Secundaria Tirando de una niña en un trineo

[Marcos Castillo]

Ojo, errores en este texto solucionadas en posteriores mensajes!!
Hola. Tengo la solución a un ejercicio, pero me quedan dudas. Dice así:

Una niña de masa $m_C$ está sentada en un trineo de masa $m_T$, situado en un estanque helado. El trineo se empuja con una fuerza horizontal $\vec{F}_{ap}$. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre la niña y el trineo son $\mu_e$ y $\mu_c$, respectivamente.

(a) Determinar el valor máximo de $F_{ap}$ para el cual la niña no se desliza respecto al trineo.

(b) Determinar la aceleración del trineo y la niña cuando $F_{ap}$ es superior a este valor máximo.

Solución:

(a) La única fuerza que acelera a la niña es la fuerza de rozamiento que ejerce el trineo sobre ella. La solución consiste en determinar $F_{ap}$ cuando esta fuerza es estática y máxima. Para hacerlo, hay que aplicar $\sum\vec{F}=m\vec{a}$ a la muchacha y despejar la aceleración cuando la fuerza de rozamiento estática es máxima. Luego, aplicar $\sum\vec{F}=m\vec{a}$ al trineo y despejar $F_{ap}$.

El diagrama de fuerzas para la niña es el siguiente: $\vec{f}_{TC}$, el rozamiento del trineo sobre la niña; $\vec{F}_{TCn}$, la fuerza normal del trineo sobre la niña; y $m_C\vec{g}$, el peso de la niña.

El diagrama de fuerzas para el trineo es el siguiente: $\vec{F}_{ap}$, la fuerza con que se empuja el trineo; $\vec{f}_{CT}$, la fuerza de rozamiento de la niña sobre el trineo; $\vec{F}_{ITn}$, la fuerza normal ejercida por el hielo sobre el trineo; $m_T\vec{g}$, el peso del trineo; y $\vec{F}_{CTn}$, la fuerza normal que ejerce la niña sobre el trineo, equivalente al peso de la niña.

Se aplica $\sum{F_x}=ma_x$ al trineo: $F_{ap}-f_{CTe\;\mbox{max}}=m_{T}a_{Tx}$;

Se aplica $\sum{F_y}=ma_y$ a la niña: $\vec{F}_{TCn}-m_{C}g=0$, y por tanto $\vec{F}_{TCn}=m_{C}g=0$. Por otra parte $f_{TCe\;\mbox{max}}=\mu_{e}F_{TCn}$, así que $f_{TCe\;\mbox{max}}=\mu_{e}m_{C}g$.

Se aplica $\sum{F_x=ma_x}$ a la niña y se obtiene la aceleración: $f_{TCe\;\mbox{max}}=m_{C}a_{Cx}$ y por tanto $\mu_{e}m_{C}g=m_{C}a_{Cx}$, es decir, $a_{Cx}=\mu_{e}g$.

Se igualan los módulos de cada par de fuerzas 3LN, y se expresan las relaciones entre las aceleraciones: $F_{TCn}=F_{CTn}$; $f_{TCe\;\mbox{max}}=f_{CTe\;\mbox{max}}$; y $a_{Cx}=a_{Tx}=a_x$.

Se sustituye y se despeja: $F_{ap}-\mu_{e}m_{C}g=m_{T}\mu_{e}g$, luego $F_{ap}=(m_C+m_T)\mu_{e}g$.

(b) Se procede de forma similar para el caso de la niña. Sin embargo, en este apartado, $F_{ap}$ viene dado y despejamos la aceleración del trineo:

Se igualan las magnitudes de cada par de fuerzas 3LN y se expresa el cambio en la relación entre aceleraciones debido a que ahora no se da la restricción de ausencia de deslizamiento mutuo: $F_{TCn}=F_{CTn}=F_n$; $f_{TCc}=f_{CTc}=f_c$; y $a_{Cx}<a_{Tx}$.

Se obtiene la fuerza de rozamiento cinética: $f_c=\mu_c F_n$, es decir, $f_c=\mu_c m_C g$

Se aplica $\sum{F_x=ma_x}$ a la niña: $f_c=m_C a_{Cx}$. Por tanto, operando de forma similar al apartado (a), $\mu_c m_C g=m_C a_{Cx}$. Su aceleración será $a_{Cx}=\mu_{c}g$.

Se aplica $\sum{F_x=ma_x}$ al trineo, y se despeja la aceleración: $F_{ap}-f_c=m_T a_{Tx}$. Por tanto $F_{ap}-\mu_c m_C g=m_T a_{Tx}$, por tanto $a_{Tx}=\dst\frac{F_{ap}-\mu_c m_C g}{m_T}$.

