Otras carreras Cinética de cuerpo rígido: Problema de interacción masa-barra-resorte

En la figura se muestra la superficie horizontal de una mesa perfectamente lisa, sin rozamiento, sobre la que reposa una varilla delgada rígida de masa “m” y longitud "H", que en su extremo inferior tiene adosado un resorte de constante “k”. Un cuerpo puntual cuya masa es el doble que la de la varilla avanza hacia el tope del resorte con una velocidad “v0".

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Sabiendo que el cuerpo puntual mantiene, después del choque, la línea de su trayectoria inicial:



a) Determinar la cantidad de movimiento del sistema, antes y después de la colisión.
b) Obtener una expresión para la energía cinética del sistema, antes y después de la colisión.
c) Obtener una expresión para el momento angular del sistema respecto de un punto fijo perteneciente a la línea horizontal que pasa por el centro de masa de la varilla, antes y después de la colisión.
d) Obtener una expresión para la velocidad angular con que rota la varilla, la velocidad de su centro de masa y la
velocidad del cuerpo puntual, una vez finalizada la colisión.

Del hecho de que la trayectoria debe ser rectilínea deduzo que se debe tratar el problema como si éste fuera de carácter impulsivo, de manera que la partícula invierte su movimiento y brinda a la barra un impulso tal que su energía cinética queda reducida a la mitad. Para calcular dicho impulso simplemente habría que integrar la fuerza elástica desde el instante inicial al de máxima deformación (equivalente a la mitad de aquel aplicado sobre un muelle en un movimiento armónico).

Me pregunto si mi formulación es la adecuada o si estoy afrontando el problema de una manera errática. Gracias

[felmon38]

Re: Cinética de cuerpo rígido: Problema de interacción masa-barra-resorte

Para que tu formulación fuera adecuada, desde el punto de vista Mecánico, deberían aparecer más ecuaciones matemáticas (no pones ni una) y menos literatura. Predicaré con el ejemplo.


El sistema mecánico, se compone de los siguientes sólidos : punto material, resorte y barra, sobre los que aplicaremos las ecuaciones de la dinámica así como sus propiedades mecánicas.


Se supone que la mesa es un sistema inercial. El eje X de abscisas unido a él tiene el origen en el punto de contacto inicial del punto material con el resorte y dirección y sentido el de v₀ . Se utiliza el operador D: derivada respecto del tiempo

Para simplificar el problema, se supone que la varilla no pierde el contacto con el suelo (el extremo puede estar guiado).

Datos:
l₀:longitud en reposo del resorte


Incógnitas:
x: abscisa de la masa puntual
δ: acortamiento del resorte
θ: ángulo de giro en sentido horario de la varilla.
f1: fuerza que la masa puntual ejerce sobre el resorte (positiva en dirección eje X)
f2: fuerza que el resorte ejerce sobre la varilla( idem)
N: fuerza del suelo sobre la varilla (positiva hacia arriba)

Variables dependientes.
x_A=x+l₀-δ:abscisa del extremo de la varilla en contacto con la mesa.
x_G=x_A-l.senθ/2 : abscisa del punto G de la varilla
y_G=l.cosθ/2


Sistema de ecuaciones.
1. Masa puntual.
F=m.a $\Rightarrow$ -f1=2m.D²x. (1)

2. Resorte.
F=m.a_G $\Rightarrow$. -f2 +f1=0. (2)
f1 = k.δ. (3)


3. Varilla
F_x=m.a_Gx. $\Rightarrow$. f2=m.D²x_G. (4)
F_y=m.a_Gy. $\Rightarrow$. N-mg=m.D²y_G (5)
MomF_G=I_G.α. $\Rightarrow$. f2.l.cosθ/2 + N.l.senθ/2= I_G.D²θ. (6)

Estas 6 ecuaciones, con las condiciones iniciales: δ=x=0, θ=0, Dδ=Dx=v₀, Dθ=0, para t=0, al resolverlas, permiten calcular las 6 incógnitas en función del tiempo . La duración del choque saldría de la condición de que δ vuelva a ser cero.



Saludos

[Breogan]

Re: Cinética de cuerpo rígido: Problema de interacción masa-barra-resorte

Hola:

El enunciado no dice nada de la acción gravitatoria, por lo cual podemos hacer dos interpretaciones:

a_ No existe gravedad, y en la solución no hay variación de la cantidad de movimiento de la varilla en el eje "y".
La varilla no "cae", y la solución del problema es mas simple.

b_ Existe interacción gravitatoria, y el problema se vuelve mas complejo. Este es el caso explicado en su post por felmon38.

