Otras carreras Ayuda con problemas de cinemática

[kader]

[FONT=arial]Muy buenas, soy nuevo por aquí así que espero estar posteando en el lugar correcto.

En fin, como el propio nombre del hilo indica, estoy teniendo algunos problemas en la ingeniería para entender física y en concreto, hay un par de ejercicios de práctica que no consigo hacer, serían los siguientes.

1) La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-10v, donde "a" se expresa en m/s² y "v" en m/s. Sabiendo que para t=0 la velocidad es de 30m/s, determinar:
a) La distancia que recorre la partícula antes de pararse.
b) El tiempo que tarda la partícula en pararse.
c) El tiempo necesario para que la velocidad se reduzca el 1% de su valor inicial.

2) Un automovilista entra en una curva de 150m de radio a una velocidad de 72km/h. Accionando los frenos, hace disminuir su velocidad de modo uniforme a razón de 1.5m/s².
Determinar el módulo de la aceleración del automóvil cuando su velocidad es de 63km/h.
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En el primer ejercicio he deducido que se trata de un movimiento rectilíneo. A lo sumo he supuesto que tengo una función a(v), y v(t), lo que me lleva a sospechar que cuanto más tiempo pase, más se reducirá la velocidad y conforme se reduzca gradualmente también lo hará la aceleración. Ahí hay algo raro. Me da en la nariz que el apartado b) va a salir un límite, un infinito o algo por el estilo, pero no conozco la fórmula a aplicar para resolver el problema.

En el segundo, es un movimiento circular, pero me pierde el hecho de que en ninguna parte me den los radianes que ha recorrido desde que entra en la curva hasta que disminuye su velocidad a 63km/h. Imagino que tiene que haber alguna forma calculando el tiempo que ha pasado.

[/FONT][FONT=arial]Por favor, si he hecho algo mal, ruego que se me haga saber para que no cometa los mismos errores la próxima vez.[/FONT][FONT=arial]
Muchas gracias de antemano.
[/FONT]

[Rodri]

Re: Ayuda con problemas de cinemática

Para el primer problema, lo primero que tienes que hacer es tratar de deducir cuál es la ley de variación de la velocidad con el tiempo.

Si se cumple $a=-10v$, como $a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }$, podemos escribir

$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }=-10 v$


que podemos poner de esta otra forma

$\frac{dv}{v}=-10 dt$

Ahora integramos a cada lado de la ecuación entre el instante inicial t=0 y el actual t


$\int_{0}^{t}\frac{dv}{v}=-10 \int_{0}^{t} dt$

es decir

$ln [v(t)] - ln [v(0)] = -10 t$ --> $ln \frac{v(t)}{v(0)}= -10 t$


, de donde


$v(t) = v(0) e^{-10t}$

Esta es la variación de la velocidad con el tiempo. A partir de ahí trata de responder a las preguntas.


Para el segundo problema, tienes que tener en cuenta que la aceleración en un movimiento circular tiene dos componentes ortogonales entre sí: la aceleración tangencial, que es 1,5 $m/s^{2}$, y la aceleración normal o centrípeta, que depende de la velocidad instantánea y del radio de la circunferecncia: $a_{N}=\frac{v^{2}}{R}$

[kader]

Re: Ayuda con problemas de cinemática

Hola Rodri,
lo primero dar las gracias por las pistas que me has dado. Me he atascado en ambos ejercicios pero siento que he avanzado lo suyo.

En el primero, he sacado el apartado c) de manera sencilla teniendo que . Simplemente sustituyendo v(t) por 29.7 (un uno por ciento de 30) he sacado que t=0.001

En el apartado b) me he perdido un poco. Basicamente lo que he deducido es que cuando se para la velocidad es 0, por lo que v(t) = 0 y sólo había que despejar t, pero no logro resolver la ecuación que se me queda (disculpa que no use las notaciones de manera correcta pero no sé hacerlo bien):
0 = 30*e^(-10t) => 0 = e^(-10t) => -10t = ln(0)
Ahí me he quedado. Se me queda esa extraña ecuación que me parece sin solución pues habría que encontrar un valor al que elevar a e que diera como resultado 0 (y eso no existe, ¿Verdad?

Por último, en el apartado a) necesito sacar v(x) o algo por el estilo. Lo único que se me ha ocurrido que podría servir es que v(t) = dv/dx. Lo que pasa es que, pese a que me avergüence un poco admitirlo, llevo años sin estudiar matemáticas y no tengo muy claro como resolver esa ecuación para sacar el valor de x (si es que es posible). Ya puesto, me encantaría conocer un poco el proceso de su resolución y eso... tengo que ponerme a tope con el tema ya, pero no se cómo empezar.

Respecto al segundo ejercicio, he hecho los siguientes pasos.
-Primero he pasado las velocidades a m/s, de forma que se me quedan que V0 = 72/3.6 = 20m/s, y Vn = 63/3.6 = 17.5m/s
-A partir de ahí he calculado la aceleración normal en ambos puntos, que me dan 2.66m/s^2 y 2.041m/s^2 respectivamente.
-La aceleración tangencial en t=0 es -1.5m/s^2, por lo que el módulo de la aceleración en ese punto es la raíz de la at^2 + an^2 (si no me equivoco), dando como resultado 2.19m/s^2

Más o menos he llegado hasta ahí... puedo suponer que he de hallar la aceleración tangencial cuando V=17.5m/s, pues la normal ya la tengo. Tengo por ahí que la aceleración tangencial es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, pero no tengo esa función por lo que tampoco sé si debo calcularla. Como no me hablan del tiempo en ningún lado...

