Secundaria Esferas - Resorte

[luiseduardo]

Dos esferas pequenas están soldadas a un resorte cuya longitud natural es L0 = 0,62m. En el instante mostrado, se mueven sobre un plano horizontal liso. Determine la mínima separación entre ambas esferas (K = 125 N/cm)



Mi intento:
Escribí la energía total del sistema y pensé en derivar para obtener la frecuencia angular de rotación, pero después de eso no sé qué hacer para encontrar la distancia mínima. Puede resolver este problema de esta manera? Gracias por la ayuda.

[arivasm]

Re: Esferas - Resorte

Yo creo que lo más sencillo es recurrir al sistema de referencia (SR) del centro de masa (cdm). En él las dos partículas constituyen un oscilador armónico lineal, de manera que tienes garantizado que en las posiciones de distancia relativa mínima la energía cinética es nula, lo que equivale a afirmar que el término elástico es igual a la energía mecánica en ese SR.

Por otra parte, la energía cinética del sistema en el SR del cdm se relaciona con la del SR del laboratorio mediante $K_{lab}=K_{cdm}+\frac{1}{2}(m_1+m_2)V^2$, donde V es la velocidad del cdm en el SR del laboratorio. Como en la posición del dibujo el término elástico es nulo, tienes que $\frac{1}{2}k(L_0-L)^2=K_{cdm}=K_{lab}-\frac{1}{2}(m_1+m_2)V^2$, con lo que puedes obtener inmediatamente la respuesta.

[luiseduardo]

Re: Esferas - Resorte

Good idea, thanks

[Breogan]

Re: Esferas - Resorte

Hola:

Convención: Velocidades verticales positivas hacia arriba, y velocidades horizontales positivas hacia la derecha.

Cuando reduzco las velocidades al centro de masa obtengo que este se mueve con una velocidad horizontal de 3,47 m/s y una velocidad vertical de 12.01 m/s respecto del laboratorio. Respecto del centro de masa la masa m1 tiene velocidades de -12,5 m/s y -0,03 m/s horizontal y verticalmente respectivamente; la masa m2 tiene velocidades de 12,5 m/s y 0,03 m/s horizontal y verticalmente respectivamente.

Mi duda es que el sistema me da que tiene una energía de rotación respecto de su centro de masa (que arivasm no tubo en cuenta en su post), y no se si esto esta bien o es un error en mi deducción, o hay que tomarlo cero por aproximación, o etc.

Gracias.

Suerte

[arivasm]

Re: Esferas - Resorte

Gracias Breogán. Tienes razón.

El error de mi mensaje anterior está en que en la posición de máxima aproximación habrá una energía cinética no nula, que, así a bote pronto, se puede introducir considerando la conservación del momento angular. Ahora no tengo mucho tiempo. Volveré a este hilo en cuanto pueda y pondré la corrección que creo que se debe hacer.

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Después de darle algunas vueltas se me ocurre que lo mejor será recurrir al enfoque de un problema de dos cuerpos: el sistema equivale a un único cuerpo de masa igual a la masa reducida y sometida a la fuerza de elasticidad del resorte. Es decir, si llamamos $\vec r$ a la posición relativa de la masa 2 respecto de la 1 y denotamos con $\dst\mu= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ a la masa reducida, el problema equivale a $\mu\ddot{\vec r}=\vec F(\vec r)$.

Por tanto, el problema equivale a plantearse que una masa de valor $\mu = \frac 4 5 \ \rm kg$ unida a un resorte de constante k=125 N/m, está inicialmente a una distancia igual a la longitud natural del resorte, $L_0=0,62\ \rm m$, en el punto $(L_0,0)$ y moviéndose con una velocidad igual a la velocidad relativa entre la masa 2 y la 1, es decir, $\vec v_0=(10.62,-10.78)\ \rm m/s$.

El ejercicio quizá se vuelva más manejable si usamos coordenadas polares, $r$ y $\theta$.

La expresión para la energía mecánica es

$$\dst E=\frac{1}{2}\mu (\dot r^2+r^2\dot\theta^2)+\frac{1}{2}k(r-L_0)^2$$

mientras que la del momento angular es

$$J=\mu r^2\dot\theta$$

(le llamo J en vez de L para no confundirlo con la longitud del resorte). Al meter la conservación del momento angular en la energía tenemos que

$$\dst E=\frac{1}{2}\mu\dot r^2+\frac{J^2}{2\mu r^2}+\frac{1}{2}k(r-L_0)^2$$

.

Como la condición de máxima aproximación equivale a que $\dot r=0$ el valor correspondiente para r satisfará la ecuación

$$\dst \frac{J^2}{2\mu r^2}+\frac{1}{2}k(r-L_0)^2=E=\frac{1}{2}\mu v_0^2$$

Como $J=\mu L_0^2\dot\theta_0$, la expresión anterior equivale a

$$\dst \frac{L_0^4\dot\theta_0^2}{r^2}+\frac{k}{\mu}(r-L_0)^2=v_0^2$$

Por tanto, habrá que resolver la ecuación

$\dst L_0^2 v_{0,y}^2+\frac{k}{\mu}r^2(r-L_0)^2=r^2 v_0^2$

para lo que únicamente se me ocurre recurrir a métodos numéricos.

[felmon38]

Re: Esferas - Resorte

Este problema me tiene loco, pensando que es un problema a nivel de bachillerato. Primero intenté hallar una solución analítica, que sería lo lógico en el nivel en el que está propuesto, pero no la encontré, por lo que planteé. la segunda ley de Newton a cada masa obteniendo un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, las resolví numéricamente y la distancia mínima me salía negativa y no sé si me equivoqué en las operaciones o los datos estaban mal propuestos. De todas formas, como ese no podía ser el método exigido, lo abandoné.Leí el post primero de arivasm, en donde sugiere que se utilice un sistema de referencia unido a G y lo utilicé, pensando que me saldría un movimiento armónico simple, pero resulta que me salen dos grados de libertad y dos ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden , que naturalmente se pueden resolver numéricamente, pero que no puede ser la solución que se pide. Este debe ser uno de los pocos problemas no resueltos en este foro.¿Abandonamos?

[arivasm]

Re: Esferas - Resorte

Si no me he equivocado con los números, aplicando la expresión última que puse en mi mensaje anterior, la distancia mínima serían 0,446 m y la máxima 1,793 m.

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Se me olvidaba, el nivel de bachillerato de Luis Eduardo no es "normal". Creo recordar que él ya aclaró en otro hilo que está siguiendo (en Brasil) unos estudios especiales.