En el marco de esta suposición, existencia de la interacción gravitatoria, me hace ruido la siguiente afirmación:

Variables dependientes.
x_A=x+l₀-δ:abscisa del extremo de la varilla en contacto con la mesa.
x_G=x_A-l.senθ/2 : abscisa del punto G de la varilla
y_G=l.cosθ/2

Donde la expresión de y_G implica que hay una relación entre el angulo de giro de la varilla y la posición de su centro de masa, cosa que solo es cierta mientras que la varilla permanezca apoyada sobre la superficie horizontal durante su giro. Si la velocidad de impacto del cuerpo puntual y la constante del resorte son suficientes, puede ocurrir que la barra obtengan una velocidad y aceleración angular tal que su centro de gravedad no "cae" lo suficiente en ese tiempo como para permanecer apoyada sobre la superficie. No?

Por otra parte siendo $\theta$ el angulo de giro de la varilla, mientras esta este apoyada la formula no debería ser:

$\dst y_G = \frac L 2 cos \theta$

Creo !!!!

s.e.u.o.

Suerte

PD: Voy a tratar de ensayar una posible solución por el método de las energías para el caso -b-, sabiendo que el caso -a- es un caso particular de dicha solución cuando g=0. Si llego a algun resultado razonable lo posteo.

Suerte

[felmon38]

Re: Cinética de cuerpo rígido: Problema de interacción masa-barra-resorte

Breogan, he modificado mi post para imponer la condición de que no se pierda el contacto. Respecto de la expresión de la ordenada de G el 2 no divide a θ sino al cosθ. En caso contrario hubiera puesto cos(θ/2)

[felmon38]

Re: Cinética de cuerpo rígido: Problema de interacción masa-barra-resorte

CDiego, como creo que no te ha interesado el método vectorial que he utilizado para plantear el problema que has propuesto, que me parece muy interesante, voy a intentar plantearlo por el teorema de los trabajos virtuales, en donde el problema se reduce a resolver un sistema de tres ecuaciones diferenciales de 2º orden


El sistema mecánico, se compone de los siguientes sólidos : punto material, resorte y barra, al que aplicaremos el teorema de los trabajos virtuales.


Se supone que la mesa es un sistema inercial. El eje X de abscisas unido a él tiene el origen en el punto de contacto inicial del punto material con el resorte y dirección y sentido el de v0 . Se utiliza el operador D: derivada respecto del tiempo y el símbolo δ para el diferencial del desplazamiento virtual correspondiente.


Para simplificar el problema, se supone que la varilla no pierde el contacto con el suelo (el extremo puede estar guiado).



Datos:
l₀:longitud en reposo del resorte




Incógnitas:
x: abscisa de la masa puntual
y: acortamiento del resorte
θ: ángulo de giro en sentido horario de la varilla.


Desplazamientos virtuales diferenciales independientes:
δx,δy, δθ


Variables dependientes:
x_A=x + l₀ - y: abscisa del extremo de la varilla en contacto con la mesa
x_G=x_A -L.senθ/2: abscisa del punto G de la varilla
y_G= L.cosθ/2: ordenada del punto G de la varilla
-k.y: fuerza del resorte sobre la masa puntual
ky: fuerza del resorte sobre el extremo de la varilla




Desplazamientos virtuales dependientes:
δx_A= δx - δy
δx_G=δx_A-L.cosθ.δΘ/2
δy_G= -L.senθ.δθ/2


Teorema de los trabajos virtuales:-

-k.y.δx + k.y.δx_A. - m.g.δy_G + 2.m.D²x.δx - m.D²x_G.δx_G - m.D²y_G.δy_G - I_G..D²θ.δθ. (a)

Sustituyendo los valores de los desplazamientos virtuales dependientes en función de los independientes en la la ecuación (a) y teniendo en cuenta que, al ser los desplazamientos virtuales diferenciales independientes arbitrarios, sus coeficientes tienen que ser nulos para que se verifique la ecuación, por lo que se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones diferenciales:

2.m.D²x - m.D²x_G = 0. (1)

ky+m.D²x_G = 0. (2)

m.g.L.senθ/2 + m.D²x_G.L.cosθ/2 +m.D²x_G.L.senθ/2 - I_G.D²θ = 0. (3).

s.e.u.o

Saludos

---

- - - Actualizado - - -

CDiego, en este problema también podemos aplicar el enfoque clásico que se hace en el choque cuando el tiempo del impacto es pequeño. El choque es elástico, no hay pérdida de energía, y además, ya que al principio y al final del choque, el resorte está sin comprimir ( la fuerza sobre la masa es nula) la energía neta elástica durante el choque es nula. Las fuerzas N y mg tampoco realizan trabajo por ser finitas y los desplazamientos despreciables, por lo que se conserva la energía cinética.
Tendremos tres ecuaciones para obtener las incógnitas v (velocidad de la masa puntual después del choque ), v_G y w : la conservación de la energía cinética y la conservación del momento lineal y angular respecto de G.

2.m.v₀²/2 = 2.m.v²/2 + m.v_G²/2 + I_G.w²/2. (1)

2.m.v₀ = -2.m.v + m.v_G. (2)

2.m.v₀.L/2 = -2.m.v.L/2 + I_G.w. (3)

s.e.u.o.

Saludos