Otras carreras Problema de conservación de energía y leyes de newton

[Alex2007]

El problema es bastante sencillo , y pues en una parte llego a un resultado bastante loco, tal vez este bien y uds puedan confirmarmelo o simplemente decirme que no. el problema es el siguiente


Se coloca una calabaza en la parte superior de un silo hemisferio , en una noche lluviosa una ráfaga de viento hace que la calabaza se resbale del silo si la calabaza se coloca en la parte superior cuando el angulo es θ_i= 0° halle el angulo y la altura de cuando la calabaza pierde contacto con la superficie a) considere que no hay fricción entre el silo y la calabaza b) considere que el coeficiente de fricción entre el silo y la calabaza es 0,5.



para la primera parte no hubo problema

hice la sumatoria de fuerzas

$m \frac{{{V}_{F}}^{2}}{R } - \cos\theta mg + n = 0$

luego de eso como la calabaza pierde contacto cuando la fuerza normal es 0 despeje para V

$\dst{{V}_{F}}^{2} = R\cos\theta g$

y utilizando conservación de energía

$\Delta K = -\Delta U \dst$

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remplazando los valores que tengo de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y conciderando que ${h}_{i} =R$ y ${h}_{f}= R \cos\theta\dst$

remplazando todo y despejando todo al final llegue a una expresion de la forma

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para la segunda parte hice un procedimiento similar pero teniendo en cuenta que la fricción es una fuerza no conservativa


$\Delta E = \Delta K + \Delta U\dst$

entonces

$-Trabajo hecho por la friccion =\frac{1}{2} m {{V}_{f}}^{2} - \frac{1}{2} m {{V}_{i}}^{2} + mg{h}_{f} -mg{h}_{i}\dst$




$-\mu mg\cos\left(\theta \right) \theta R =\frac{1}{2} m {{V}_{f}}^{2} - \frac{1}{2} m {{V}_{i}}^{2} + mg{h}_{f} -mg{h}_{i}\dst$

para llegar a la expresión de la izquierda me valí de la definición de trabajo que es el producto punto de la fuerza por la distancia , y funciona por que ya he hecho varios ejercicios asi entonces encontré la fuerza de fricción y la multiplique por la distancia que ha recorrido que seria el arco osea $S =$$\theta R$ y de igual forma suponiendo que la velocidad inicial es 0 y que la velocidad final es $\dst{{V}_{F}}^{2} = R\cos\theta g$ y que ${h}_{i} =R$ y ${h}_{f}= R \cos\theta$

hasta ahí bien pero cuando fui despejando me encontré con un resultado que no me convence para nada ya que el angulo que me piden hallar queda en función del mismo angulo


$\cos \theta = \frac{2}{2 \mu \theta + 3 }\dst$

no se ya lo he mirado muchas veces y no sabría que hacer , puesto que ya he hecho muchos ejercicios de conservación de energía con fuerzas conservativas y no conservativas y lo he hecho así, pero jamas me había dado un resultado tan loco, agradecería a la persona que pueda ayudarme con este dilema

[arivasm]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

La parte con fricción no es precisamente sencilla. El principal obstáculo está en que si hay rozamiento el objeto no podrá partir del reposo desde el punto más alto.

El problema ya apareció varias veces por el foro. Yo participé en este hilo: http://forum.lawebdefisica.com/threa...-din%C3%A1mica

[Alex2007]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

He revisado el hilo que me mandaste pero ahi solo esta solucionada la primera parte del problema que es la que pude hacer con éxito, ademas me encuentro con que ellos consideran rodamiento y mi problema no considera el rodamiento solamente la masa desplazándose con cierta fricción

[Al2000]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Mi intervención es sólo para puntualizar donde te equivocas en el planteamiento. Como te dijo Antonio, el problema cuando el cuerpo desliza con fricción no es sencillo. Ármate de paciencia y mira el enlace que te deja Antonio.

Bueno, volviendo al tema, cuando dices que

...encontré la fuerza de fricción y la multiplique por la distancia que ha recorrido que seria el arco osea $S =$$\theta R$...

estás pasando por alto que la fuerza de fricción no es constante, puesto que la fuerza de contacto entre el cuerpo y la superficie disminuye a lo largo del recorrido. Entonces no puedes hacer un simple fuerza x distancia, sino que tienes que conseguir la fuerza como función de la posición y resolver la integral para hallar el trabajo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

He revisado el hilo que me mandaste pero ahi solo esta solucionada la primera parte del problema que es la que pude hacer con éxito, ademas me encuentro con que ellos consideran rodamiento y mi problema no considera el rodamiento solamente la masa desplazándose con cierta fricción

http://forum.lawebdefisica.com/threa...1560#post91560

[visitante20160513]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Bueno, admitiendo que la calabaza no rueda sino que desliza, lo cual es mucho admitir, podemos razonar de la siguiente manera. Las fuerzas normales a la trayectoria que actúan sobre la calabaza son:

1º).- La componente normal de su propio peso que la mantendrá pegada a la superficie del silo.
2º).- La fuerza centrífuga consecuencia de su propia velocidad, que tenderá a hacerla despegar de la superficie.

