1r ciclo ángulo de dispersión

[natanael]

por allí dicen que, según ésta imagen





el ángulo de dispersión $\theta$ es $180^{\textnormal{o}}-\sin^{-1}\left(\frac{b}{R}\right)$, donde $b$ es el parámetro de impacto y $R$ el radio del balón (además consideran que los dos ángulos $\alpha$ suplementarios a $\theta$ son iguales por la teoría óptica de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión), pero basado en todo esto, cuando yo saco las cuentas, la cosa no me cuadra:

$\theta+2\alpha=\pi$

$\theta=\pi-2\alpha$

$\sin\alpha=\frac{b}{R}$

$\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{b}{R}\right)$

$\theta=\pi-2\sin^{-1}\left(\frac{b}{R}\right)$

[Breogan]

Re: ángulo de dispersión

Hola:

Como nadie respondió, te acerco mi opinión sobre el tema.

La ecuación correcta es la que pones vos:

$\theta=\pi-2\sin^{-1}\left(\frac{b}{R}\right)$

y esta:

$\theta=\pi-\sin^{-1}\left(\frac{b}{R}\right)$

es incorrecta. Puede ser un error en la edición, o una fuente de información no confiable.

s.e.u.o.

Suerte

PD: creo que la igualdad entre el angulo de incidencia y el de reflexión también se demuestra a partir de la conservación del momento lineal, y no solo como extrapolación de un resultado de la óptica.

Suerte

[carroza]

Re: ángulo de dispersión

Hola.

La igualdad de los que llamais "ángulo de incidencia" y "ángulo de reflexión", no se debe a la óptica, ni tampoco a la conservación del momento lineal (que no se cumple en este caso, ya que el aro está fijo).

Se debe a que la fuerza que el aro ejerce sobre el balón va en la dirección normal. Y además, como el choque es elástico, la energía se conserva, por lo que el módulo de la velocidad inicial y final son iguales. Estas dos condiciones sólo se complen si los dos ángulos alfa (de incidencia y reflexión) son iguales.

Saludos

[natanael]

Re: ángulo de dispersión

si, fué una muuuuuuuuuuuy mala interpretación que hice, realmente decía:

Del mismo modo que en una reflexión especular, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, i=r. La normal en este caso es la recta que une el obstáculo puntual y el centro del disco.

y tambien puede que haya sido un error en la edición como dice Breogan.

Gracias.


--------------------------
ahora que lo pienso, puede que tenga algo de validez!, ya que a la final, la colisión entre objetos no es de naturaleza eléctrica pues?. Me imagino que cuando lanzan un protón al núcleo y este se dispersa; al hacerlo, no gana ni pierde energía; las mismas condiciones aplican para la pelota; por eso, imagino, que deben ser iguales en ambos casos; sería como una manifestación macroscópica de la leyes miscroscópicas.

[Breogan]

Re: ángulo de dispersión

Hola:

Hola.

La igualdad de los que llamais "ángulo de incidencia" y "ángulo de reflexión", no se debe a la óptica, ni tampoco a la conservación del momento lineal (que no se cumple en este caso, ya que el aro está fijo).

Se debe a que la fuerza que el aro ejerce sobre el balón va en la dirección normal. Y además, como el choque es elástico, la energía se conserva, por lo que el módulo de la velocidad inicial y final son iguales. Estas dos condiciones sólo se complen si los dos ángulos alfa (de incidencia y reflexión) son iguales.

Saludos

Tenes razón, me había olvidado de la conservación de la energía. Pero el planteo de esta solo te da la relación entre los módulos de las velocidades inicial y final del balón, luego se plantea la variación del momento lineal para hallar su dirección, teniendo en cuenta que el momento lineal del balón se conserva en la dirección perpendicular a la fuerza ejercida durante el choque sobre el balón. Con estas ecuaciones creo que se termina demostrando que el angulo de reflexión es igual al angulo de incidencia.

Hago el mea culpa de que mis dichos no son del todo correctos para hallar la solución al problema, decir "aplicar la conservación del momento lineal" a secas no aporta a la solución de este, pero no estoy de acuerdo con tu afirmación de que "la conservación del momento lineal (que no se cumple en este caso, ya que el aro está fijo)".
Como he visto en muchos lados (y adhiero a esta postura), cuando hablamos de cuerpos con masa infinita una variación de su velocidad nula no implica una variación de su momento nulo, ya que por tener masa infinita se produce una indeterminación infinito por cero, que se resuelve al hallar la variación del momento lineal del aro igualándolo al impulso recibido, y de esta forma salvar el principio de conservación del momento lineal del conjunto.

Creo

s.e.u.o.