Las dudas son:

En este ejercicio se considera que no existe rozamiento entre el hielo y el trineo, ¿no?.
La aceleración de la niña en (b), ¿es respecto al trineo?. Es que me llama la atención que no dependa de la fuerza aplicada al trineo. Es como si fuera una constante.
La aceleración del trineo en (b), ¿es respecto al hielo?.
Una vez en movimiento el trineo, ¿se va a detener en algún momento?. Es que si pienso en ambos como una única partícula, creo que no se detiene nunca. Permanecería con aceleración constante hasta llegar al borde del estanque.

¡Un saludo!

[oscarmuinhos]

Re: Tirando de una niña en un trineo

Consideraciones previas:
-como sistema de referencia puedes tomar el que quieras, aunque si es inercial te será más fácil de entender y de manejar (a mi, por lo menos, me sucede así, aunque reconozco que no estoy nada práctico en el manejo de sistemas de referencia no inerciales, porque siempre que puedo escapo de ellos).
-La elección del sistema de referencia, implícita o explicitamente, tienes que hacerla al inicio de la resolución, porque no es posible describir un movimiento sin sistema de referencia.

Dicho esto,
1) en lo que veo en tu desarrollo todo está referido a un sistema en reposo, por lo tanto, tendrá que ser algún punto del hielo, tanto para la niña como para el trineo.
2) no te da coeficiente de rozamiento alguno entre el trineo y el hielo, por lo tanto es de lógica suponer que no hay;
3) cuando la niña desliza sobre el trineo, la fuerza que arrastra a la niña sobre el trineo es una fuerza de rozamiento cinética o dinámica y esta solo depende del coeficiente cinético de rozamiento y de la normal. Por lo tanto, la aceleración de la niña (respecto al hielo) para nada depende de la fuerza aplicada al trineo.

[felmon38]

Re: Tirando de una niña en un trineo

Hola:

En este ejercicio se considera que no existe rozamiento entre el hielo y el trineo, ¿no?.

Tiene pinta de que sí

La de la niña en (b), ¿es respecto al trineo?. Es que me llama la atención que no dependa de la fuerza aplicada al trineo. Es como si fuera una constante.

Cuando se aplica la ecuación f=m.a, la aceleración es respecto del sistema inercial que si no te dicen lo contrario lo lógico es que se tome la pista de hielo, la Tierra. Sobre la niña actúa la fuerza de rozamiento del trineo, con su valor máximo N.$\mu$ . Depende de alguna manera de la fuerza exterior ya que si es menor no hay deslizamiento y la dependencia es directa

La aceleración del trineo en (b), ¿es respecto al hielo?.

Sí, claro.

Una vez en movimiento el trineo, ¿se va a detener en algún momento?. Es que si pienso en ambos como una única partícula, creo que no se detiene nunca. Permanecería con aceleración constante hasta llegar al borde del estanque.

Efectivamente, se moverá con velocidad constante ( has puesto con aceleración en lugar de velocidad.)


Saludos

[Marcos Castillo]

Re: Tirando de una niña en un trineo

Hola, felmon38 y oscarmuinhos. Perdonad que os responda con otra pregunta. Todo lo demás me ha quedado claro: ¿Que fuerza hace falta ejercer al trineo para que la niña se deslice sobre el mismo y acabe en el hielo?. Existe una relación directa entre la aceleración del trineo y la de la niña: si $F_{ap}=(m_C+m_T)\mu_{e}g$, tanto el trineo como la niña no se mueven. Si $F_{ap}$ es superior a este valor, sobre la niña se ejerce una aceleración $a_{Cx}=\mu_{c}g$. Pero, ¿cuál es el valor mínimo de $F_{ap}$ para que la niña literalmente se quede donde está?; y, en este caso, ¿cuál es el diagrama de fuerzas para la niña?. Y la última pregunta: según la tercera ley de Newton, toda fuerza ejercida sobre un cuerpo tiene su réplica de igual módulo pero de sentido contrario. Sin embargo no veo la réplica a $\vec{F}_{ap}$ en el esquema de fuerzas que se dibuja en el libro de texto.

¡Un saludo!

