2o ciclo Duda ejercicio cinemática

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, en la hoja introductoria de ejercicios, viene este ejercicio en el que tengo dudas:



No sé realmente cómo empezar, me he estrujado los sesos y bueno, creo que hay que usar trigonometría, bastante. Tampoco sé para qué te dan el punto C y la línea discontinua con B, si ustedes llegan a alguna conclusión, les estaría muy agradecido. Yo creo que lo más rápido es la trayectoria C-B, por eso la marcan, no lo sé.

También, con lo de "tan pronto como sea posible", creo que se refiere a un mínimo, por lo tanto, creo que, en algún momento, hay que derivar y sacar un mínimo.

Muchas gracias

[arivasm]

Re: Duda ejercicio cinemática

Por una parte tienes que el vehículo posee dos velocidades: $v$ en la carretera y $v/\eta$ fuera de ella. Si llamas $x$ a la distancia que hay entre A y C y llamamos $L$ a la que hay entre A y D, entonces el tiempo que tarda en llegar a B será $\dst t(x)=\frac{x}{v}+\frac{\sqrt{l^2+(L-x)^2}}{v/\eta}$. El resto es un simple ejercicio de máximos y mínimos.

[SCHRODINGER27]

Re: Duda ejercicio cinemática

Perdona pero, tengo varias cuestiones.

Primero, por que la velocidad en el campo es dividida, ¿no sería v por un factor?

Segundo, de dónde sale la expresión de t(x), cómo se halla.

Gracias y disculpa las molestias!

[sater]

Re: Duda ejercicio cinemática

es la suma de dos tiempos en un mru

[SCHRODINGER27]

Re: Duda ejercicio cinemática

Ahora sí, la duda 2 resuelta, falta la primera, ¿por qué es así?

Gracias Sater!

[gdonoso94]

Re: Duda ejercicio cinemática

Al moverse $\eta$ veces más despacio está indicando que su velocidad se divide $\eta$ veces. Si fuese $\eta$ veces más rápido se multiplicaría. Haz un ejercicio mental con números: me muevo a 5 m/s por la carretera y de repente entro al campo, donde mi velocidad es 5 veces menor que la velocidad que llevo en la carretera. ¿Cuál es mi velocidad en el campo?

Saludos!

[SCHRODINGER27]

Re: Duda ejercicio cinemática

Si pero, eso es suponiendo que $\eta$ es mayor que 1

[gdonoso94]

Re: Duda ejercicio cinemática

Si pero, eso es suponiendo que $\eta$ es mayor que 1

Creo que viene implícito en el enunciado. En cualquier caso, que sea menor que uno no significa que no se divida, sólo implica que es análogo a multiplicar por la inversa de $\eta$.

Saludos.

[Paul Dirac]

Re: Duda ejercicio cinemática

Llamemos x a la distancia entre D y el punto donde abandona la carretera. La distancia entre B y x es $\sqrt{{x}^{2 }+{l}^{2 }}$. El desplazamiento total es $S= ((\vec{DA}-x) + \sqrt{{x}^{2 }+{l}^{2 }}=vt$ Pero como hay distintas velocidades en distintas regiones, despejando t:
$t(x) = \frac{(\vec{DA}-x)+n\sqrt{{x}^{2 }+{l}^{2 }}}{v }$
Función que alcanzará su extremo para dt/dx = 0
Finalmente
$x=\frac{l}{\sqrt{1-4{n}^{2 }} }$ para n>0 y dv/dt=0

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Duda ejercicio cinemática

La solución es exactamente la que ha puesto Paul Dirac, pero sin el 4 en la raíz del denominador, alguien sabe qué ocurre?

[Breogan]

Re: Duda ejercicio cinemática

Hola:

El resultado que me da a mi es:

$\dst \overline {CD} = \frac l {(\eta^2 - 1)^{\frac 1 2}} \quad con \ \eta>1$

Te dejo también el desarrollo por si me equivoco en algún paso.

Llamamos:

$x = \overline {AC}: esp. \ rec. \ en \ el \ asfalto \quad , \quad L = \overline{AD} \quad , \quad d_c = \overline {CB} : esp. \ rec. \ en \ el \ campo$

y

$v_a: \ velocidad \ en \ el \ asfalto \quad , \quad t_a: \ tiempo \ en \ el \ asfalto$

$\dst v_c = \frac {v_a}{\eta}: \ velocidad \ en \ el \ campo \quad , \quad t_c: \ tiempo \ en \ el \ campo$

Los tiempos de recorrido en el asfalto y el campo respectivamente son:

$\dst t_a = \frac {x}{v_a} \quad , \quad t_c = \frac {d_c}{v_c}$

El tiempo total del viaje (t) es la suma de t_a mas t_c, ademas la distancia recorrida en el campo es la hipotenusa de un triangulo rectángulo y vale:

$\dst d_c = \sqrt{(L-x)^2+l^2}$

y el tiempo total queda:

$\dst t = t_a +t_c = \frac {x}{v_a} + \frac {\sqrt{(L-x)^2+l^2}}{v_c}$

derivando esta ultima respecto de x e igualando a cero hallamos un punto singular:

$\dst \frac{\mathrm{dt} }{\mathrm{dx} } = \frac 1 {v_a} - \frac 1 {v_c} \ \frac {L - x}{\sqrt{(L-x)^2+l^2}}=0$

$\dst \frac 1 {v_a} = \frac {\eta} {v_a} \ \frac {L - x}{\sqrt{(L-x)^2+l^2}}$

$\dst \sqrt{(L-x)^2+l^2} = \eta \ (L - x)$

y de la ultima se despeja $\dst L - x = \overline{CD}$, resultando que:

$\dst \boxed{\overline {CD} = \frac l {\sqrt{(\eta^2 - 1)}}} \quad con \ \eta>1$

queda probar, con la derivada 2º, que este punto se trata de un mínimo, y si no me equivoque el problema queda resuelto.

s.e.u.o.

Suerte

[SCHRODINGER27]

Re: Duda ejercicio cinemática

Muchísimas gracias Breogan, te debo mucho, gracias!