1r ciclo periodo del movimiento en pozo de potencial

[Rodri]

Se tiene una partícula de masa m en un pozo de potencial unidimensional $U(x)$. Supongamos que estamos en una región de $U(x)$ en la que se tiene un mínimo (que supone por tanto un punto de equilibrio estable). Si ahora abandonamos la partícula en reposo en un punto $x=x_{1}$ a la izquierda del mínimo sabemos que describirá un movimiento oscilatorio entre $x=x_{1}$ y un punto a la derecha del mínimo $x=x_{2}$, tal que $U(x_{1})=U(x_{2})=U_{0}$. Estos dos puntos $x_{1}$ y $x_{2}$ son los llamados "puntos de retroceso".

Para el caso del oscilador armónico $U(x)=\frac{1}{2}kx^{2}$, con $k$ la constante elástica y la ecuación del movimiento tiene una solución bien conocida en forma de una oscilación senoidal de periodo $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Pero si $U(x)$ es una función más complicada la ecuación diferencial del movimiento no será en general de solución analítica. Aun así, en este caso es posible calcular el periodo de la oscilación partiendo de la conservación de la energía mecánica:

$U + K =U_{0}=cte$ --> $dU + dK=0$ --> $mdv=-Fdt$ [1]

donde $F=-\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x }$


Teniendo en cuenta que $K=\frac{1}{2}mv^{2}$ --> $v=\sqrt{\frac{2K}{m}}$ --> $v=\sqrt{\frac{2}{m}(U_{0}-U(x))}$
--> $dv=\frac{1}{\sqrt{2m}}\frac{F(x)}{ \sqrt{U_{0}-U(x)}}$

que sustituido en [1] permite escribir

$dt=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{dx}{\sqrt{U_{0}-U(x)}}$


Por lo que el periodo de oscilación vendrá dado por la integral

$T=\sqrt{2m}\int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dx}{\sqrt{U_{0}-U(x)}}$

Mi pregunta es ¿hay alguna otra forma de calcular el periodo sin tener que hacer esta integral?

[carroza]

Re: periodo del movimiento en pozo de potencial

No, pero si quieres calcularlo numéricamente, la integral es antipática, porque diverge en los límites. Es mejor calcular

$B(U_0) = \sqrt{2 m} \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{U_0 - U(x)} dx$

y luego hacer

$T(U_0) = 2 {dB(U_0) \over d U_0}$

saludos

[Rodri]

Re: periodo del movimiento en pozo de potencial

Gracias, carroza. Ya suponía que no había más "tutía" que integrar.
El origen de mi duda viene por el enunciado del problema 1 del anexo, último apartado.
Fue propuesto en la convocatoria de febrero 2011 de grado en ingeniería de la UNED.

En este caso, además, la integral ni siquiera es realizable de forma analítica.

[carroza]

Re: periodo del movimiento en pozo de potencial

Entiendo que la solución al apartado c) es la integral que tu has puesto.

No tiene mucho sentido buscar una solución analítica específica, ya que la condición inicial es "un punto cercano al origen".

Saludos

[Rodri]

Re: periodo del movimiento en pozo de potencial

Entiendo que la solución al apartado c) es la integral que tu has puesto.

No tiene mucho sentido buscar una solución analítica específica, ya que la condición inicial es "un punto cercano al origen".

Estoy de acuerdo. Pero me gustaría añadir una opinión personal, quizá equivocada.

Mi sensación es que a los profesores se les fue la mano con el enunciado de este problema: dudo que la mayoría de los alumnos de primero llegaran siquiera a plantear la integral, que además no es calculable más que numéricamente. No cuadra con el estilo y nivel de esta asignatura, pedir como resultado de "calcule usted ..." una integral incalculable (suponiendo que alguien llegara a ella).

Quizá me equivoco, pero sospecho que lo que los profesores quisieron hacer en realidad fue proponer el cálculo del periodo de oscilación mediante la aproximación armónica, es decir, calculando la derivada primera de F(x) en el punto de equilibrio y usándola como constante elástica de un oscilador armónico que aproxima el potencial real. Este concepto sí me parece más propio de los objetivos pedagógicos típicos de primer curso.
Pero para poder enfocarlo así, la partícula no puede partir de un punto "cercano al origen" (donde U(x) tiende a infinito), ya que entonces la aproximación armónica es muy burda y no parece aplicable. Para que fuera aplicable, la partícula tendría que partir de "un punto cercano a la posición de equilibrio" y no "al origen". Además el hecho de que no se especifique la coordenada del punto inicial me hace pensar que se tenía en mente la aproximación armónica, para la que éste sería un dato innecesario en el cálculo del periodo.