Secundaria problema de caída libre

[vicoolm]

Ayúdame porfavor con este problema.
Una bola A se lanza desde el suelo con una velocidad inicial de 100m/s, 2segundos después de que alcanza su máxima altura es lanzada una bola B hacia abajo con una velocidad de 40m/s , desde un punto que se encuentra H metros por encima de la altura máxima de la bola A. Hallar H de modo que la bolas se encuentren 200m por encima del punto de lanzamiento de la bola A.

[MrM]

Re: problema de caída libre

En este tipo de problemas siempre ayuda organizar los datos:

$v_{0A}=100m/s$
$y_{0A}=0m$
$t_{0A}=0s$

Máxima altura de A: $y_{maxA}$

Supongamos que la bola alcanza su altura máxima en $t=t_{A}$.

$t_{0B}=t_{A}+2$
$v_{0B}=-40m/s$
$y_{0B}=y_{maxA}+H$

Las pelotas se cruzan en $y_A=y_B=200m$

Lo primero que podríamos hacer es calcular $y_{maxA}$. Se me ocurren varias maneras, aunque la más rápida es con la fórmula ${v_f}^{2}={v_0}^{2}-2g(x-x_0)$.
Para este caso concreto, tenemos la velocidad inicial y la posición inicial. La velocidad final es 0, pues buscamos el punto donde la bola se detiene.

La ecuación queda así: $0={100}^{2}-19,62y_{maxA} \Rightarrow y_{maxA}=509,68m$

Ahora podríamos calcular $t_A$. En un MRUA, tenemos que $v=v_0+at$. Para este caso concreto, $0=100-9,81t_A \Rightarrow t_A=10,19s$.

Vamos a volver a copiar los datos (un copia-pega bastará), pero esta vez, teniendo en cuenta lo que acabamos de calcular.


$v_{0A}=100m/s$
$y_{0A}=0m$
$t_{0A}=0s$

Máxima altura de A: $y_{maxA}=509,68$

Supongamos que la bola alcanza su altura máxima en $t=10,19s$.

$t_{0B}=t_{A}+2=12,19s$
$v_{0B}=-40m/s$
$y_{0B}=509,68+H$

Las pelotas se cruzan en $y_A=y_B=200m$




Quizás ya se te ha ocurrido cómo continuar. Te invito a dejar de leer y pensarlo un instante. Si no se te ocurre nada, sigue leyendo.





Bien, es condición del enunciado que las pelotas se cruzan en x=200. Vamos a calcular cuánto tarda la pelota A en llegar a esa posición. Esta vez lo haremos mediante la fórmula $x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$. En este caso concreto, sería $200=100t-4,9{t}^{2}$. He usado una calculadora online para resolverlo (por mayor comodidad, aunque no es difícil hacerlo con la clásica fórmula) y me da $t_1=2,24s$ y $t_2=18,16s$. A priori puede parecer que es ilógico obtener dos tiempos para una sola posición, pero recuerda que al tirar un objeto hacia arriba, pasa por cada posición dos veces (primero al subir y luego al bajar). Como cuando las pelotas se encuentran nos encontramos en posición de bajada, cogemos t=18,16s.

Sabemos que, cuando ambas pelotas se cruzan, la pelota A ya lleva 18,16 segundos de recorrido. Medimos ahora el tiempo que pasa desde que la pelota A llega al punto más alto hasta que llega a 200m (es decir, medimos el tiempo que la pelota A ha estado cayendo). Sería t=18,16-10,19=7,97.

La pelota A lleva 7,97 segundos cayendo, por lo que la pelota B ha descendido durante 5,97 segundos (recuerda que esta pelota se lanza 2 segundos después de que empiece a caer la pelota A, y por tanto desciende durante dos segundos menos). En ese tiempo, la pelota ha tenido que llegar a los 200m.

Usando la fórmula $x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$ para la pelota B, quedaría $200=509,68+H-40*5,97-\frac{1}{2}g{5,97}^{2}$. El único dato que falta es H, que, cuyo valor se obtiene despejando de la ecuación.

En concreto, sería H=103,93 (aproximadamente).

Cabe la posibilidad de que haya errado en los cálculos porque no tengo calculadora a mano, he tenido que usar la de google, y eso es un tostón. Pero el razonamiento es el mismo.

También pido disculpas por cualquier posible despiste o error de redacción que haya podido cometer, pero a estas horas de la noche no me llega sangre al cerebro xD

En este tipo de problemas te recomiendo calcular todos los datos que puedas. Quizás te sean útiles o quizás no, pero primero calcula todos los datos que puedas y luego miras qué hacer con ellos. En este en concreto, cada vez que usamos una ecuación para averiguar un dato, obtenemos la posibilidad de utilizar otra ecuación para obtener otro dato. Y finalmente llegamos a H xD

Un saludo.