2o ciclo Ejercicio de la corrección de Einstein a la ecuación de la gravitación

[PedroAAI]

La teoría de la gravitación de Einstein implica una pequeña corrección a la fuerza newtoniana. Según ella, la fuerza gravitatoria producida por un gran cuerpo de masa M sobre un planeta de masa m que se mueve con velocidad v en una órbita circular de radio r es:
$F = \frac{GMm}{r^2} (1 +\frac{6v^2}{c^2} )<br />$
a) Calcular la corrección al período de la órbita

El problema es que no fui capaz de hacer este apartado. Lo que hice fue partiendo de que la órbita es circular igualé la fuerza a la fuerza centripeta:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Despejando T me da una expresión para la corrección de Einstein.
Si igualo la fuerza de Newton a la centrípeta me da la fórmula conocida:
$T_0^2=4 \pi^2 \frac{r^3}{M_T G}$

La solución que me da el profesor es:
$\Delta T = T - T_0 = 12 \pi^2 \frac{r^2}{T_0 c^2}$

Que es distinta a la que me sale, a alguien se le ocurre otra forma de hacerlo o porque está mal lo que hice (si es que lo está)?

Gracias de antemano

[arivasm]

Re: Ejercicio de la corrección de Einstein a la ecuación de la gravitación

Al despejar el período encontrarás que

$$\dst T=T_0\sqrt{1-\frac{24\pi^2r^2}{c^2T_0^2}}$$

(puedes llegar aquí de varias formas; lo más cómodo es comenzar haciendo la substitución $\dst G\frac{M}{r}=\frac{4\pi^2 r^2}{T_0^2}$, además de la que pones $\dst v=\frac{2\pi r}{T}$).

Para llegar a la fórmula que te dice tu profesor haz uso del desarrollo de Taylor de primer orden $\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x$, con lo que (1) pasa a ser

$$\dst T=T_0\left(1-\frac{12\pi^2r^2}{c^2T_0^2}\right)$$

Por cierto, el resultado final es el que pones pero con un signo menos delante, o bien no se trata de $T-T_0$, sino de $T_0-T$


Añado: mientras escribía este texto he visto que el ejercicio está resuelto en esta web: http://www.lawebdefisica.com/problem...l1rc-sol40.php