Inicialmente la primera es mayor y la calabaza se mantiene pegada a la superficie del silo, pero a medida que la calabaza desliza esta componente disminuye y la segunda aumenta debido al incremento de su velocidad, hasta que llega a un punto en que la segunda se hace mayor que la primera lo que provoca que la calabaza se separe de la superficie del silo.

La cuestión estriba en determinar los valores de ambas componentes y verificar en que punto se produce el cruce de ambas componentes.

El valor de la primera es sencillo ya que por geometría se puede determinar que la componente del peso de la calabaza perpendicular a la superficie del silo vale:

$P_n=mgCos\theta$

que es la fuerza que tenderá a mantener la calabaza pegada a la superficie del silo.

La segunda componente depende de la velocidad de la calabaza y su valor es:

$F_c=\displaystyle\frac{mv^2}{R}$

Ahora bien, ambas magnitudes no son en principio comparables puesto que la primera está dada en función del ángulo y la segunda está dada en función de la velocidad, y es necesario relacionar ambos parámetros para poder realizar la comparación. Pero existe un recurso que nos permitirá hacerlo. Sabemos que la velocidad de la calabaza en cada punto de su descenso será tal que su energía cinética debe compensar a la disminución de su energía potencial menos el trabajo realizado para vencer el rozamiento.

i).- Si no hay rozamiento la resolución es sencilla ya que la energía cinética deberá ser la pérdida de la energía potencial y deberá valer en cada punto:

$E_c=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-Cos\theta)\qquad\to\qquad v^2=2gR(1-Cos\theta)$

que nos permite establecer la relación entre el ángulo barrido y la velocidad. De aquí podemos establecer que el punto en que la calabaza se separe del silo viene dado por la igualdad:

$mgCos\theta=\displaystyle\frac{2mgR(1-Cos\theta)}{R}\qquad\to\qquad Cos\theta=\displaystyle\frac{2}{3}$

ii).- Hasta ahí de acuerdo, ahora bien ¿que ocurre cuando hay rozamiento? Pues que nos vemos obligados a evaluar el trabajo que realiza la calabaza contra la fuerza de rozamiento y este depende de la fuerza con que la calabaza se adhiere a la superficie del silo, y por ende de la componente normal del peso en cada punto pero también del valor de la fuerza centrípeta en cada punto. ¿Cuanto vale esa fuerza? pues la diferencia entre ambas componentes normales:

$N=P_n-F_c=mgCos\theta-\displaystyle\frac{mv^2}{R}$

y el trabajo realizado para vencer el rozamiento vendría dado por:

$W_r=\displaystyle\int_0^\theta \mu Nds=\mu R\displaystyle\int_0^\theta Nd\theta=\mu Rmg\displaystyle\int_0^\theta Cos\theta d\theta-\mu m \displaystyle\int_0^\theta{v^2}d\theta$

expresión en la que la primera integral es facilmente resoluble pero la segunda nos vuelve a salir en función de la velocidad, lo que nos va a impedir resolver el problema porque ahora no podemos establecer fácilmente una relación independiente entre ambas magnitudes. Llegamos así a un callejón aparentemente sin salida.

En estas condiciones la energía cinética deberá ser igual a la disminución de la energía potencial menos el trabajo realizado, con lo que podemos establecer la ecuación:

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-Cos\theta)-\mu Rmg\displaystyle\int_0^\theta Cos\theta d\theta+\mu m \displaystyle\int_0^\theta{v^2}d\theta$

y podemos derivar esta ecuación respecto del ángulo barrido obteniendo la siguiente ecuación diferencial:

$vv'=gRSen\theta-\mu Rg Cos\theta+\mu v^2$

Si es posible resolverla obtendremos la relación entre $v$ y $\theta$, lo que nos permitirá resolver el problema para el caso de rozamiento, en otro caso creo que no va a ser posible resolverlo. No parece muy complicada, a simple vista parece que se podría linealizar con un sencillo cambio, $v^2=u$, aunque ahora no tengo tiempo para dedicarle al asunto.