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Lo cierto es que me siento muy perdido en este tema y supongo que puedo desesperar un poquito " pero me alegra mucho ver que aquí hay gente dispuesta a ofrecer su tiempo desinteresadamente, y sobre todo me agrada la forma de "dar pistas" para que lo pueda trabajar por mi mismo e ir sacando yo las respuestas.

Un saludo.

[Rodri]

Re: Ayuda con problemas de cinemática

En el primero, he sacado el apartado c) de manera sencilla teniendo que . Simplemente sustituyendo v(t) por 29.7 (un uno por ciento de 30) he sacado que t=0.001

Muy bien. Pero conviene expresar la solución con al menos un par de cifras significativas . Por ejemplo t= 0.0010 segundos

En el apartado b) me he perdido un poco. Basicamente lo que he deducido es que cuando se para la velocidad es 0, por lo que v(t) = 0 y sólo había que despejar t, pero no logro resolver la ecuación que se me queda (disculpa que no use las notaciones de manera correcta pero no sé hacerlo bien):
0 = 30*e^(-10t) => 0 = e^(-10t) => -10t = ln(0)
Ahí me he quedado. Se me queda esa extraña ecuación que me parece sin solución pues habría que encontrar un valor al que elevar a e que diera como resultado 0 (y eso no existe, ¿Verdad?

Efectivamente, como tú mismo has visto, el factor $e^{-10t}$ no se hace cero nunca por muy grande que sea t, es decir tiende asintóticamente a cero cuando t tiende a infinito. Este comportamiento sale con mucha frecuencia al resolver problemas en física con modelos simples. Es lo que se llama extinción o decaimiento exponencial.

Por último, en el apartado a) necesito sacar v(x) o algo por el estilo. Lo único que se me ha ocurrido que podría servir es que v(t) = dv/dx. Lo que pasa es que, pese a que me avergüence un poco admitirlo, llevo años sin estudiar matemáticas y no tengo muy claro como resolver esa ecuación para sacar el valor de x (si es que es posible). Ya puesto, me encantaría conocer un poco el proceso de su resolución y eso... tengo que ponerme a tope con el tema ya, pero no se cómo empezar.

Simplemente date cuenta de que la distancia recorrida entre t=0 y un instante t1 dado es

$s=\int_{0}^{t1} v dt$

Para hacer esta integral tenemos que usar la expresión de v como función del tiempo:

$s=\int_{0}^{t1} v(0)e^{-10t} dt$

Más concretamente, en el problema nos piden la distancia recorrida hasta que se detenga, es decir, hasta que t1=infinito. Por tanto:

$s=\int_{0}^{\infty} v(0)e^{-10t} dt$

Esto es lo que en matemáticas se llama una integral impropia. Para calcularla, primero integra con el límite superior en t1 y luego sustituye en la expresión que te salga $t1=\infty$.
Antes de darle fuerte a la Física tienes que ver si necesitas quizá un refuerzo en cálculo de derivadas e integrales...no tanto en calcularlas como en el concepto en sí. Aunque eso es algo que también se va viendo a medida que se estudia Física.

Respecto al segundo ejercicio, he hecho los siguientes pasos.
-Primero he pasado las velocidades a m/s, de forma que se me quedan que V0 = 72/3.6 = 20m/s, y Vn = 63/3.6 = 17.5m/s

Muy bien. Eso es lo primero que hay que hacer para poder trabajar con los datos del problema.

-A partir de ahí he calculado la aceleración normal en ambos puntos, que me dan 2.66m/s^2 y 2.041m/s^2 respectivamente.

Correcto. La aceleración normal es $a_{N}=\frac{v^{2}}{R}$ y salen esos valores para esos dos instantes.

Más o menos he llegado hasta ahí... puedo suponer que he de hallar la aceleración tangencial cuando V=17.5m/s, pues la normal ya la tengo. Tengo por ahí que la aceleración tangencial es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, pero no tengo esa función por lo que tampoco sé si debo calcularla.
Como no me hablan del tiempo en ningún lado...

Date cuenta de que te dicen que la velocidad se reduce de forma monótona a razón de -1,5 m/s cada segundo, es decir, te están diciendo que la aceleración tangencial es constante ¿lo ves?

[kader]

Re: Ayuda con problemas de cinemática

Buenas Rodri,
conseguí resolver el problema del coche
Ayer asistí a tutoría y le planteé a mi profesora unas cuantas dudas sobre estos y otros ejercicios, aún a expensas de haberme tenido que saltar otra clase (porque en mi universidad los horarios de tutorías no están muy bien pensados...)
Hemos empezado con dinámica y más o menos ya lo voy entendiendo todo mejor. O al menos no me suena todo a chino.

Muchas gracias por tu ayuda con estos dos ejercicios, me han ayudado mucho (aunque sigo necesitando un repaso en integrales )
¡Saludos!