Otras carreras Dinámica de rotación

[Fonxito]

Llevo mucho tiempo intentando solucionar este problema.

Consigo hacer las ecuaciones de los hilos

2sa = sb

2va = vb

2aa = ab = 2 R

Obtengo la ecuación del bloque B:

mB · g - Tb = m· aB

Y aquí mi duda que no me deja terminar el ejercicio el análisis del cilindro A

El cilindro rueda sin deslizar entonces no se como interpretar la fuerza de rozamiento. Supongo que tengo que aplicar el momento de inercia del cuerpo, pero aun así me salen resultados extraños.

Gracias de antemano.

[visitante20160513]

Re: Dinámica de rotación

Al no haber rozamientos puedes aplicar el teorema de la conservación de la energía mecánica y suponer que la variación de dicha energía debe ser nula:

$-mgh+\displaystyle\frac{1}{2}\left(mv^2+9m\frac{v^2}{4}\right)=0$

siendo $h$ el desplazamiento de la masa B y $v$ su velocidad. Debes tener en cuenta que los desplazamientos de la masa A son la mitad que los desplazamientos de la masa B por la geometría del sistema. Puesto que dicha ecuación debe cumplirse para todos los valores de $h$ podemos derivarla respecto del tiempo con lo que obtenemos:

$-4mgv+13mva\displaystyle=0\qquad\Longrightarrow\qquad a=\displaystyle\frac{4g}{13}$

ecuación de la que se despeja la aceleración sin problemas.

Salu2

[Breogan]

Re: Dinámica de rotación

Hola:

Perdón por entrometerme en el hilo pero me gustaría expresar algunas dudas sobre su solución.

En realidad creo que si hay rozamiento, por eso el cilindro rueda; pero como no se desliza se puede inferir que la fuerza de rozamiento no realiza trabajo por lo cual si es aplicable la conservación de la energía mecánica, puede ser?

La conservación de la energía mecánica la podemos escribir como:

$\dst E_{p0} + E_{c0} = E_{pf} + E_{cf}$

o

$\dst \Delta E_p + \Delta E_c = 0$

El único cuerpo que varia su energía potencial es el cuerpo B, si ponemos el origen de coordenadas en la posición inicial de dicho cuerpo y con el eje de las y apuntando hacia arriba la variación de energía potencial quedara:

$\dst \Delta E_p = E_{pf} - E_{p0} = m_B \ g \ y - 0 = m_B \ g \ y$

La energía cinética inicial del conjunto sera igual a la suma de la energía cinética inicial de cada parte del sistema, las cuales son iguales a cero, y la final del conjunto sera la suma de las finales de cada parte: energía cinética de B + energía cinética de A + energía cinética de rotación de A, es decir:

$\dst \Delta E_c = E_{cf} - E_{c0} = E_{cf}$

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m_B \ v_B^2 + \frac 1 2 \ m_A \ v_A^2 + \frac 1 2 \ I_A \ \omega_A^2$

planteamos las relaciones que nos da el enunciado:

$\dst v_A = \frac {v_B} 2$

$\dst m_B = m \quad y \quad m_A = 9 m_B = 9 m$

$\dst I_A = m_A R_g^2 = 9 \ m \ \left( \frac R {\sqrt{3}} \right)^2 = \frac 9 3 \ m \ R^2$

$\dst \omega_A = \frac {v_A} R = \frac {v_B}{2R}$

reemplazando en la ecuación de la variación de la energía cinética queda:

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m \ v_B^2 + \frac 1 2 \ (9 m) \ \left( \frac {v_B} 2 \right)^2 + \frac 1 2 \ \left( \frac 9 3 \ m \ R^2 \right) \ \left(\frac {v_B} {2R} \right)^2$

$\dst \Delta E_c = \frac 1 2 \ m \ v_B^2 + \frac 9 8 \ m \ v_B^2 + \frac 9 {24} \ m \ v_B^2 = \left( \frac 1 2 + \frac 9 8 + \frac 9 {24} \right) \ m \ v_B^2$

$\dst \Delta E_c = 2 \ m \ v_B^2$

y por ultimo:

$\dst m \ g \ y + 2 \ m \ v_B^2 = 0$

$\dst g \ y + 2 \ v_B^2 = 0$

que me da distinto del resultado obtenido por Jabato, no se cual esta bien. Cualquiera de los dos resultados que este bien, el paso siguiente es el que señala Jabato, derivar la expresión anterior respecto del tiempo:

$\dst g \ \frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d}t } + 2 \ 2 \ v_B \ \frac{\mathrm{d}v_B }{\mathrm{d} t} = 0$

$\dst g \ v_B + 4 \ v_B \ a_B = 0$

$\dst a_B = - \frac g 4$

y

$\dst a_A = - \frac g 8$

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Hola:

En realidad creo que si hay rozamiento, por eso el cilindro rueda; pero como no se desliza se puede inferir que la fuerza de rozamiento no realiza trabajo por lo cual si es aplicable la conservación de la energía mecánica, puede ser?