Continuará, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Bueno, admitiendo que la calabaza no rueda sino que desliza, lo cual es mucho admitir, podemos razonar de la siguiente manera. Las fuerzas normales a la trayectoria que actúan sobre la calabaza son:

1º).- La componente normal de su propio peso que la mantendrá pegada a la superficie del silo.
2º).- La fuerza centrífuga consecuencia de su propia velocidad, que tenderá a hacerla despegar de la superficie.

Inicialmente la primera es mayor y la calabaza se mantiene pegada a la superficie del silo, pero a medida que la calabaza desliza esta componente disminuye y la segunda aumenta debido al incremento de su velocidad, hasta que llega a un punto en que la segunda se hace mayor que la primera lo que provoca que la calabaza se separe de la superficie del silo.

La cuestión estriba en determinar los valores de ambas componentes y verificar en que punto se produce el cruce de ambas componentes.

El valor de la primera es sencillo ya que por geometría se puede determinar que la componente del peso de la calabaza perpendicular a la superficie del silo vale:

$P_n=mgCos\theta$

que es la fuerza que tenderá a mantener la calabaza pegada a la superficie del silo.

La segunda componente depende de la velocidad de la calabaza y su valor es:

$F_c=\displaystyle\frac{mv^2}{R}$

Ahora bien, ambas magnitudes no son en principio comparables puesto que la primera está dada en función del ángulo y la segunda está dada en función de la velocidad, y es necesario relacionar ambos parámetros para poder realizar la comparación. Pero existe un recurso que nos permitirá hacerlo. Sabemos que la velocidad de la calabaza en cada punto de su descenso será tal que su energía cinética debe compensar a la disminución de su energía potencial menos el trabajo realizado para vencer el rozamiento.

i).- Si no hay rozamiento la resolución es sencilla ya que la energía cinética deberá ser la pérdida de la energía potencial y deberá valer en cada punto:

$E_c=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-Cos\theta)\qquad\to\qquad v^2=2gR(1-Cos\theta)$

que nos permite establecer la relación entre el ángulo barrido y la velocidad. De aquí podemos establecer que el punto en que la calabaza se separe del silo viene dado por la igualdad:

$mgCos\theta=\displaystyle\frac{2mgR(1-Cos\theta)}{R}\qquad\to\qquad Cos\theta=\displaystyle\frac{2}{3}$

ii).- Hasta ahí de acuerdo, ahora bien ¿que ocurre cuando hay rozamiento? Pues que nos vemos obligados a evaluar el trabajo que realiza la calabaza contra la fuerza de rozamiento y este depende de la fuerza con que la calabaza se adhiere a la superficie del silo, y por ende de la componente normal del peso en cada punto pero también del valor de la fuerza centrípeta en cada punto. ¿Cuanto vale esa fuerza? pues la diferencia entre ambas componentes normales:

$N=P_n-F_c=mgCos\theta-\displaystyle\frac{mv^2}{R}$

y el trabajo realizado para vencer el rozamiento vendría dado por:

$W_r=\displaystyle\int_0^\theta \mu Nds=\mu R\displaystyle\int_0^\theta Nd\theta=\mu Rmg\displaystyle\int_0^\theta Cos\theta d\theta-\mu m \displaystyle\int_0^\theta{v^2}d\theta$

expresión en la que la primera integral es facilmente resoluble pero la segunda nos vuelve a salir en función de la velocidad, lo que nos va a impedir resolver el problema porque ahora no podemos establecer fácilmente una relación independiente entre ambas magnitudes. Llegamos así a un callejón aparentemente sin salida.

En estas condiciones la energía cinética deberá ser igual a la disminución de la energía potencial menos el trabajo realizado, con lo que podemos establecer la ecuación:

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=mgR(1-Cos\theta)-\mu Rmg\displaystyle\int_0^\theta Cos\theta d\theta+\mu m \displaystyle\int_0^\theta{v^2}d\theta$

y podemos derivar esta ecuación respecto del ángulo barrido obteniendo la siguiente ecuación diferencial:

$vv'=gRSen\theta-\mu Rg Cos\theta+\mu v^2$

Si es posible resolverla obtendremos la relación entre $v$ y $\theta$, lo que nos permitirá resolver el problema para el caso de rozamiento, en otro caso creo que no va a ser posible resolverlo. No parece muy complicada, a simple vista parece que se podría linealizar con un sencillo cambio, $v^2=u$, aunque ahora no tengo tiempo para dedicarle al asunto.

