Secundaria Pendulo Asimov

[alejandrito29]

Hola

Tenemos una masa que se mueve en un aro como en la figura:

Claramente la aceleración en coordenadas esféricas es:

$\vec{a} =( R \dot{\theta}^2 - R \omega^2 \sin ^2 \theta) \hat{r} + (R \ddot{\theta} - R \omega ^2 \sin \theta \cos \theta ) \hat{\theta} + (2R \dot{\theta} \omega \cos \theta) \hat{\phi}$

La fuerza peso sería $-mg \hat{y}$, en la cual, debido a que está orientada solamente en el círculo (creo, favor confirmarme-lo), podemos descomponer el vector $\hat{y}$ en una componente radial y una angular theta. Pero, la componente radial se anula con la resistencia que ofrece el aro (creo), por tanto :

$-mg\hat{y}= -mg\cos(\frac{\pi}{2}-\theta) \hat{\theta} =-mg\sin(\theta) \hat{\theta}$

En el problema me piden obtener la ecuación de movimiento, y llego a la respuesta analizando la componente en theta, es decir

$R \ddot{\theta} - R \omega ^2 \sin \theta \cos \theta = -g\sin(\theta)$

Mi duda es (asumiendo que lo que escribí anteriormente lo hice bien, y si no es así, favor aclarar), ¿que ocurre con las otras componentes de la ecuación de movimiento?

$R \dot{\theta}^2 - R \omega^2 \sin ^2 \theta =0$
$2R \dot{\theta} \omega \cos \theta=0$

En particular me parece irracional la última ecuación que escribí, ya que, claramente ninguno de los términos es cero.

Saludos.

[oscarmuinhos]

Re: Pendulo Asimov

Hola alejandrito29
En lo que veo solo estás considerando la fuerza de la gravedad.
Pero el aro ejerce una fuerza de reacción sobre esa masa m que, si no hay rozamientos, tiene la dirección de la normal (dirección radial) y, además, hacia el centro.
Saludos

[alejandrito29]

Re: Pendulo Asimov

Hola alejandrito29
En lo que veo solo estás considerando la fuerza de la gravedad.
Pero el aro ejerce una fuerza de reacción sobre esa masa m que, si no hay rozamientos, tiene la dirección de la normal (dirección radial) y, además, hacia el centro.
Saludos

Pero creo la fuerza de reacción (de dirección radial) se anula con la componente radial de la fuerza peso.

[felmon38]

Re: Pendulo Asimov

El aro ejerce una fuerza sobre m, aunque, en el plano perpendicular a la tangente al aro. Por lo que proyectando la ecuación fundamental de la dinámica sobre esta dirección, se obtiene la ecuación diferencial del movimiento (ya que es nula la proyección de esta fuerza en esa dirección) y proyectando en las otras dos direcciones, se obtiene el valor de esta fuerza.

[oscarmuinhos]

Re: Pendulo Asimov

Hola alejandrito29.
En este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...-aro-rotatorio tienes un debate sobre el mismo problema. En este hilo la discusión se centro en el formalismo Lagrangiano, pero en el post #14 tienes una imagen donde puedes ver el esquema de fuerzas (en la imagen, falta la masa en el peso y en la fuerza centrípeta pero se entiende) y la dirección de la aceleración centrípeta que, como puedes ver, no tiene la dirección del radio del aro, la dirección del radio de la circunferencia que la bola describe en su giro.
saludos

[felmon38]

Re: Pendulo Asimov

y la dirección de la aceleración centrípeta que, como puedes ver, no tiene la dirección del radio del aro, la dirección del radio de la circunferencia que la bola describe en su giro.

Óscar, un matiz : creo que se debe de poner "radio de curvatura de la trayectoria" en lugar "radio de la circunferencia que la bola.."

[alejandrito29]

Re: Pendulo Asimov

El aro ejerce una fuerza sobre m, aunque, en el plano perpendicular a la tangente al aro. Por lo que proyectando la ecuación fundamental de la dinámica sobre esta dirección, se obtiene la ecuación diferencial del movimiento (ya que es nula la proyección de esta fuerza en esa dirección)

Perdón, pero no te entiendo, por ecuación fundamental de la dinámica te refieres a que ecuación de este problema?, imagino f=m*a, pero en este problema a cual te refieres?

[felmon38]

Re: Pendulo Asimov

Hola, me refiero efectivamente a esa ecuación vectorial, en donde f es el vector fuerza que actúa sobre la masa ( el peso más la fuerza que el aro ejerce sobre la masa) y a, su aceleración respecto del sistema inercial ( que se supone que es respecto del que gira el aro), que es la que tienes desarrollada. Son tres ecuaciones escalares.

[oscarmuinhos]

Re: Pendulo Asimov

Óscar, un matiz : creo que se debe de poner "radio de curvatura de la trayectoria" en lugar "radio de la circunferencia que la bola.."

Gracias por esa puntualización, felmon38. Pero estaba tratando de explicarle a alejandrito24 que la aceleración centrípeta no era hacia el centro del aro. En este caso, cuando la masa m se está moviendo en su posición estacionaria, la trayectoria es una circunferencia
Saludos

[Alriga]

En este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...-aro-rotatorio tienes un debate sobre el mismo problema...

En este otro hilo, las ecuaciones: Problemas de sistemas no inerciales

Saludos.