Secundaria Ejercicios gravitación universal

[The Higgs Particle]

Hola, tengo unos ejercicios del tema de la gravitación universal y me gustaría saber si están bien hechos, ya que en algunos tengo dudas:

1. La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es de unos 3'84 · 10⁵ km. La masa de la Luna es 0'012 veces la de la Tierra. Calcule en qué punto, entre la Luna y la Tierra, un objeto se encontraría en equilibrio debido a la atracción entre los dos.

Lo que me están pidiendo es calcular un punto en el cual la gravedad de la Tierra y la luna se anulen, o lo que es lo mismo: $|\vec{{Fg}_{T}}| = |\vec{{Fg}_{ L}}|$ (I).
A la distancia entre ese punto y el centro de gravedad de la Tierra la he llamado $d$, de forma que la distancia entre ese mismo punto y el centro de la gravedad de la Luna es ${R}_{T-L} - d$.

Desarrollando (I): $\frac{{M}_{T }}{{d}^{2 } } = \frac{{m}_{L}}{{({R}_{T L})}^{2 }} \to d = \sqrt{\frac{{M}_{T} \cdot {({R}_{T L} - d)}^{2 }}{ {m}_{L }}} \to d = \frac{\sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L}}} \cdot {R}_{TL}}{ 1 + \sqrt{\frac{{M}_{T}}{{m}_{L } }} }$ (II)

Sustituyendo los datos en (II):

$d = \frac{\sqrt{\frac{1}{0'012 }} \cdot 3'84 \cdot {10}^{8 }}{ 1 + \sqrt{\frac{1}{0'012 }}} \to d = 3'82 \cdot {10}^{8 } m$ (del centro de la Tierra).

Por cierto, ¿a esto se le llamaba un punto de Lagrange?

Muchas gracias!!

[MrM]

Re: Ejercicios gravitación universal

El razonamiento es correcto. Pero, a juzgar por el resultado, los cálculos no lo están (ese punto está demasiado cerca de la Luna).

Yo lo haría así: x es la distancia de la tierra al punto de Lagrange, y d es la distancia de la Tierra a la Luna. Por lo tanto, x-d es la distancia de la Tierra al punto de Lagrange.

$\frac{M_T}{{x}^{2}}=\frac{M_L}{{(d-x)}^{2}} \Rightarrow \frac{{(d-x)}^{2}}{{x}^{2}}=\frac{M_L}{M_T} \Rightarrow \frac{d-x}{x}=\sqrt{\frac{M_L}{M_T}}$
$\frac{d}{x}=\sqrt{\frac{M_L}{M_T}} +1 \Rightarrow x=\frac{d}{\sqrt{\frac{M_L}{M_T}} +1} \Rightarrow x=\frac{d}{\sqrt{\frac{0,012M_T}{M_T}} +1}=\frac{d}{\sqrt{0,012} +1}=3,46 \cdot {10}^{8}m$

No tengo muy claro dónde has cometido el fallo, pero creo que ha sido en $d = \sqrt{\frac{{M}_{T} \cdot {({R}_{T L} - d)}^{2 }}{ {m}_{L }}} \to d = \frac{\sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L}}} \cdot {R}_{TL}}{ 1 + \sqrt{\frac{{M}_{T}}{{m}_{L } }} }$. No entiendo muy bien lo que has hecho ahí, pero creo que hace que no se cumpla la igualdad.


En cualquier caso, ese punto, como bien has dicho, es un punto de Lagrange. Sin embargo no existe un único punto de Lagrange, si no me equivoco, existen 5 para cada sistema de dos masas (incluyendo, obviamente, el sistema Tierra-Luna). En Wikipedia o en cualquier libro de física podrás encontrar información sobre los otros 4 puntos de Lagrange.

Un saludo.

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicios gravitación universal

Gracias por contestar. Lo que había hecho es:

$d =\sqrt{\frac{{M}_{T } \cdot {({R}_{TL} - d)}^{2}}{{m}_{L} }} = \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot ({R}_{TL } - d) \to d = \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot {R}_{TL } - \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot d \to d + d \cdot \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }}$$= \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot {R}_{TL }$. Sacando factor común en el primer miembro:

$d \cdot (1 + \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }}) = \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot {R}_{TL } \to d =\frac{\sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }} \cdot {R}_{TL}}{ (1 + \sqrt{\frac{{M}_{T }}{{m}_{L } }})}$

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Actualizo: ha debido ser algún error a la hora de ponerlo en la calculadora, ya que ahora me ha salido $d = 3'46 \cdot {10}^{8} m$