1r ciclo Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

[Samir M.]

Saludos.

Voy a plantear un problema que me ha surgido y en el cual he tenido algunas dudas a la hora de intentar resolverlo. Me gustaría saber vuestros puntos de vista acerca de cómo lo resolveríais.

Supongamos que sobre un plano inclinado un ángulo $\alpha$ respecto a la horizontal se encuentra en movimiento una partícula de masa $m$ la cual describe una trayectoria perfectamente circular de un radio $R$ con una velocidad angular $\omega$ constante. ¿Cómo podríamos determinar la fuerza que debe actuar sobre esta partícula para dotarla de este movimiento?

Para resolverlo, he pensado en intentar hallar la aceleración a la que está sometida, que será una aceleración centrípeta más una aceleración tangencial debido a las fuerzas centrípeta y gravitatoria respectivamente (pd: creo que es probable que mis dudas no sean de concepto sino que surgen a la hora de descomponer las fuerzas en un espacio $\mathbb{R}^3$).

[visitante20160513]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

La fuerza resultante total necesaria es la centrípeta, dirigida desde el móvil hasta el centro de la trayectoria y de valor:

$F=m\omega^2R$

ya que esa es la fuerza que corresponde a un movimiento de ese tipo. Si ahora tenemos en cuenta que sobre la partícula ya están actuando su propio peso y la reacción del plano inclinado, solo resta calcular la diferencia para complementar las fuerzas actuante hasta obtener la fuerza necesaria. Pero ¡ojo!, lo que pregunta el enunciado es cual es la fuerza necesaria y no cual debe ser la fuerza que es necesario aplicar además de su propio peso y la reacción del plano inclinado. La respuesta a esa pregunta es la fuerza centrípeta.

Salu2, Jabato.

[Samir M.]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Sí, así lo he pensado, pero no entiendo la solución que me dan del ejercicio con este razonamiento. Ellos me dicen que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . ¿Cómo podría razonarla?

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Creo que lo que te están pidiendo es la fuerza con la que se debe suplementar la acción de la gravedad para conseguir que el resultado de ambas fuerzas sea el de un movimiento circular como el dado (a la vista del resultado que te dan). Entonces dicha fuerza debe ser la diferencia entre la fuerza centrípeta y la gravedad:

$\vec F=\vec F_c-m\vec g$

Claro que expresada por sus componentes.

Salu2, Jabato.

[Samir M.]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Mm no sé, no lo veo muy claro. Se me ha ocurrido intentar hallar la aceleración total que lleva y multiplicarla por la masa.

[visitante20160513]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Es que la solución que te dan en el ejercicio es tan solo una de las posibles soluciones.

1º).- Dicha solución depende de unos ejes que no te dan en el enunciado.

2º).- Dicha solución será válida dependiendo de donde se encuentra la partícula en el origen de tiempos ya que depende del tiempo, dato que tampoco te dan.

3º).- Tampoco te dicen cual es el sentido de giro de la partícula, lo cual ya raya la indolencia.

Por lo tanto para que la solución coincida con la que te dan deberíamos adivinar cuales son los ejes que se han utilizado, cual era la posición inicial de la partícula en el origen de tiempos y cual el sentido de giro. Este problema debe resolverse de forma general (para cualquier instante) y sin utilizar unos ejes coordenados determinados ya que no los conoces. En mi opinión está mal planteado o mal resuelto, la que prefieras. La mejor solución es la que te doy porque no hace referencia a ningún sistema de ejes ni presupone una posición inicial de la partícula.

NOTA: ¿Sabrías decirme donde estaba la partícula en el origen de tiempos, cual es su sentido de giro y cuales son los ejes coordenados a que está referida esa solución?

Disculpa, pero un enunciado como ese junto con la solución que te dan es una chapuza de las peores, entre otras muchas cosas enseñan a los estudiantes a trabajar de forma precipitada, sin las definiciones debidas y aprendiendo los peores vicios a la hora de razonar. ¿De donde has sacado ese ejercicio?

Salu2, Jabato.

[Samir M.]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Ya, entiendo a qué te refieres. Yo estaba planteando el problema directamente con los ejes que ha escogido en la solución.
Respecto a los ejes, ha escogido que el plano xy sea la superficie del plano inclinado, ¿no? Para hallar el origen de tiempos pues habría que integrar dos veces la aceleración viendo las condiciones iniciales.

Pd: Yo también diría que la solución está mal, concretamente la parte final correspondiente a los ejes y y z.

[visitante20160513]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Nada de eso, el problema tal como está planteado está mal planteado, y es imposible resolverlo dando una expresión como la que se muestra en la solución sin tener los datos que te digo. Al menos con el enunciado que has mostrado. Total, una chapuza.

[Samir M.]

Re: Movimiento circular en la superficie de un plano inclinado.

Síp, visto desde ese punto de vista, concuerdo. Pues este ejercicio lo tenía por ahí de cuando estuve estudiando 1º de física en la universidad de Zaragoza, lo leí, y me pareció interesante (vista la solución). Pero bueno, al final ni fu ni fa, así que me quedo igual que antes de hacerlo.

Saludos y gracias por tu tiempo!

- - - Actualizado - - -

Pensando mejor el problema creo que a lo que se refieren es que en el plano debe existir una fuerza de rozamiento para que la partícula siga una trayectoria circular. Si partimos de este hecho se cumple que

$mg \cdot \sin{\alpha} - F_{\mu} = ma_c \to F_{\mu} = m (g \cdot \sin{\alpha} - a_c)$

Si suponemos que la partícula ha barrido un ángulo $\theta$ en el plano, podemos relacionar el punto (x,y) en el que se encuentra ésta de la siguiente manera (y teniendo en cuenta que $\theta = \omega t$):

$x = R \cos{\omega t}, \ \ y = R \sin{\omega t} \to a_x = - {\omega}^2 R \cos{\omega t} , \ \ a_y = - {\omega}^2 R \sin{\omega t}$

Creo que así ya sale.