La ecuación diferencial anterior con el cambio propuesto quedaría efectivamente como una ecuación lineal ordinaria de primer orden:

$u'-2\mu u=2gRSen\theta-2\mu Rg Cos\theta$

cuya resolución es muy sencilla y no voy a molestarme ya en resolver, aunque si alguien tiene curiosidad la resuelvo, no hay problemas. La ecuación una vez resuelta y con las condiciones de contorno adecuadas nos debe suministrar la relación entre la velocidad y el ángulo barrido, lo que nos resuelve el problema para cualquier valor del coeficiente de rozamiento, incluso para el valor nulo que nos remitiría al caso en que no existe rozamiento y que ya se resolvió en el epígrafe anterior.

Salu2, Jabato.

[Alex2007]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Sos groso !!!!! sabelo , claro no había analizado que había que usar integrales para hallar el trabajo hecho por la fricción, ya todo cobra sentido

[visitante20160513]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Gracias por el piropo, no era tan difícil. Solo había que seguir el hilo de razonamiento, un poco largo, eso sí, pero un problema muy bonito, sin duda.
Muchas gracias por el aporte. Ha sido muy interesante.

Salu2

[arivasm]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

La solución de la ecuación diferencial conduce a la ecuación implícita $\dst 2 \mu \sin \theta + \cos \theta = \frac{2}{3} (1+3\mu\mu_s-2\mu^2) \frac{1}{\sqrt{1+\mu_s^2}} e^{2\mu(\theta-\text{arctg}\mu_s)}$, donde se ha tenido en cuenta que el punto de partida no puede ser el más alto, sino aquel en el que $\tan\theta_0=\mu_s$, siendo $\mu_s\geq\mu$ el coeficiente de rozamiento estático.

[felmon38]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Arivasm, ¿se puede saber cómo has llegado a esa solución de la E.D. ?

[arivasm]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Está en el hilo que mencioné anteriormente (en él se llama $\alpha$ al ángulo que aquí se llama $\theta$). Se trata de una ecuación lineal no homogénea. Allí se maneja la ecuación para el ángulo.

[visitante20160513]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

La ecuación diferencial que yo escribí no se resuelve en la forma que lo has hecho, te has pasado el enunciado por el forro. Eso no debe hacerse. Si el enunciado dice que la calabaza está en lo alto de la nave es que está ahí y no en otro sitio. También deberíamos suponer cuando hay rozamiento que la calabaza baja rodando y que por lo tanto parte de la energía es absorbida por la rotación, y eso nadie lo plantea porque el enunciado no lo dice, y sin embargo es lo lógico ¿no? La importancia de los enunciados de los problemas reside básicamente ahí, en que deben ser tratados como los axiomas en matemáticas. Son verdades que debemos considerar absolutas, tan cuestionables como queramos, pero tan inamovibles como se pueda.

Salu2

[arivasm]

Re: Problema de conservación de energía y leyes de newton

Quizá tenga razón Jabato al decir que no me di cuenta de que se trata de que el objeto ruede (que, por cierto, no es lo mismo que "pasarse el enunciado por el forro" ).

La razón de mi despiste es doble: las calabazas raramente son objetos esféricos o similares, y además si rueda el que haya rozamiento apenas añade dificultades.

Por una parte tenemos la conservación de la energía, que ahora deberemos escribir como

$\dst mgR\cos\theta+\frac{1}{2}m\left(1+\frac{I}{mr^2}\right)v^2=mg R$

Si llamamos

$\dst K=\left(1+\frac{I}{mr^2}\right)$

la ecuación anterior implica que

$\dst \frac{v^2}{R}=\frac{2g}{K}(1-\cos\theta)$

Como la condición de que el objeto salga volando es que

$\dst\frac{v^2}{R}=g\cos\theta$

encontramos que el ángulo correspondiente será el que satisface

$\dst\cos\theta=\frac{2}{2+K}$

Así, para una esfera maciza, en la que $K=1+\frac{2}{5}=\frac{7}{5}$ será $\cos\theta=\frac{10}{17}$.

- - - Actualizado - - -

Y se me olvidaba: la ecuación diferencial que ha puesto Jabato es exactamente la misma que la que hay en el hilo que señalé, con la única diferencia de que el coeficiente en la derecha en la suya es 2gR, mientras que en la mía es 2g/R, de modo que al deshacer los cambios de variable (la u de la suya no es exactamente igual a la de la mía, se diferencian en un factor R) se encuentra la solución que señalé (por supuesto, si entonces no estaba equivocada -y si es así me gustaría que se señalase el error-).

La ecuación diferencial anterior con el cambio propuesto quedaría efectivamente como una ecuación lineal ordinaria de primer orden:

$u'-2\mu u=2gRSen\theta-2\mu Rg Cos\theta$

De esta manera, la ecuación diferencial se convierte en

$u' - 2\mu u = \frac{2 g}{R} \left( \sin \alpha - \mu \cos \alpha \right)$