Hola Breogan
Permítime una corrección conceptual:
Yo entiendo que esa fuerza de rozamiento imprescindible para que haya rodadura sí hace trabajo. ¿Como no va a hacerlo si tiene la misma dirección que el desplazamiento?.
Lo que sucede es que su trabajo es igual a la variación de la energía cinética de rotación.

En cuanto al resultado, yo obtengo el mismo resultado que tú. Y lo que parece ocurrir con el resultado de Jabato es que, en el cálculo de la energía cinética de rotación, ha utlizado el momento de inercia de un cilindro sin darse cuenta de que el enunciado le estaba dando un radio de giro para calcular el moento de inercia.

saludos

[Fonxito]

Re: Dinámica de rotación

Al no haber rozamientos puedes aplicar el teorema de la conservación de la energía mecánica y suponer que la variación de dicha energía debe ser nula:

$-mgh+\displaystyle\frac{1}{2}\left(mv^2+9m\frac{v^2}{4}\right)=0$

siendo $h$ el desplazamiento de la masa B y $v$ su velocidad. Debes tener en cuenta que los desplazamientos de la masa A son la mitad que los desplazamientos de la masa B por la geometría del sistema. Puesto que dicha ecuación debe cumplirse para todos los valores de $h$ podemos derivarla respecto del tiempo con lo que obtenemos:

$-4mgv+13mva\displaystyle=0\qquad\Longrightarrow\qquad a=\displaystyle\frac{4g}{13}$

ecuación de la que se despeja la aceleración sin problemas.

Salu2

Gracias por vuestros comentarios, pero:

El problema creo que está propuesto para utilizar dinámica (para el bloque B y el cilindro A), cinemática (para las cuerdas) y momento de inercia (Para obtener la fuerza de rozamiento, la cual nos da como dato el radio de giro centroidal). No se si es buen camino pero aplicando el principio de reacciones se puede llegar a obtener la ecuación

F_roz·R=I·\alpha

Como I=m·\rho^2

Deducimos que : F_roz·R=m·\rho^2·\alpha


Al conseguir la fuerza de rozamiento se sustituye en la ecuación dinámica del cilindro

T-F_roz=m·a_A

¿Es posible que sea así?

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Gracias por vuestros comentarios, pero:

El problema creo que está propuesto para utilizar dinámica (para el bloque B y el cilindro A), cinemática (para las cuerdas) y momento de inercia (Para obtener la fuerza de rozamiento, la cual nos da como dato el radio de giro centroidal). No se si es buen camino pero aplicando el principio de reacciones se puede llegar a obtener la ecuación

F_roz·R=I·\alpha

Como I=m·\rho^2

Deducimos que : F_roz·R=m·\rho^2·\alpha

Al conseguir la fuerza de rozamiento se sustituye en la ecuación dinámica del cilindro

T-F_roz=m·a_A

¿Es posible que sea así?

El método de Jabato (salvo su error de no considerar el radio de giro) y Breogán es correcto.
Naturalmente que se puede hacer con las ecuaciones de Newton:

Estas ecuaciones serían:

Para el cuerpo B (tomando como sentido positivo el del movimiento):

$m_B.g -T =m_B.a_B$

Para la polea móvil (sin masa):

$T + T - T_1 =0$

Para el cilindro A:

Ecuación de traslación: $T_1 -F_{roz} = m_A.a_A$

Ecuación de rotación (respecto al centro de masas): $R.F_{roz} = m_A. \rho^2.\alpha$

Ecuaciones de relación:

$m_B = m; m_A = 9.m$

$a_B = 2.a_A$
$a_A = \alpha. R$

Al resolver estas ecuaciones se llega al mismo resultado que obtuvo Breogán

[felmon38]

Re: Dinámica de rotación

Un inciso Oscar,

Yo entiendo que esa fuerza de rozamiento imprescindible para que haya rodadura sí hace trabajo.

sin embargo, estoy de acuerdo con Breogan porque el diferencial del trabajo que realiza una fuerza aplicada a una partícula es el producto escalar de la fuerza por el ds de la partícula,como se define al demostrar el teorema de la energía cinética. En el caso de un sólido se aplica el mismo concepto, al discretizarlo en un sistema de partículas. Como ejemplo , el trabajo que realiza la fuerza que el filo de un cuchillo ejerce sobre la muela no es cero y sin embargo el desplazamiento del cuchillo es nulo.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Un inciso Oscar,

sin embargo, estoy de acuerdo con Breogan porque el diferencial del trabajo que realiza una fuerza aplicada a una partícula es el producto escalar de la fuerza por el ds de la partícula,como se define al demostrar el teorema de la energía cinética. En el caso de un sólido se aplica el mismo concepto, al discretizarlo en un sistema de partículas. Como ejemplo , el trabajo que realiza la fuerza que el filo de un cuchillo ejerce sobre la muela no es cero y sin embargo el desplazamiento del cuchillo es nulo.
Saludos

Hola Felmón38
Efectivamente que $dW = \vec{F}.\vec{ds}$
Y para que este trabajo sea nulo al pasar de un punto a otro los vectores $\vec{F}$ y $\vec{ds}$ tendrían que ser mutuamente perpendiculares durante todo el recorrido y este no me parece que sea el caso de un cilindro rodando.

