Secundaria Ejercicio Satélites

[The Higgs Particle]

2. Dos satélites artificiales de masa m₀ y 2m₀, respectivamente, describen órbitas circulares del mismo radio r = 2R_T, siendo R_T el radio de la Tierra. Calcula la diferencia de las energías mecánicas de ambos satélites.

He pensado que este ejercicio se puede hacer (principalmente) de 2 formas:

a) La larga, que sería calcular $Em ({S}_{1 }) = Ep(1) + Ec(1); Em ({S}_{2 }) = Ep(2) + Ec(2)$ y luego restarlo.

b) La corta, sabiendo que $Em = \frac{1}{2} \cdot Ep$. De esta forma, $Em ({S}_{2 }) - Em({S}_{1}) = \frac{Ep({S}_{2 })}{2 } - \frac{Ep({S}_{1 })}{2}$ (I).

Ahora calculamos las energías potenciales: $Ep({S}_{2 }) = \frac{-G{M}_{T }m}{r} = \frac{-G{M}_{T }2{m}_{0 }}{2{R}_{T } }$ y $Ep({S}_{1}) = \frac{-G{M}_{T }{m}_{0 }}{2{R}_{T}}$. Sustituyendo ahora los valores en (I):

$Em ({S}_{2 }) - Em({S}_{1}) = \frac{-G{M}_{T }2{m}_{0 }}{4{R}_{T }} - \frac{-G{M}_{T }{m}_{0 }}{4{R}_{T}} = \frac{-G{M}_{T}{m}_{0} }{4{R}_{T }} = \frac{Em ({S}_{1 })}{2}$

Gracias!!

[MrM]

Re: Ejercicio Satélites

Realmente el modo más inteligente es el segundo, pues aunque lo hagas del primer modo, acabarás llegando al segundo, ya que $E_p+E_c=\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{M_Tm}{r}$. Como el cuerpo está orbitando, su velocidad es la velocidad orbital.

La velocidad orbital se calcula así: la fuerza gravitatoria, al ser una fuerza central, puede expresarse como F=ma. Sin embargo, un cuerpo que orbita no tiene aceleración tangencial (la aceleración tangencial es la que hace que cambie la celeridad del cuerpo, y un cuerpo orbitando se mueve a velocidad constante). Por lo tanto, toda su aceleración es tangencial, y la aceleración tangencial es igual a $\frac{{v}^{2}}{r}$. Por lo tanto, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sustituyendo eso en la expresión de la energía mecánica, nos queda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


He hecho todo esto para demostrar que hacerlo del primer modo es una pérdida de tiempo. Hazlo de la segunda manera. No voy a hacer los cálculos porque es simplemente sustituir y restar, pero tu razonamiento parece correcto.

Un saludo.

[arivasm]

Re: Ejercicio Satélites

Aún más rápido: el movimiento en un campo gravitatorio es independiente de la masa, de manera que ambos satélites poseen la misma velocidad y entonces la misma energía cinética. Conclusión: la diferencia entre sus energías mecánicas será igual a la diferencia entre sus energías potenciales. Como ésta es proporcional a la masa, la energía potencial del que tiene masa doble será doble de la del otro. Consecuencia: la diferencia buscada es igual al valor absoluto (pues no nos dicen en qué orden se debe hacer la resta, de manera que interpretamos que será mayor-menor) de la energía potencial del que tiene menor masa, es decir, $\dst G\frac{M_Tm_0}{2R_T}$

[The Higgs Particle]

Re: Ejercicio Satélites

Muchas gracias a ambos!