes confirmar?. Pienso que no ha tenido en cuenta la posible fricción, es decir, sólo ha contado con rozamiento estático.

Entiendo que deberian ser las fuerzas de rozamiento dinamico, ya que el ejercicio presupone que todo el conjunto se esta moviendo con la misma aceleracion en determinado sentido.

PD: De todas formas tal como esta planteado el problema, realmente no tiene mucho sentido. En esa situacion es imposible que el sistema se mueva hacia el mismo lado con la misma aceleracion. No hay forma de que una persona tirando de la cuerda se pueda mover hacia atras, necesitaría una fuerza externa a ella misma, asi que o empieza a soplar inimaginablemente fuerte para conseguir una fuerza de reaccion externa a ella, o clava los pies en el suelo para que la fuerza de reaccion del suelo la mueva, y en ese caso adios al planteamiento, ya que deja de existir la fuerza de friccion dinamica con el suelo.

[Marcos Castillo]

Re: Tensión y tercera ley de Newton

¡Entendido!


Pero sólo me he aproximado. Sé que la realidad para este caso es bastante más compleja.


El nivel que nos exigen es de bachiller. No debería ser así para un grado en matemáticas.


Voy a seguir adelante con el temario.


¡Muchas gracias!