[oscarmuinhos]

Re: Tirando de una niña en un trineo

¿Que fuerza hace falta ejercer al trineo para que la niña se deslice sobre el mismo y acabe en el hielo?. Existe una relación directa entre la aceleración del trineo y la de la niña: si $F_{ap}=(m_C+m_T)\mu_{e}g$, tanto el trineo como la niña no se mueven. Si $F_{ap}$ es superior a este valor, sobre la niña se ejerce una aceleración $a_{Cx}=\mu_{c}g$. Pero, ¿cuál es el valor mínimo de $F_{ap}$ para que la niña literalmente se quede donde está?; y, en este caso, ¿cuál es el diagrama de fuerzas para la niña?. Y la última pregunta: según la tercera ley de Newton, toda fuerza ejercida sobre un cuerpo tiene su réplica de igual módulo pero de sentido contrario. Sin embargo

¡Un saludo!

¿Que fuerza hace falta ejercer al trineo para que la niña se deslice sobre el mismo y acabe en el hielo?

La fuerza Fap que has calculado te dice que, mientras la Fap que apliques al trineo no alcance dicho valor, la niña no desliza sobre el trineo. Cualquier valor superior (aunque sea solo una mil millonésima parte) hará que la niña deslice sobre el trineo y acabará cayendo sobre el hielo.

Cuando aplicas esta fuerza sobre el trineo, este se mueve con una aceleración que se calcula con la correspondiente ecuación de la dinámica para el trineo movimiento. Lo que sucede es que la niña no se mueve respecto al trineo, o dicho de otra manera: La niña se desplaza con la misma aceleración que el trineo

¿El esquema de fuerzas cuando la niña desliza sobre el trineo?
Te lo pongo en una imagen:

No hace falta explicar cada fuerza pues el esquema es suficientemente explicativo

¿cuál es el valor mínimo de $F_{ap}$ para que la niña literalmente se quede donde está?
Si hay rozamiento cinético como es el caso, esta fuerza de rozamiento arrastrará a la niña comunicándole una aceleración que se calcula planteando la correspondiente ecuación de la dinámica. Lo que sucede ahora es que la aceleración con que se mueve la niña (aceleración medida respecto al hielo) es menor que la aceleración del trineo y por eso se va quedando retrasada hasta que se cae.

Sin embargo no veo la réplica a en el esquema de fuerzas que se dibuja en el libro de texto.
No aparece porque no la necesita tomar en consideración para resolver el problema. Estaría en tu mano si tu eres el que esta tirando de la cuerda.


Un saludo

[Breogan]

Re: Tirando de una niña en un trineo

Hola:

Confieso que no e leído todo el hilo, pero las siguientes afirmaciones y formulas no me convencen.

El enunciado dice:

Una niña de masa está sentada en un trineo de masa , situado en un estanque helado. El trineo se empuja con una fuerza horizontal . Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre la niña y el trineo son y , respectivamente.

Afirmaciones:

........: si $F_{ap}=(m_C+m_T)\mu_{e}g$, tanto el trineo como la niña no se mueven. ......

Esto es falso, según el enunciado el coeficiente $\mu_e$ es el coeficiente de rozamiento entre la niña y el trineo, no afecta al rozamiento del trineo sobre el hielo. Si asumimos que el coeficiente de rozamiento entre el trineo y el hielo es cero, la $F_{ap}$ necesaria para que el conjunto se mueva deberá cumplir solo que $F_{ap}>0$

..... Si $F_{ap}$ es superior a este valor, sobre la niña se ejerce una aceleración $a_{Cx}=\mu_{c}g$...

Esto es cierto, pero como viene de un error anterior es bueno aclararlo. No lo voy a demostrar, pero lo anterior es solo parte de lo siguiente:


$\dst \left\{ \begin{aligned} F_{ap} \leqslant (m_C + m_T) \ \mu_e \ g \ & \Rightarrow \ a_C = a_T \leqslant \mu_e \ g\\ F_{ap} \ > \ (m_C + m_T) \ \mu_e \ g \ & \Rightarrow \ a_T > a_C = \mu_c \ g \end{aligned}$

Y de aca sale la respuesta a tu pregunta:

¿cuál es el valor mínimo de para que la niña literalmente se quede donde está?

El valor mínimo es cero, pero supongo que la pregunta se refiere al valor máximo de $F_{ap}$, el valor maximo de F_ap para que la niña no se mueva sobre el trineo es $F_{ap} = (m_C + m_T) \ \mu_e \ g$ .

Espero haberte sacado alguna duda, si no es así volve a preguntar.

s.e.u.o.

Suerte

[Marcos Castillo]

Re: Tirando de una niña en un trineo

!Perfecto!. He añadido una primera frase a mi primer mensaje, advirtiendo de lo falso de algunas afirmaciones que hago.

Lo he entendido todo. Sólo me queda una duda, pero creo que corresponde a otro hilo. ¡Un saludo!

[oscarmuinhos]

Re: Tirando de una niña en un trineo

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