De todas formas, reconozco que tendré que revisarme estos conceptos. Pero adelanto aquí mi razonamiento por si vieras algo que no se pueda aplicar:

$dW_{roz}= \vec{F}_{roz}. \vec{ds}= F_{roz}.ds.cos \pi = -F_{roz}.ds$
Este signo menos debe indicar que es un trabajo de signo opuesto al de las otras fuerzas.

Tomando ahora la ecuación de la rotación (respecto al centro de masa) y multiplicando por $ds$:
(Y adelanto que aquí tengo la duda de si podemos utilizar la ecuación de la rotación en esta forma escalar y no en la forma vectorial. Para el caso de este problema debiera de valer porque no hai ningún cambio de dirección en los vectores):
$\dst R.F_{roz}.ds= I.\alpha.ds= I.\frac{d\omega}{dt}.ds=I.d\omega.\frac{ds}{dt}=I.v.d\omega= I.\omega.R.d\omega$

Cancelando el radio $R$: $\dst F_{roz}.ds=I.\omega.d\omega$

O sea: $\dst -W_{roz}= \int -dW_{roz} = \int F_{roz}.ds=\int I.\omega.d\omega= \frac{1}{ 2}.I.\omega^2 - \frac{1}{2 }.I.\omega_0^2$

Revisaré si al introducir los vectores en estas ecuaciones los resultados no concuerdan

[felmon38]

Re: Dinámica de rotación

Hola Oscar, "...Y para que este trabajo sea nulo al pasar de un punto a otro los vectores y tendrían que ser mutuamente perpendiculares durante todo el recorrido y este no me parece que sea el caso de un cilindro rodando.", también se puede anula el
dW cuando el ds del punto material del cilindro que está haciendo contacto y sobre el que se aplica la fuerza del suelo, sea nulo, que es el caso que nos ocupa de rodadura.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Hola Felmon38:
Reconozco que tengo que revisar estos conceptos.
Pero yo ese $\vec{ds}$ lo veo tangente a la circunferencia del cilindro, incluso en el caso de que solo haya rotación y no rodadura. Y no acierto a ver con que razonamiento se puede suponer que es nulo.

Y pensemos en un cilindro que solo pueda girar en torno a su eje y una fuerza tangencial para hacerlo girar...(por ejemplo, una polea cilíndrica con una cuerda enrollada de la que tiramos con una fuerza F). ¿Acaso esta fuerza no hace trabajo? Efectivamente que lo hace y que ese trabajo será igual a la variación de la energía cinética de rotación.
¿No sería totalmente similar este caso y el de esta fuerza de rozamiento de rodadura? Puede que lo este viendo equivocadamente, pero no acierto a ver en que.

Un saludo

[Fonxito]

Re: Dinámica de rotación

Ahora me concuerdan los resultados, efectivamente se puede realizar por ambos caminos y se obtienen los mismos resultados.

Muchas gracias!!

[visitante20160513]

Re: Dinámica de rotación

Creo que cometí un error imperdonable en mi desarrollo, olvidé incluir la energía de rotación del cilindro, consideré solo la energía cinética de traslación del cilindro, pero además hay que tener en cuenta que el cilindro está girando y como consecuencia de ello absorbe una cierta energía cinética. La solución es parecida a la que expuse antes pero en la ecuación de partida hay que tener en cuenta además la energía cinética de rotación del cilindro. Ahora no tengo tiempo de arreglarlo, pero en cuanto pueda hago las correcciones oportunas y aclaro la cosa.

Lo siento.
Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Creo que cometí un error imperdonable en mi desarrollo, olvidé incluir la energía de rotación del cilindro, consideré solo la energía cinética de traslación del cilindro, pero además hay que tener en cuenta que el cilindro está girando y como consecuencia de ello absorbe una cierta energía cinética.
Salu2

Hola Jabato:
¿Como le va a tu explorador? Seguro que descansando.

El error que cometiste no ha sido el de no considerar la energía cinética de rotación, sino el de tomar como momento de Inercia para la energía de rotación $\dst I_A = \frac{1}{2}m_A.R_A^2 = \frac{1}{2}.9m.R^2$ (que es el momento de inercia de un cilindro homogéneo) en lugar de $\dst I_A = m_A.\rho^2 = 9m.\frac{R^2}{3}=3.m.R^2$ (puesto que el enunciado da el radio de giro).
El típico error de leer con prisa
Un saludo.