Suerte

[natanael]

Re: ángulo de dispersión

ya me van a dejar con las ganas de ver esa demostración de la que hablan... para verlo más fácil (creo):




digamos que $\boldsymbol{u}=u_{x}\hat{\boldsymbol{x}}+u_{y}\hat{\boldsymbol{y}}$ es la velocidad antes de impactar con el piso, de tal forma que $\beta=\left|\tan^{-1}\left(\frac{u_{y}}{u_{x}}\right)\right|$; luego, imagino, se quiere es demostrar que el ángulo $\theta=\left|\tan^{-1}\left(\frac{v_{y}}{v_{x}}\right)\right|$ de tal forma que $v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=u^{2}$, es igual a $\beta$, implicando que los dos ángulos $\alpha$ son iguales; ahora, si hago eso de la energía, efectivamente tengo que:

$E_{0}=\frac{1}{2}m\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}\right)=E_{f}=\frac{1}{2}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)$

$u_{x}^{2}+u_{y}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}=u^{2}$

pero ahora no sé como relacionar esto con $\boldsymbol{N}$ para hallar el ángulo $\theta$; también debe estar relacionado con: $\sin\beta=\frac{p}{R}$, pero no logro verlo!

----- EDICIÓN -----

[Breogan]

Re: ángulo de dispersión

Hola:

Un detalle, en el dibujo se te escapo un error, la trayectoria del balón de la derecha pasa por el centro del balón central.

Voy a transcribir tu notación a medida que lo use para evitar y poder consensuar posibles errores:

Velocidad inicial del balón:$\dst . \hspace{3 cm} \boldsymbol{u}=u_{x} \hat{\boldsymbol{x}} + u_{y} \hat{\boldsymbol{y}}$

Velocidad final del balón: $\dst . \hspace{3 cm} \boldsymbol{v}=v_{x} \hat{\boldsymbol{x}} + v_{y} \hat{\boldsymbol{y}}$

por lo cual podemos escribir la variación del momento lineal como:

$\dst \Delta \bold p = \bold{p_f} - \bold{p_0}$

$\dst \Delta \bold p = m \ (v_x -u_x) \ \hat{\bold x} + m \ (v_y - u_y) \ \hat{\bold y}$

La reacción de la pared que llamamos N, siempre es normal a la pared (si hubiera rozamiento balón-pared también tendríamos que tenerlo en cuenta, este no es el caso), y entonces la podemos escribir:

$\dst \bold N = N \hat{\bold y}$

Ahora podemos escribir la igualdad del impulso con la variación del momento lineal del balón:

$\dst \bold N \ \Delta t= \Delta \bold p$

$\dst N \Delta t \ \hat{\bold y} = m \ (v_x -u_x) \ \hat{\bold x} + m \ (v_y - u_y) \ \hat{\bold y}$

De esta ultima igualdad vectorial salen dos condiciones escalares. Como el impulso no tiene componente en $\hat{\bold x}$ resulta que:

$\dst v_x - u_x = 0$

y como el 1º miembro es el producto de N, que es un valor positivo (modulo de la fuerza de reacción de la pared), por un delta t positivo por definición queda que:

$\dst v_y - u_y > 0$

y tomando el resultado del balance de energía que pusiste en tu post:

$u_{x}^{2}+u_{y}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$

Creo que con esto ya queda demostrado, quedan un par de pasos que te los dejo a vos.

s.e.u.o.

Suerte

PD: y como dije en mi post anterior, yo adscribo a que la variación del momento lineal de la pared es de igual modulo que el del balón y de sentido contrario a este, e igual al impulso que recibe esta por parte del balón, pese a que su velocidad sea nula.

Suerte

[carroza]

Re: ángulo de dispersión

Hago el mea culpa de que mis dichos no son del todo correctos para hallar la solución al problema, decir "aplicar la conservación del momento lineal" a secas no aporta a la solución de este, pero no estoy de acuerdo con tu afirmación de que "la conservación del momento lineal (que no se cumple en este caso, ya que el aro está fijo)".
Como he visto en muchos lados (y adhiero a esta postura), cuando hablamos de cuerpos con masa infinita una variación de su velocidad nula no implica una variación de su momento nulo, ya que por tener masa infinita se produce una indeterminación infinito por cero, que se resuelve al hallar la variación del momento lineal del aro igualándolo al impulso recibido, y de esta forma salvar el principio de conservación del momento lineal del conjunto.

Hola.
Estoy de acuerdo con tu matiz. Obviamente, el momento lineal, de todos los objetos interactuantes, debe conservarse. El momento lineal de una parte del sistema (en este caso la pelota), no se conserva.

Resolver el problema por conservación del momento, utilizando que el aro está unido a la tierra y por tanto tiene una masa potencialmente infinita, no parece la forma más económica. Si metemos el aro, con la tierra, en nuestro sistema, parece complicado aplicar la conservación de la energía sólo al balón, y no al aro y al resto de la tierra. La energía cinética del aro con la tierra sería de nuevo una indeterminación del tipo cero por infinito (puede demostrarse, no obstante,
que la energía que se llevaría el aro con la tierra es despreciable).

En resumen, para mí la solución más económica de este problema es considerar la conservación de la energía de la pelota (el aro no se mueve), y considerar la conservación de la componente de la velocidad perpendicular a la normal al aro (no hay fuerza en esa dirección). Con eso, en vuestra notación, $v_x=u_x$ y $v_y = -u_y$.

Saludos.