P.Edit:
Y ya ves...también aquí nos traemos un debate por culpa tuya: el de saber si hay o no hay trabajo de rozamiento. O dicho de otra forma: si la fuerza de rozamiento hace o no hace trabajo.

[visitante20160513]

Re: Dinámica de rotación

No, en este ejercicio no deben considerarse rozamientos, pero no porque no existan sino porque el enunciado no da datos para tenerlos en cuenta. Existe un rozamiento al deslizamiento y un rozamiento a la rodadura, y por lo tanto si el cilindro rueda sin deslizar debería presentar un rozamiento a la rodadura, que normalmente es mucho más pequeño que el de deslizamiento, por eso los humanos solemos poner ruedas a nuestros vehículos. Pero el enunciado no suministra datos para tener en cuenta ningún tipo de rozamiento.

La forma de trabajar con el rozamiento de rodadura es similar a la forma en que se hace con el rozamiento al deslizamiento, solo que los coeficientes que se obtienen en los ensayos son mucho menores.

Mi error fue no considerar la energía cinética de rotación del cilindro, lo se bien porque fui yo el que puso esa solución, la forma correcta de resolverlo por ese método hubiera sido ésta:

$-mgh+\displaystyle\frac{1}{2}\left(mv^2+9m\frac{v^2}{4}\right)+\displaystyle\frac{1}{2}I\omega_A^2=0$

en la que $W_r=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega_A^2$ es la energía cinética de rotación del cilindro. Habría que tener en cuenta a su vez dos cuestiones:

1ª).- Que la masa A se desplaza a velocidad mitad que la masa B por el efecto de la polea. Por lo tanto: $2v_A=v_B$

2ª).- Que la velocidad de rotación del cilindro es proporcional a su velocidad porque el enunciado dice que el cilindro rueda sin deslizar. Por lo tanto: $\omega_A=v_A/r_A$


Ambas cuestiones nos permiten obtener $W_r$ y completar la ecuación anterior, resolviendo en forma similar a como lo hice en el mensaje original, es decir derivando respecto del tiempo.

NOTA: Observa que lo que hay en esa ecuación dentro del paréntesis es solo la energía cinética de traslación del conjunto de ambas masas, pero faltaba además la energía cinética de rotación del cilindro que es lo que añadí en este último mensaje.
.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Dinámica de rotación

Hola Jabato:
Interpreté mal la ecuación que pusiste. Creí que, siendo v la velocidad de traslación del cilindro, el término $\dst 9m.\frac{v^2}{8}$ lo traías de la $\dst \frac{1}{2}I.w^2$ y que lo que te faltaba era la traslación y corregir la velocidad de la otra masa. . Tienes razón. Disculpas

- - - Actualizado - - -

No, en este ejercicio no deben considerarse rozamientos, pero no porque no existan sino porque el enunciado no da datos para tenerlos en cuenta. Existe un rozamiento al deslizamiento y un rozamiento a la rodadura, y por lo tanto si el cilindro rueda sin deslizar debería presentar un rozamiento a la rodadura, que normalmente es mucho más pequeño que el de deslizamiento, por eso los humanos solemos poner ruedas a nuestros vehículos. Pero el enunciado no suministra datos para tener en cuenta ningún tipo de rozamiento.

La forma de trabajar con el rozamiento de rodadura es similar a la forma en que se hace con el rozamiento al deslizamiento, solo que los coeficientes que se obtienen en los ensayos son mucho menores.

Hola de nuevo: (A Jabato, a Breogan y a felmon38)
Matizando un poco sobre el rozamiento a la rodadura: El llamado rozamiento a la rodadura es un par o momento que se opone al giro debido a que el punto de aplicación de la normal se desplaza respecto del centro de gravedad por la deformación de la rueda y depende de la geometría de la deformación y no de la naturaleza física y química de las superficies en contacto. Y, aunque he visto libros que substituyen este momento de la fuerza normal por el momento de una fuerza ficticia de rozamiento a la rodadura introduciendo para ello el correspondiente coeficiente de rozamiento a la rodadura, no conviene olvidar que (al igual que la fuerza centrífuga) se trata de un truco de cálculo, no de una realidad física. Y efectivamente, en este enunciado no dice nada de esa deformación ni de esa ficticia fuerza de rozamiento a la rodadura y, por lo tanto, se puede hablar de que no hay fuerzas de rozamiento (de deslizamiento). Pero, en lo que sigo entendiendo, es que la fuerza de rozamiento (de rozamiento estático) que hace posible la rodadura sí que hace trabajo y ese trabajo es igual a la variación de la energía cinética de rotación.

Saludos